松廼屋｜論点解説 薬剤師国家試験対策ノート問109-180【薬剤】論点：溶解度 / Nernst-Brunner方程式 / Noyes-Whitney方程式 / 溶解速度定数
第109回薬剤師国家試験｜薬学理論問題 /
問180
一般問題（薬学理論問題）【薬剤】
問109-180
Q. 固体薬物AをS=3cm^2の円盤状に圧縮し、回転円盤法で37℃において溶解実験を行った。固体薬物Aの溶解速度は(1)の式に従い、試験中Sは変化しないものとする。t=0のときC=0、11分後の薬物Aの濃度が Cs/2であるとき、固体薬物Aのみかけの溶解速度定数k(min^(-1)・cm^(-2))に最も近い値はどれか。1つ選べ。ただし、ln2=0.693とする。
dC/dt=kS(Cs-C) …(1)
dC/dt：溶解速度、k：みかけの溶解速度定数、S：有効表面積
Cs：薬物の溶解度、C：時間tにおける溶液中の薬物濃度
■選択肢
1. 0.021
2. 0.033
3. 0.063
4. 0.077
5. 0.099
こんにちは！薬学生の皆さん。
Mats & BLNtです。
matsunoya_note から、薬剤師国家試験の論点解説をお届けします。
苦手意識がある人も、この機会に、薬学理論問題【薬剤】を一緒に完全攻略しよう！
今回は、第109回薬剤師国家試験｜薬学理論問題 / 問180、論点：溶解度 / Nernst-Brunner方程式 / Noyes-Whitney方程式 / 溶解速度定数を徹底解説します。
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松廼屋｜論点解説 薬剤師国家試験対策ノート問109-180【薬剤】論点：溶解度 / Nernst-Brunner方程式 / Noyes-Whitney方程式 / 溶解速度定数
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設問へのアプローチ｜
第109回薬剤師国家試験の問180（問109-180）では、溶解度 / Nernst-Brunner方程式 / Noyes-Whitney方程式 / 溶解速度定数に関する知識を問われました。第107回薬剤師国家試験の問178（問107-178）でも取り上げたテーマです。
第107回薬剤師国家試験の問178（問107-178）にもチャレンジしてみてください。論点解説はこちらです。👇
松廼屋｜論点解説 薬剤師国家試験対策ノート問107-178【薬剤】論点：溶解度 / Nernst-Brunner方程式 / Noyes-Whitney方程式 / 溶解速度定数｜matsunoya
計算問題は、慣れです。
手を動かして繰り返し解いてみてください。
2分30秒以内に解けるか、タイマーで時間を測定しながら解いてみると自信がつきます。
今回は、傾き-kA（※今回はA = S = 3）を求める工程と切片ln(Cs)を求める工程の前に、微分方程式を下記の Y = aX + b の式まで積分して持っていく作業が必要です。
Nernst-Brunner方程式 / Noyes-Whitney方程式を暗記していれば、2分30秒の間に微分方程式を積分をする手間が省けるので、下記の式は微分方程式とセットで覚えておきましょう。
暗記していれば、Y = aX + b の a と b を求める問題です。
正確には、今回の場合、ゴールが薬物濃度(C)が薬物の溶解度(Cs)の半分に達するまでの時間 t (min)から、溶解速度定数 kを算出することなので、切片は計算工程で消えるため、計算する必要はないです。時間の無駄です。
以下、丸暗記すべき式を示します。
丸暗記すべき式 抜粋
薬物濃度(C)が薬物の溶解度(Cs)の半分に達するまでの時間(min)とkとの関係式
C = Cs / 2
Cs - C = Cs / 2
よって
ln(Cs / 2) = ln(Cs) - ln(2) = -kAt + ln(Cs)
ここで、A = S
よって
t = ln(2) / (kS)
