【代数学】数学の 「canonical(カノニカル)」についてのおぼえがき ：Twitterより

以前Twitterで呟いた「カノニカルって何？」に多くの方に答えていただきました。
いろんな方に言われたことは、「圏論のuniversal mapping propertyをやるとよい」ということです

マジでcanonicalの概念が分からない
線形代数において、写像を基底を用いずに構成すればそれがcanonicalっていうことは分かったんだけど、caninicalな同型がめっちゃ強い同型(気持ち的に？)だってこととか、それ以外のカノニカルの概念が分からない

— 不自然対数 (@study_unnatural) May 15, 2023

ものすごくざっくり言うと，「人の意志が介在せず自然に定まる」が感覚としては近いと思います．
例えばベクトル空間の同型の場合，基底を用いた同型は「基底をどう取るか」というところで人の意志が介在します．
（別の言い方をすると，どの基底を取るかは人によって異なり得ます）
一方，二重双対の

— えすきす (@Esquisse1102) May 16, 2023

場合には，v ∈ V から v** ∈ V** が f ∈ V に対して v**(f) := f(v) と定めることで基底を用いずに（＝人の意志が介在せずに）自然に定まります．

そして，canonical といった場合には（人によって取るものが変わらないという意味で）ある種の一意性のようなものが成り立っているとも考えられます.

— えすきす (@Esquisse1102) May 16, 2023

ここの「人の意志が介在せずに」の意味が分からなかったため、後にリプライで質問をしています。それは一連のえすきすさんのツイートのあとに貼り付けます

通常，二つの異なる集合 V, W を同一視する際には「どういった写像（同型）で同一視しているか」を明示する必要がありますが，仮にそのような写像が1種類しかない場合（一意性が成り立っている場合），その写像を常に用いることにして，V = W と書いても，その間の対応が人に依らずに万人共通なので

— えすきす (@Esquisse1102) May 16, 2023

混乱が生じません．

一方，このような一意性がない場合，単に V=W とだけ書くと，人によって取りうる写像が千差万別なので混乱が発生します．
（このあたりはテンソル積の普遍性などを勉強するとより理解できるかと思います）

上述の様に，canonical はある種の一意性を言っているので，

— えすきす (@Esquisse1102) May 16, 2023

これが V=V** と書ける理由であり，一方 V=V* と書いてはいけない理由になります．
どういった場合に canonical といえるかは慣れが必要ですが，線形代数でいえば上の二重双対や，内積空間におけるVとV*の同型（これはcanonicalに定まります）を考えてみるといいかもしれません．

（蛇足）元々

— えすきす (@Esquisse1102) May 16, 2023

canonical は英語の canon（教会法令集，正典）からきていて，"神が定めたもの"といったニュアンスがあるのですが，我々日本人にはあまり馴染みがない文化なので，そこも canonical の感覚を掴む際の壁になっているかもしれません．
FF外から長文失礼しました．

— えすきす (@Esquisse1102) May 16, 2023

v**(f) := f(v) と定めることで
これには意思が介在しないのですか？

— 不自然対数 (@study_unnatural) May 16, 2023

まぁ確かに写像を定めるという意味では人の意志は入っているんですが，上では
"人による選択の余地が（ほぼ）無い"
という意味で「意志が介在しない」と表現しました．

— えすきす (@Esquisse1102) May 16, 2023

例えばですが，100人の数学者に「VとV** の同型を作ってください．全員一致したら100万円です」みたいな問題を出せば全員この同型を選択すると思います．
一方，単なる V と V* で同じ問題を出した場合，クリアできる可能性はほぼないと思います．

— えすきす (@Esquisse1102) May 16, 2023

「普通と思える同型」が誰にでも見えるってことですか？
いろいろ同型はあっても、その「普通と思える同型」ってのが何なのかが明らかってことですか？

— 不自然対数 (@study_unnatural) May 16, 2023

「誰にでも見える」というよりは「（実質）選択肢がそれしかない」という感じです．
そういう意味では後者の「いろいろ同型はあっても、その「普通と思える同型」ってのが何なのかが明らか」の方が canonical の感覚としては近いです．

ただ，「普通と思える同型」という言葉が少し微妙です．（続

— えすきす (@Esquisse1102) May 16, 2023

別のツイートで canonical の語源に言及しましたが，canonical は英語で「正典(聖書)の」といった意味の形容詞です．

（※ 大前提として，canonical は厳密な定義の定まった数学用語ではありません．あくまで一般的な形容詞です．ただ日本語に対応する概念がないため，その感覚を掴むのが難しい
（続

— えすきす (@Esquisse1102) May 16, 2023

のです）

つまり，canonical には
"神が決めたもの"
ぐらいのニュアンスがあります．

「普通と思える」というのはあくまで個人の感覚でしかなくて（何が"普通"かは人によって違う），そういった個人の感覚を排したところで決まる，それが canonical に決まるということです．
（続

