円周率の近似計算に使われた定積分

先日X(旧Twitter)で円周率 $${\pi}$$の近似計算に使われた定積分のポストを見かけたので早速計算してみました。

$${\displaystyle\int_0^1\frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2} dx}$$ において$${x=\tan\theta\quad(0\leq\theta\leq\frac{\pi}{4})}$$ と変数変換すると



$${\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}}\tan^4\theta(1-\tan\theta)^4 d\theta=I_8-4I_7+6I_6-4I_5+I_4}$$



ここで $${\displaystyle I_n=\int_0^{\frac{\pi}{4}}\tan^n\theta\,d\theta\quad(n=0,1,2,\cdots)}$$である.



$${\displaystyle I_{n+2}=\int_0^{\frac{\pi}{4}}\biggl(\frac{1}{\cos^2\theta}-1\biggr)\tan^n\theta\,d\theta=\frac{1}{n+1}-I_n}$$より$${I_7+I_5=1/6}$$



また$${I_8-6I_6+I_4=1/7+5I_6+I_4=8/7-I_4=80/21-4I_0=80/21-\pi}$$だから



求める積分値は$${80/21-\pi-2/3=22/7-\pi}$$である.


さて$${\displaystyle\frac{1}{1+x^2}=\sum_{n=0}^{\infty}(-x^2)^n  (|x|<1)}$$より



$${\displaystyle\int_0^1\frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2}\,dx=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\int_0^1x^{2n+4}(1-x)^4 dx}$$



$${\displaystyle=24\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{(2n+9)(2n+8)(2n+7)(2n+6)(2n+5)}}$$となるから



$${\displaystyle\pi=22/7-24\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{(2n+9)(2n+8)(2n+7)(2n+6)(2n+5)} }$$



これによって$${\pi}$$の近似値を計算することができる．