k = ln(2) / (S・t)
- t = 11 分
- S = 3 cm^2
- ln(2) = 0.693
k = 0.693 / 33 ≒ 0.021 min^-1 ・ cm^-2
この問題に限っては、計算の工程を丸暗記したほうが早いです。
何度か解いてみてください。
出題範囲:
製剤化のサイエンス｜製剤の性質｜固形材料｜
粉体の性質について説明できる。
結晶（安定形及び準安定形）や非晶質、無水物や水和物の性質について説明できる。
固形材料の溶解現象（溶解度、溶解平衡等）や溶解した物質の拡散と溶解速度について説明できる。👈ココ
固形材料の溶解に影響を及ぼす因子（pHや温度等）について説明できる。
固形材料の溶解度や溶解速度を高める代表的な製剤的手法を列挙し、説明できる。
薬剤師国家試験 出題基準
出典： 薬剤師国家試験のページ ｜厚生労働省 (mhlw.go.jp)
出題基準 000573951.pdf (mhlw.go.jp)
今回の解説は、溶解度 / Nernst-Brunner方程式 / Noyes-Whitney方程式 / 溶解速度定数を語らせたら、ちょっと間違っちゃったり💦、ややまわりくどかったりする Grok 2 mini (beta) と、Nernst-Brunner方程式は記憶にほとんどない状態なので、頼りないながら Grok 2 mini (beta) と対話して、細かい校正を加えたワタシのコラボです(^^)/
基本の型を覚えるのは大事なので、時間があったらじっくり考えながら最後まで読んでください。
基本的な知識について復習しておきましょう。
■■Grok 2 mini (beta)
Nernst-Brunner方程式
微分方程式
Nernst-Brunner方程式は以下のように表されます：
dC / dt = kS(Cs - C)
ここで、
dC / dt は溶解速度
k は溶解速度定数
S は溶解物質の表面積
Cs は溶解度
C は時間 t における溶液中の濃度
積分後の式
この微分方程式を解くと、以下の形式になります：
ln(Cs - C) = -kS ・ t + ln(Cs)
濃度C=Cs/2の時間t1/2の式
誘導
まず、 C = Cs/2 である時間 t1/2 を求めるために、積分後の式に C = Cs/2 を代入します：
ln(Cs - Cs / 2) = -kS ・ t1/2 + ln(Cs)
ln(Cs / 2) = -kS ・ t1/2 + ln(Cs)
次に、対数に関する性質を利用して：
ln(Cs / 2) = ln(Cs) - ln(2)
これを元の式に代入します：
ln(Cs) - ln(2) = -kS ・ t1/2 + ln(Cs)
ここで、共通の項 ln(Cs) を消します：
-ln(2) = -kS ・ t1/2
両辺を -kS で割ります：
t1/2 = ln(2) / kS
略号の意味
t1/2 : 薬物Aの溶解度の半分に達する時間
k : 溶解速度定数 (min^-1・cm^-2)
S : 溶解物質の表面積 (cm^2)
Cs : 溶解度
C : 時間 t における溶液中の濃度
参考文献
Nernst, W. (1904). "Theorie der Reaktionsgeschwindigkeit in heterogenen Systemen." Zeitschrift für Physikalische Chemie, 47(1), 52-55.
Brunner, E. (1904). "Reaktionsgeschwindigkeit in heterogenen Systemen." Zeitschrift für Physikalische Chemie, 47(1), 56-102.
Sinko, P. J., & Singh, Y. (2011). Martin's Physical Pharmacy and Pharmaceutical Sciences. Lippincott Williams & Wilkins.