— えすきす (@Esquisse1102) May 16, 2023

「canonical な同型」をあえて日本語に訳せば「自然に定まる同型」とか「標準的な同型」といった形になりますが，ここでの"自然"や"標準的"というのは，我々日本人が想像するものよりも遥かに強い意味合いを持つのです．

（なので逆に二つの対象の同一視とかに使えたりします）

— えすきす (@Esquisse1102) May 16, 2023

次にひろたすさんのリプライです。ブール代数との関係があるということを仰っています

通常、体上有限次元ベクトル空間Vの双対V^*=Hom_k(V,k)の双対V^*^*とVに自然な同型があることをcanonicalと言ったり双対性（の特別な場合）とみなす訳ですが、この言い方だと2元体F_2上の1次元ベクトル空間の基底はただ１つだからF_2は標準的に自己双対と同型なただ１つのベクトル空間になります。

— ひろたす@fk.jp (@ghironino) May 17, 2023

ありがとうございます。ブール代数のことは存じ上げないですが、そういうところにも繋がるのは面白いですね

— 不自然対数 (@study_unnatural) May 17, 2023

代数幾何学では、有限体や代数体などでは病理的な現象が起こる場合があり、分離閉包などの無限体に拡張して変わらないことを要請する場合があります。その場合は当然標数２でもベクトル空間の双対が自分自身と標準的に同型になることはなくなります。

— ひろたす@fk.jp (@ghironino) May 17, 2023

次にろろろさんの引用です。関手の概念を説明してくれました。ミスリーディングな説明をしてしまった、とのことで、最後に訂正をいただきました

ハッキリとした定義を与えてもらえないことにモヤモヤされてるのかな？という印象を受けたので、その想定でちょっと（的外れだったらすみません、ただベクトル空間としての同型自体に強さとかはないと分かってもらうために)。
既に他の方も言及されてますが、厳密な定義は圏論の言葉(の一部)でされます https://t.co/fnqyr2ZbJy

— ろろろ (@GrosPetitTopos) May 16, 2023

ベクトル空間Vとその二重双対V**の場合について考えます。

ベクトル空間Vは、圏論の概念である恒等関手V |→ V と見なせます（関手というのは関数を一般化した概念で、恒等関手は恒等関数を一般化したような概念）。
同じように、二重双対空間V**は、二重双対関手V |→ V** と見なせます。

— ろろろ (@GrosPetitTopos) May 16, 2023

これら２つの関手、恒等関手と二重双対関手が、関手という数学的構造として同型であるというのが、そこでのcanonicalな同型ということの意味です（より一般的な状況では、この議論だけでは説明できない色々なcanonicalityの概念があると思いますが、二重双対などのケースはこの意味のcanonicalityです)

— ろろろ (@GrosPetitTopos) May 16, 2023

ベクトル空間Vと二重双対空間V**について、それぞれに対応する関手が同型であることを、（ある種の言葉の濫用？で）もとの空間VとV**がcanonicalに同型であると表現してるわけです。

基底を用いたVと双対V*の同型も、Vと二重双対V**の同型も、ベクトル空間としての同型としては一切違いありません。

— ろろろ (@GrosPetitTopos) May 16, 2023

強さが違うとかいうようなこともありません。

ベクトル空間 V と W が同型 ⇔ ベクトル空間として同型

ベクトル空間 V と W がcanonicalに同型 ⇔ V と W が何らかの意味で関手と見なせて、その関手が同型

— ろろろ (@GrosPetitTopos) May 16, 2023

ありがとうございます。
ベクトル空間の同型に強さが本当にあると思っているというよりは、「カノニカルな同型だともはや”=”と書きたいくらいだ」という記述を見て、気持ちの上では”強い同型”なのかな？と思いました
そして、要するに「対象の間の関係性」の比較をしているわけですかね？

— 不自然対数 (@study_unnatural) May 16, 2023

そうですね。
くどいようですが、ベクトル空間の全体について定義される同値関係として、"同型" と "canonicalな同型" があって、

canonicalな同型 ⊂ 同型

ということではないので注意です。
なので個別のベクトル空間を見てる限りは、canonicalな同型という言葉は意味を成しません。

— ろろろ (@GrosPetitTopos) May 16, 2023

「VからVを作る操作」と「VからV**を作る操作」が同じ（同型）ということです。
これを、操作の値であるVとV**を使って、『VとV**がcanonicalに同型である』と表現するのがちょっとややこしい。

