2021年度 東京大学大学院数理科学研究科 修士課程 入試問題 専門科目I 解答

2021年度東京大学大学大学数理科学研究科修士課程の入試問題から専門科目Iの解答を作成しました。(コロナ禍のオンライン入試ということで試験名が専門科目Aから専門科目Iになりました。)

A第1問(線形代数) 3次以下の実係数の多項式全体からなるベクトル空間$${V}$$上の線形形式
$${g_a:f(x)\mapsto f(a) , h_a:f(x)\mapsto f'(a)}$$ の核についての問題

A第2問(微分積分) $${D_a=\{(x,y)\in\mathbf{R}^2|0\leq x \leq a, 0 \leq y \leq a \}}$$ を $${\theta}$$ だけ回転させた領域上の2つの積分で表された関数 $${f(a,\theta), g(a,\theta)}$$ の($${\theta}$$ の関数としての)最大値 $${M_a, L_a}$$ について, $${L_a}$$ の値と $${\displaystyle\lim_{a\to +0}\frac{M_a}{f(a,0)}}$$ の値を求める問題

A第3問(微分積分) $${\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^2},\,g(x)=\int_1^{\infty} \frac{\sin(tx)}{t^2}\,dt }$$ が連続関数であることの証明, および $${x\to +0}$$ のときの $${x\log(1/x)}$$ との比の極限を考える問題

A第4問(線形代数) $${\mathbf{C}}$$ 線型空間 $${V,W}$$ と線型写像 $${f:V\rightarrow W}$$ に対して $${g^{\otimes r}=f^{\otimes r}}$$ をみたす線型写像 $${g:V\rightarrow W}$$ をすべて決定する問題

A第5問(関数論) $${p>1/2}$$ に対して $${\displaystyle \frac{1}{\Gamma(\frac{1}{2p})}\int_0^{\infty}\frac{\sin(x^p)}{\sqrt{x}}\,dx}$$ の値を求める問題

A第6問(微分方程式) 微分方程式 $${\displaystyle \frac{d^2x}{dt^2}-\frac{2}{t^2}x(t)=\frac{2}{t}  (t>0)}$$ の $${x(1)=a, x'(1)=b}$$ なる解を求め, $${\displaystyle I_n=\int_0^1x(t;a,b)(\log t)^n\,dt}$$ が収束するための $${a,b}$$ の必要十分条件とその値を求める問題

A第7問(位相空間論) $${\displaystyle M=\{f:[0,1]\rightarrow \mathbf{R}|f\text{は連続かつ広義単調増加}\}}$$ 上の二通りの位相(一様収束位相とすべての評価写像を連続にする最弱の位相)が一致するかどうかを判定する問題