これらの文献は、溶解速度理論の基礎を提供し、特にNernst-Brunner方程式の応用とその理解に役立ちます。
微分方程式を解く
式 dC/dt = kS/ (Cs - C) から ln(Cs - C) = -k ・ S ・ t + ln(Cs) を導くためには、微分方程式を解く必要があります。以下にその手順を示します。
1. 微分方程式の分離
まず、溶解速度の微分方程式を変形します：
dC / dt = kS/ (Cs - C)
この方程式を変形して、Cに関する積分が可能な形にします：
dC / (Cs - C) = kS ・ dt
2. 両辺を積分
次に、両辺を積分します。左辺では C に関する不定積分、右辺では t に関する不定積分を行います。
左辺の積分
左辺の積分は以下のように行います：
∫ dC / (Cs - C)
この積分は分数分解や部分分数分解を用いると簡単に行えますが、ここでは直接積分します：
∫ dC / (Cs - C) = -(1 / Cs)・ln|Cs - C|
右辺の積分
右辺は単純な積分です：
∫ kS ・ dt = kS ・ t
3. 積分定数を考慮
積分の結果に積分定数を加えます：
-(1 / Cs)・ln|Cs - C| = kS ・ t + C_1
ここで C_1 は積分定数です。
4. 積分定数の決定
初期条件 t = 0 とき C = 0 を使って C_1 を求めます：
-1 / Cs ln|Cs - 0| = kS ・ 0 + C_1
-1 / Cs ln(Cs) = C_1
C_1 = -ln(Cs) / Cs
5. 最終的な方程式の形成
積分定数を元の積分結果に代入します：
-1 / Cs ln|Cs - C| = kS ・ t - ln(Cs) / Cs
この方程式を整理します：
ln|Cs - C| = -kS ・ t ・ Cs + ln(Cs)
6. 対数の性質を適用
対数を扱う際に、絶対値を考慮しますが、ここでは Cs - C は非負なので、絶対値は不要です：
ln(Cs - C) = -kS ・ t + ln(Cs)
結論
以上の工程により、以下の方程式が導かれました：
ln(Cs - C) = -k ・ S ・ t + ln(Cs)
この方程式が、溶解速度の微分方程式
dC/dt = kS(Cs - C)
から導かれた結果です。
論点を整理します。
■■Grok 2 mini (beta)
総合的な論点
Nernst-Brunner方程式とNoyes-Whitney方程式は、固体物質の溶解速度を定量的に表すための基本的な理論です。これらの方程式は、溶解速度が溶解度、溶解度に対する現在の溶液濃度、溶解速度定数、そして溶解物質の表面積に依存することを示しています。
dC / dt = k ・ S ・ (Cs - C)
ここで、
dC / dt は溶解速度（時間当たりの濃度変化率）
k は溶解速度定数
S は溶解する固体の表面積
Cs は溶解度（溶液が飽和する濃度）
C は溶液中のある時点での濃度
積分すると、下記の式になります。
XYプロットするとこうなります。傾き = -kA ※今回は、A = S = 3
（例：第107回薬剤師国家試験 問178）
溶解速度のモデル化:
本問題では、Nernst-Brunner方程式の形で与えられた微分方程式
dC/dt = kS(Cs - C) が使用されています。
この方程式は、溶解速度が溶解物質の表面積 Sに比例し、また、溶解度 Cs から現在の溶液中の濃度 C を減じた値(Cs - C)に比例することを示しています。定常状態の仮定:
問題文では、溶解速度定数 k は時間と共に変化しないと仮定されています。
これは、溶解過程が一定の条件下で行われるという実験的設定に基づいています。数学的アプローチ:
微分方程式を解くことで、溶解速度に関して時間の関数としての溶液中の薬物濃度 C(t) を求めることができます。
この解法は、初期条件と境界条件を考慮し、積分を用いて行います。
解法へのアプローチ
初期条件の設定:
問題では t = 0 時に C = 0 という初期条件が与えられています。これは、溶解が始まる前の状態を表します。境界条件の利用:
11分後に C = Cs/2 という条件を用いて、溶解速度定数 k を求めます。
これは、溶解過程の進行を特定の時点で観察することで、溶解速度定数を逆算する手法です。対数と指数関数の性質:
微分方程式の解法では、対数と指数関数の性質が重要です。
特に、対数を使って線形化することで、方程式を解くことが容易になります。
Ref.
Noyes, A. A., & Whitney, W. R. (1897). "The rate of solution of solid substances in their own solutions." Journal of the American Chemical Society, 19(12), 930-934.
Brunner, E., & Tolloczko, S. (1900). "Über die Auflösungsgeschwindigkeit fester Körper." Zeitschrift für Physikalische Chemie, 35, 283–290.
