流体力学 薄翼の理論（その3）
皆様おはこんばんちは。
最近，流体力学を再度学び直してみようと思い，記事にしています。
今回は，第67回目として「薄翼の理論（その3）」について紹介します。また，補足編の「薄翼理論の数学」と「薄翼の理論（その１）」，「薄翼の理論（その2）」でお伝えした考え方を使うことでより具体的な4つの影響因子（揚力L，揚力係数CL，前縁周りのモーメントM，モーメント係数CM）を算出することが出来るところまで紹介します。
（1）よく出てきたA0，A1，…，Anとは？
はじめに，A0，A1，…，Anとは何だったでしょうか。解答は，過去記事の「薄翼理論の数学」を再度確認してほしいのですが，「A：未知の級数（フーリエ級数）」でした。
このフーリエ級数とはいっても，過去記事である「薄翼の理論（その１）」，「薄翼の理論（その2）」で証明したときにはあえて触れていませんでした。今回は，このAについての導出を最後の締めとして行ってから，4つの影響因子（揚力L，揚力係数CL，前縁周りのモーメントM，モーメント係数CM）を具体的に算出してみましょう。
さて，「薄翼の理論（その１）」で触れた渦全体で任意のx1点に誘導される速度v(x1)（与式（1））にジューコフスキーの仮定（xとθの関数）と渦分布γのフーリエ級数（xとθの関数）の2つを代入して証明します。
ここで，注意するべきはxの積分範囲をθの積分範囲に変更することです。元々はxが0～Lまでの積分範囲を，ジューコフスキーの仮定（xとθの関数）にxを代入してθが成立するような値を決めると，θが0～πまでの積分範囲に変更します。次に，「薄翼理論の数学」で紹介した定積分の結果を使います。（※n=1と書いたのは，（1-4）定積分の③定積分problem3の積分結果から来ています。）あとは，代入した渦全体で任意のx1点に誘導される速度v(x1)を解いていくと，式（2）のようになります。
ここまで，渦全体で任意のx1点に誘導される速度v(x1)（与式（2））を求めましたが，実際の翼に当たる流れを考慮すると，わずかに傾きを持つことが多々あるので，その傾きと一様流れの速度を考慮した合速度で議論します。（「薄翼の理論（その１）」の式（8）参照。）
翼の傾きdy/dxに渦全体で任意のx1点に誘導される速度v(x1)を代入すると，式（3）のようにvとθの関数に置き換えが出来ます。但し，今回は便宜上θ1をθに変換した結果としております。
次に，A0（フーリエ級数）を算出していきます。式（3）で算出したvとθの関数の両辺にそれぞれ0→πまでを積分すると，A0単体は式（4）のようになります。
最後に，An（フーリエ級数）を算出していきます。本来は，数学の得意な方（数学的帰納法を使った考え方）からすれば，A1を算出してからやるものだと言われそうですが，結局のところAnが分かれば，あとは要らない訳です。そこで，式（3）で算出したvとθの関数の両辺にcosnθを掛けてからそれぞれ0→πまでを積分すると，Anは式（5）のようになります。数学が得意な人は，式（5）こそ「フーリエ余弦級数の係数」だとすぐわかるはず。
従って，式（5）の結果からnの値を任意に決めてやれば，A1だろうとA100だろうと，どんなフーリエ級数でも算出できます。
（2）放物線翼形の4つの影響因子
［例題］薄翼が与式（6）に示すような放物線翼形の場合，揚力L，揚力係数CL，前縁周りのモーメントM，モーメント係数CMを求めよ。
放物線翼形は図1のような概略です。ここで，上図に示したように後縁角βは式（7）のように表せます。
解法としては，以下のようなイメージで考えます。
①ジューコフスキーの仮定 → ②A0，A1，…，An（フーリエ級数）
→ ③4つの影響因子
それでは，解いていきましょう。まずは，ジューコフスキーの仮定を与式（6）の微分した結果に代入すると，式（8）のようになります。
次に，A0，A1，A2（フーリエ級数）を算出します。そのためには，式（8）の結果が不可欠なのです。式（8）を式（4）および式（5）へ代入すると，式（9），式（10），式（11）のように表せます。
最後に，4つの影響因子（揚力L，揚力係数CL，前縁周りのモーメントM，モーメント係数CM）に上記の式（9），式（10），式（11）を代入します。この4つの影響因子に関する証明は，「薄翼の理論（その2）」で触れていますので，今回は既に分かっているとして取り扱います。
この結果より，放物線翼形の4つの影響因子を算出できました。フーリエ級数の係数を具体的に求めましたが，結局のところ迎え角αと後縁角βの2つが影響因子であることが分かりました。
筆者の頭はあまりよくないので，過去の偉人たちが切り開いたものを読み解くだけで精一杯ですが，この形がある程度予測できていないと4つの影響因子を更に式変形しようとは決して思いませんね。
（3）まとめ
今回の記事のまとめを以下に示します。
① 4つの影響因子にあるAはフーリエ余弦級数の係数を示している。
② 4つの影響因子は，ジューコフスキーの仮定からフーリエ余弦級数の係
数を個別に求めることで算出できる。
以上です。最後まで閲覧頂きありがとうございました。
次回の記事では，「翼列」を取り上げる予定です。
但し，年末年始の記事で予告した通り，次回の更新は3月以降になりそうです。読者の不特定多数の皆様は，気長に首を長くしてお待ちいただけると嬉しいです。
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