平成11年度　東京大学大学大学数理科学研究科 修士課程 専門科目B 解析学解答

東京大学大学院数理科学研究科 専門科目Bの解析学の問題(B第9問〜B第12問、B第15問) の解答です。

B第9問(実解析) $${(1-x/n)^nf(a_nx)  (x\geq0)}$$ の形の積分の極限に関する証明問題

B第10問(関数解析) Hilbert空間 $${H}$$ 上の有界線型作用素全体が作用素ノルムに関してBanach空間になることの証明。また値域が互いに直交する可算個の等長作用素の線型結合(係数の数列は$${\ell_2}$$の元)が作用素ノルムで収束することの証明問題

B第11問(関数解析) $${\ell_2}$$ 上のある作用素 $${A}$$ のスペクトル $${\sigma(A)}$$ と $${z\notin\sigma(A)}$$ に対する $${(A-z)^{-1}}$$ を具体的に求める問題

B第12問(微分方程式) ある連立常微分方程式の解 $${(x(t),y(t))}$$ が $${t\to\infty}$$ のときに収束することを示す問題

B第15問(フーリエ解析) $${\mathbb{R}^n}$$ 上の急減少関数空間の作用素に関する証明問題