ある定積分の計算

nを自然数として

$${\displaystyle I_n:=\int_{\mathbf{R}}\biggl(\frac{\sin x}{x}\biggr)^n dx}$$

を計算する.

$${\displaystyle \int_0^{\infty}t^{n-1}e^{-xt} dt}$$において$${u=xt}$$と変数変換することで

$${\displaystyle x^{-n}\int_0^{\infty}u^{n-1}e^{-u}\,du=\Gamma(n)x^{-n}}$$



となることから



$${\displaystyle I_n=\frac{2}{\Gamma(n)}\int_0^{\infty}\int_0^{\infty}t^{n-1}e^{-xt}\sin^nx \,dxdt}$$



$${\displaystyle J_n:=\int_0^{\infty}e^{-xt}\sin^nx \,dx  (t>0)}$$



とおく. 部分積分により

$${\displaystyle J_n=\biggl[-\frac{1}{t}e^{-xt}\sin^nx\biggr]_{x=0}^{\infty}+\frac{1}{t}\int_0^{\infty}e^{-xt}n\sin^{n-1}x\cos x \,dx}$$

$${\displaystyle =\frac{n}{t}\biggl[-\frac{1}{t}e^{-xt}\sin^{n-1}x\cos x\biggr]_{x=0}^{\infty}}$$

$${\displaystyle+\frac{n}{t^2}\int_0^{\infty}e^{-xt}\{(n-1)\sin^{n-2}x\cos^2x-\sin^{n}x\} \,dx}$$

$${\displaystyle =\frac{n}{t^2}((n-1)J_{n-2}-nJ_n)}$$



より$${\displaystyle J_n=\frac{n(n-1)}{t^2+n^2}J_{n-2},\,\,\,J_0=\frac{1}{t},\,J_1=\frac{1}{t^2+1}}$$ なので



$${n}$$が偶数のとき



$${\displaystyle J_n=\frac{n!}{(t^2+n^2)(t^2+(n-2)^2)\cdots(t^2+2^2)}}$$



$${\displaystyle I_n=2n\int_0^{\infty} \frac{t^{n-2}}{(t^2+n^2)(t^2+(n-2)^2)\cdots(t^2+2^2)} \,dt}$$




$${n}$$が奇数のとき



$${\displaystyle J_n=\frac{n!}{(t^2+n^2)(t^2+(n-2)^2)\cdots(t^2+1^2)}}$$



$${\displaystyle I_n=2n\int_0^{\infty} \frac{t^{n-1}}{(t^2+n^2)(t^2+(n-2)^2)\cdots(t^2+1^2)}}$$



被積分関数を部分分数に分解する.



$${n=2m}$$のとき



$${\displaystyle f_n(t)=\frac{t^{2m-2}}{(t^2+(2m)^2)(t^2+(2m-2)^2)\cdots(t^2+2^2)}=\sum_{k=1}^{m}\frac{a_kt+b_k}{t^2+(2k)^2}}$$


の分母を払うと


$${\displaystyle t^{2m-2}=\sum_{k=1}^{m}(a_kt+b_k)\prod_{l\ne k}(t^2+(2l)^2)}$$


の両辺の次数を考えて$${\displaystyle a_k=0,\,b_k=2(2k)i\text{Res}(f_n(t),2ki)}$$



$${\displaystyle I_n=2n\sum_{k=1}^{m}b_k\int_0^{\infty}\frac{dt}{t^2+(2k)^2}=n\pi\sum_{k=1}^m\frac{b_k}{2k}}$$



$${\displaystyle =2n\pi i\sum_{k=1}^{\frac{n}{2}}\text{Res}\biggl(\frac{t^{n-2}}{(t^2+n^2)(t^2+(n-2)^2)\cdots(t^2+2^2)},2ki\biggr)}$$


$${n=2m-1}$$のときも同様にして



$${\displaystyle I_n=2n\pi i\sum_{k=1}^{\frac{n+1}{2}}\text{Res}\biggl(\frac{t^{n-1}}{(t^2+n^2)(t^2+(n-2)^2)\cdots(t^2+1^2)},(2k-1)i\biggr)}$$




例として$${n=3}$$の場合(平成30年度東京大学大学院数理科学研究科　専門科目A第7問)を計算する.



$${\displaystyle I_3=6\pi i\sum_{k=1}^2\text{Res}\biggl(\frac{t^2}{(t^2+9)(t^2+1)},(2k-1)i\biggr) }$$

$${\displaystyle=6\pi i\biggl(-\frac{1}{16i}+\frac{9}{48i}\biggr)=\pi\biggl(-\frac{3}{8}+\frac{9}{8}\biggr)=\frac{3\pi}{4}}$$

計算の際こちらの動画を参考にしました。