Dokoumetzidis, A., & Macheras, P. (2006). "A century of dissolution research: From Noyes and Whitney to the Biopharmaceuti/ (Cs - C)lassification System." International Journal of Pharmaceutics, 321(1-2), 1-11.
これらの文献は、溶解速度の理論的背景とその応用を深く理解するための基盤となります。
Noyes-WhitneyとNernst-Brunner方程式は、製薬学や化学工学において溶解度や溶解速度を研究するための基礎であり、この問題を解くための理論的枠組みを提供します。
この問題を解くためには、与えられた式と条件を用いて溶解速度定数 k を求める必要があります。以下に段階的な手順を示します。
1. 条件の設定と式の使用
まず、与えられた条件を確認します：
t = 0 のとき C = 0
11分後の濃度が C = Cs / 2
積分後の式は：
ln(Cs - C) = -k ・ S ・ t + ln(Cs)
2. 11分後の条件を式に代入
11分後の濃度が C = C_s / 2 であるとき、式は以下のようになります：
ln(Cs - Cs/2) = -k ・ S ・ t + ln(Cs)
ln(Cs/2) = -k ・ S ・ t + ln(Cs)
3. 対数に関する性質を利用
対数に関する性質を使って、式を簡略化します：
ln(Cs/2) = ln(Cs) - ln(2)
ln(Cs) - ln(2) = -k ・ S ・ t + ln(Cs)
4. 対数を整理
共通の項 ln(C_s) を消します：
-ln(2) = -k ・ S ・ t
与えられた値を代入します：
t = 11 分
S = 3 cm^2
ln(2) = 0.693
-0.693 = -k ・ 3 ・ 11
この式を解きます：
0.693 = k ・ 33
k = 0.693 / 33 ≒ 0.021 min^-1 ・ cm^-2
結論
固体薬物Aの溶解速度定数 k は ≒ 0.021 min^-1 ・ cm^-2 です。
参考文献
Sinko, P.J., & Singh, Y. (2011). Martin's Physical Pharmacy and Pharmaceutical Sciences. Lippincott Williams & Wilkins.
Noyes, A. A., & Whitney, W. R. (1897). The rate of solution of solid substances in their own solutions. Journal of the American Chemical Society, 19(12), 930-934.
この問題の解法は、溶解速度の基本理論に基づいており、Noyes-Whitneyの溶解速度理論を拡張した形で使用されています。
以上で、論点整理を終わります。
理解できたでしょうか？
大丈夫です。
完全攻略を目指せ！
はじめましょう。
薬剤師国家試験の薬学理論問題【薬剤】から溶解度 / Nernst-Brunner方程式 / Noyes-Whitney方程式 / 溶解速度定数を論点とした問題です。
なお、以下の解説は、著者（Yukiho Takizawa, PhD）がプロンプトを作成して、その対話に応答する形でGPT4o & Copilot 、Gemini 1.5 Pro、またはGrok 2 (beta) が出力した文章であって、著者がすべての出力を校閲しています。
生成AIの製造元がはっきりと宣言しているように、生成AIは、その自然言語能力および取得している情報の現在の限界やプラットフォーム上のインターフェースのレイト制限などに起因して、間違った文章を作成してしまう場合があります。
疑問点に関しては、必要に応じて、ご自身でご確認をするようにしてください。
松廼屋｜論点解説 薬剤師国家試験対策ノート問109-180【薬剤】論点：溶解度 / Nernst-Brunner方程式 / Noyes-Whitney方程式 / 溶解速度定数｜matsunoya
Here we go.
