部分積分によると0＝1でした

　不定積分$${I=\int \frac{dx}{x\log x}}$$を
部分積分により求めてみました．

（答案）
　　　　　　　　$${I= \int \frac{1}{x}\cdot \frac{1}{\log x}dx}$$
　　　　　　　　$${=\int \left (\log x\right )'\cdot \frac{1}{\log x}dx}$$
　　　　　　　　$${=\log x\cdot \frac{1}{\log x}-\int \log x\cdot \left (\frac{1}{\log x}\right )'dx}$$
　　　　　　　　$${=1-\int \log x\cdot \left \{-\frac{(\log x)'}{(\log x)^2}\right \}dx}$$
　　　　　　　　$${=1+ \int \frac{dx}{x\log x}=1+I}$$

よって，$${I=1+I}$$より$${I}$$を左辺に移項して$${0=1}$$である．

　どこが間違っているのでしょうか．