視点が、個別のベクトル空間の比較から、ベクトル空間に対する操作・構成の比較へと移ってるんですね。

— ろろろ (@GrosPetitTopos) May 16, 2023

すみません！
私は canonical な同型を、主に自然同型の考え方に基づいて説明したのですが、parametricity に基づいて説明する方が適切だと指摘して下さる方がいましたので、共有させてください。https://t.co/hMXXqyereP

— ろろろ (@GrosPetitTopos) May 22, 2023

一般には、parametricity と自然性の概念も無関係ではないようなのですが、少なくとも（有限次元の）VとV**の同型については parametricity による理解が適切であり、そこに関して私がミスリーディングな説明をしてしまい申し訳ありません。。。。

— ろろろ (@GrosPetitTopos) May 22, 2023

V と V** の同型が "canonical" なのって、自然性よりも parametricity の話じゃないかしら

— Taichi Uemura (@t_uemura669101) May 17, 2023

自然性だけだとスカラー倍を挟む余地が残るけど、係数体についても "parametric" なら真に一意に定まるはず

— Taichi Uemura (@t_uemura669101) May 17, 2023

体の射はあんまりないから係数体についての parametricity は自然性じゃカバーできないと思う

— Taichi Uemura (@t_uemura669101) May 17, 2023

次にカワズさんの引用です。「どんな有限次元ベクトル空間に対しても同じ形で定義できる同型がある」と理解するといいかな というアドバイスです

「特定の(有限次元)ベクトル空間を考えてるとき、他よりも強い同型がある」というふうにcanonical mapを捉えるた違和感あるけど、「どんな(有限次元)ベクトル空間に対しても、同じ形で定義できる同型がある」って理解すると、おめえつええなってのがちょっとわかるんじゃないかな https://t.co/46R7IKYxue

— カワズ on the bird (@kawazu_on_bird) May 16, 2023

圏論における関手の自然性って形でcanonicalを理解したとしても、言ってることは結局同じになると思う。個別のobjectに依存した概念じゃないから自然だよね、標準的(canonical)だよねって感じ。以後canonicalって使われてる写像は大体この意味合いで全て理解できるはず(たぶん)

— カワズ on the bird (@kawazu_on_bird) May 16, 2023

基底をとることによる同型は、ベクトル空間が変わるとその都度同型の構成の仕方を変えなくちゃいけないのでその意味でcanonicalな同型だと言わない

— カワズ on the bird (@kawazu_on_bird) May 16, 2023

線型代数を通して初めて学ぶであろうcanonicalという概念がわかりにくく感じる(もしくは新鮮に感じる)のは、それまでのobjectを主とした数学の理解から、morphismを主とした数学への理解にジャンプしているからで、構造主義的な標語で言えば「モノではなく関係に注目しろ」ってことになる気がする

— カワズ on the bird (@kawazu_on_bird) May 16, 2023

次にGengaQさんの引用です。GengaQさんはよく示唆に富んだRTをくれます。嬉しい。

考えてる構造に付加的なデータを加えずに定義できるということだと思います 自分は函手的に、と言っても同じような意味だと思っています(線形空間で基底を基底に、というのは線形空間だけでなく、付加的にどの基底を選択したか、という構造まで見て定める射になるので、線形空間だけみればcann.でない) https://t.co/gpkdfdyicr

— GengaQ SurvivoR (@kyow_QQ) May 16, 2023

線形空間+順序付き基底 というデータの組みに注目すれば、それはcann.な同型と言っていいと思います

— GengaQ SurvivoR (@kyow_QQ) May 16, 2023

あくまで相対的なものですね

— GengaQ SurvivoR (@kyow_QQ) May 16, 2023

canonicalという言葉には、辞書的な意味しか知りません。「○○より△△のほうが□□という観点から、よりcanonical」というニュアンスのようですが、気にしなくてもその場その場での定義を確認すれば困ることはないでしょうか？

— nvsnva (@nvsnva) May 16, 2023

なぜ一見異なる概念に対して、同じcannonicalという形容詞を当てるのか、ということについて説明しています
個別の場合についてそれはそう呼ぶものだ、と納得する限りにおいては困らないかと思います

— GengaQ SurvivoR (@kyow_QQ) May 16, 2023

「テンソル代数と表現論」の池田岳さんの引用です。

カノニカルは面白い概念で、明確に定義できないようだけど、いったん納得すると、明瞭です。

そのうち慣れるから、焦らなで。#テンソル代数と表現論 では60ページあたりにくどくどと説明しました^_^ https://t.co/EwDk4YQrys

— 池田 岳 (@gakuikeda1109) May 16, 2023

66ページ、テンソル積空間のところが、皆さんが書いておられる圏論的な考え方です。

でも、圏論の教科書を読む必要はひとまずありません。そのまま理解できれば大丈夫。

— 池田 岳 (@gakuikeda1109) May 16, 2023