精密化された関数の極限の定義について（第4回授業後記）

　第4回授業で学修した$${\lim_{x\to a}f(x)=\alpha}$$の定義は次の通りでした．（文字定数や関数その他の設定，および定理の番号などはテキストを参照してください．他も同様です．）

　定義 4.3.1. （p. 31）
　(1) $${\lim_{x\to a}f(x)=\alpha}$$
　$${\stackrel{\Delta}{\Leftrightarrow}}$$ 任意の$${\varepsilon>0}$$に対し，ある$${\delta>0}$$が存在して
　　　　　　　　　$${0<|x-a|<\delta~~\Rightarrow~~\left |f(x)-\alpha\right|<\varepsilon}$$
が成り立つようにできる．

　この定義で最初の「任意の$${\varepsilon>0}$$に対し」のところを「任意の$${M>0}$$に対し」に換え，さらに最後の「$${\left |f(x)-\alpha\right|<\varepsilon}$$」のところを（ほぼ不等号の向きを変えるだけの機械的な作業ですが，これが大事）「$${f(x)>M}$$」に換えると次のようになります．

　任意の$${M>0}$$に対し，ある$${\delta>0}$$が存在して
　　　　　　　　　$${0<|x-a|<\delta~~\Rightarrow~~f(x)>M}$$
が成り立つようにできる．

　いうまでもなく，これは定義 4.3.1の(2)すなわち
　　　　　　　　　　$${\lim_{x\to a}f(x)=\infty}$$
の定義になります．

　このように 最初の(1)の定義をまず記憶し，残りは適宜不等号の向きや文字定数を変更すれば 種々の極限※の定義を導くことができます．

　授業で議論したことと以上を参考にすれば，他の定義もよどみなく書きあげられるようになると思います．

　この記事は以上です．

　※注　$${\lim_{x\to \pm\infty}f(x)=\alpha}$$や$${\lim_{x\to a\pm 0}f(x)=\alpha}$$や$${\lim_{x\to \pm\infty}f(x)=\pm\infty}$$（複号任意）など．