第109回薬剤師国家試験｜薬学理論問題 /
問180
一般問題（薬学理論問題）【薬剤】
問109-180
Q. 固体薬物AをS=3cm^2の円盤状に圧縮し、回転円盤法で37℃において溶解実験を行った。固体薬物Aの溶解速度は(1)の式に従い、試験中Sは変化しないものとする。t=0のときC=0、11分後の薬物Aの濃度が Cs/2であるとき、固体薬物Aのみかけの溶解速度定数k(min^(-1)・cm^(-2))に最も近い値はどれか。1つ選べ。ただし、ln2=0.693とする。
dC/dt=kS(Cs-C) …(1)
dC/dt：溶解速度、k：みかけの溶解速度定数、S：有効表面積
Cs：薬物の溶解度、C：時間tにおける溶液中の薬物濃度
■選択肢
1. 0.021
2. 0.033
3. 0.063
4. 0.077
5. 0.099
■■Grok 2 mini (beta)
薬剤｜問 109-180
■論点｜溶解度 / Nernst-Brunner方程式 / Noyes-Whitney方程式 / 溶解速度定数
この問題の論点は、固体薬物の溶解速度が拡散律速である場合の解析を通じて、固体薬物Aの溶解速度定数 k を特定することです。
dC/dt = kS(Cs - C)
ln(Cs - C) = -k ・ S ・ t + ln(Cs)
k = ln(2) / (S・t)
■解説1｜
溶解速度の微分方程式と初期条件:
固体薬物Aの溶解速度は dC/dt = kS(Cs - C) に従います。
初期条件 t = 0 のとき C = 0溶解中間点の濃度:
11分後に C = Cs/2 という条件を用いて溶解速度定数 k を求めます。数学的処理:
微分方程式を解き、特定の条件を満たす k を求めるための式を誘導します。
k = ln(2) / (S・t)定数と対数の利用:
ln(2) = 0.693 を用いて k の具体的な値を算出します。
■解説2｜
微分方程式の解法:
与えられた微分方程式 dC / dt = kS(Cs - C) を積分し、
ln(Cs - C) = -kS ・ t + ln(Cs) を得ます。特定の濃度への代入:
C = Cs/2 をこの式に代入することで、特定の時間 t における k の関係を導出します。
k = ln(2) / (S・t)
t = 11 分、 S = 3 cm^2 を代入し、 k を求めます。
k = 0.693 / 33 ≒ 0.021 min^-1・cm^-2
■結論｜
固体薬物Aの溶解速度定数 k は約 0.021 min^-1・cm^-2 です。
■補足｜
溶解速度理論:
この問題はNernst-Brunner方程式 / Noyes-Whitney方程式の応用であり、溶解速度が溶液中の濃度勾配に依存することから、溶解度に対する現在の溶液濃度の差が溶解速度に直接影響を与えることを示しています。実験条件の重要性:
回転円盤法や一定温度の保持は、溶解速度の実験結果を再現性のあるものにするための重要な要素です。溶解速度定数の実際の応用:
溶解速度定数 k は、製薬学において薬物の溶解度を向上させる方法や、薬物の生物学的利用能を評価する際に重要です。
■Lecture｜
まとめ
下記のプロンプトを、Grok 2 mini (beta) に入力すると、まとめてくれます。お試しあれ(^^)/ （真偽は自分で確かめなさいー🤖）
今日のPrompts:
Nernst-Brunner方程式に関して、それぞれ、微分方程式、積分後の左辺がln(Cs-C)である式を記述してください。
その式から、濃度C=Cs/2である時間t1/2をkで表した式を誘導して記述してください。
また、略号の意味も記述してください。
文末に科学的根拠として引用した範囲を含む文献のリストを添付してください。
必須問題の解説はこちらからどうぞ。
薬剤師国家試験対策ノート｜論点解説 必須問題 第106回-第109回 一覧 powered by Gemini 1.5 Pro, Google AI Studio & GPT4, Copilot｜matsunoya (note.com)
薬学理論問題【薬剤】(1) の解説はこちらからどうぞ。
薬剤師国家試験対策ノート｜論点解説 薬学理論問題 薬剤(1) 第106回-第109回 31問 powered by GPT4o, Chat GPT｜matsunoya (note.com)
お疲れ様でした。
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では、問題を解いてみましょう！
すっきり、はっきりわかったら、合格です。
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dC/dt=kS(Cs-C) …(1)
dC/dt：溶解速度、k：みかけの溶解速度定数、S：有効表面積
Cs：薬物の溶解度、C：時間tにおける溶液中の薬物濃度
■選択肢
1. 0.021
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