数を作る

Threads 過去投稿まとめ 13個目です

雑です。
当初は数の分類でやろうと思ってました（やってました）
が、途中から路線変更したのでこうゆう感じになってます

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自然数

自然数はℕという記号で書かれ、
ℕ = { 1,2,3,4,... }
または
ℕ = { 0,1,2,3, ... } です（流儀と文脈によって異なる）
現代数学では、自然数はペアノの公理で定められています

ペアノの公理については以下で書いたので良ければどうぞ

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整数

..., -2, -1, 0, 1, 2, ... です
自然数に0を含めない場合
±自然数 と 0
自然数に0を含める場合
±自然数 で +0 と -0 は同じもの
足し算、引き算、掛け算ができます

ペアノ公理系の自然数 ℕ={ 0,1,2,... } と +
集合ℕ×ℕに関係(a,b)~(c,d)を、
a+d = b+c
で定義すると、これは同値関係をみたす
この同値関係による商集合 ℕ×ℕ/~ に
well-definedな加法と乗法を入れたものを
整数といい、ℤと書く
(n,0)を含む同値類を n
(0,n)を含む同値類を -n
と書く

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有理数

整数/整数で表される数です
ただし、分母に0は除く
もちろん整数を含みます
加減乗除ができます
個数の一般化である濃度
有理数の濃度は自然数の濃度と同じで可算濃度です

ℤ×(ℤ-{0}) 上に関係(a,b)~(c,d)を
ある整数t≠0が存在して、t(ad-bc)=0
と定めると同値関係になる
この同値関係による商集合 ℤ×(ℤ-{0})/~ に
well-definedな加法と乗法を入れたものを
有理数といい、ℚと書く
(a,b)を含むものを a/b 書く

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実数

有理数の隙間を極限で埋めたような数です
実数列の極限について閉じています
つまり実数列の極限も実数です
有理数列 1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, ... の極限√2は有理数ではありません
実数の厳密な定義は略しますが
有理数列をコーシー列によって完備化した全順序体 です

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複素数

実数a,bを用いて、a+biと書かれる数です！
加減乗除ができ、極限について閉じています
複素数全体は、代数的閉体です
（複素数係数の代数方程式が複素数上に解をもつ）
実数係数の代数方程式 x²+1=0 の実数解はありません

$${ (a,b),(c,d)\in \mathbb{R} \times \mathbb{R} }$$に
和を$${(a+c,b+d)}$$, 積を$${ (ac-bd, ad+bc) }$$ で定義した体です
距離を$${\sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2} }$$で定義します
$${(a,b)}$$を$${a+bi}$$と書きます

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実は、数を拡張する方法をこれ以外にいくつもあります。
これらが、今まで使われてきたものと整合するためよく使われます。
もちろん、別の世界での数学もすでによく研究されています。