置換積分によると定積分が0となる正値連続関数が存在します

　定積分$${I=\int_0^{2\pi}\frac{dx}{3+\cos x}}$$の値を求めてみました．

（答案）
　　　　　　　　　　　　$${t=\tan\frac{x}{2}}$$
とおくと
　　　　　　　　$${dx=\frac{2dt}{1+t^2},~\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}}$$
であり
　　　　　　　　$${\theta:0\nearrow 2\pi}$$　のとき　$${t:0\rightarrow 0}$$
である．よって
　　　　　　　　　　$${I=\int_{0}^{0}\frac{1}{3+\frac{1-t^2}{1+t^2}}\cdot\frac{2dt}{1+t^2}}$$
　　　　　　　　　　$${=\int_{0}^{0}\frac{dt}{2+t^2}}$$
　　　　　　　　　　$${=0}$$
を得る．従って，求める$${I}$$の値は$${0}$$である．

どこが間違っているのでしょうか．
（被積分関数$${\frac{1}{3+\cos x}}$$は任意の実数$${x\in\mathbb{R}}$$で連続で，その値は常に正となることに注意．）

　以下，このことについて考察します．