社会人のための学び直し数学【高校数学２次関数編その５】

５．2次不等式

　今回は，2 次関数のグラフを利用する 2 次不等式の解法を考えていきます。

　最初に，これまでは詳しい説明なしですませてきた，$${x-2<0}$$ のような不等式について見てみましょう。
$${x-2<0}$$ は $${x-2}$$ が $${x}$$ の 1 次式なので 1 次不等式といいます。そして，$${x-2<0}$$ を満たすような $${x}$$ の集合を求めることを，不等式を解くといいます。1 次不等式 $${x-2<0}$$ は，$${x}$$ から $${2}$$ を引くと負の数になるのだから，$${x}$$ は $${2}$$ より小さいはずで，それは $${x<2}$$ と書けます。すなわち 1 次不等式 $${x-2<0}$$ の解は $${x<2}$$ となります。

　1 次方程式と同様に 1 次不等式の解法にも形式的な手法があります。
まず，次の性質を納得してください。

$$
A>B⇔A+C>B+C
$$

すなわち，大小関係がはっきりしている $${A，B}$$ に同じ数 $${C}$$ を加えても，相互の大小関係に変化はないということです。

【注】この性質において $${A，B，C}$$ は必ず実数です。$${A，B，C}$$ が虚数である場合，それらに大小関係は存在しません。

すると $${x-2<0}$$ より $${x-2+2<0+2}$$ から $${x<2}$$ となります。
そして，1 次方程式で $${A=B⇔A+C=B+C}$$ の関係から，移項という計算手法が導けたように，不等式についても移項という手法が導けるのです。それは以下のような考え方です。
$${x-2+2<0+2}$$ の $${-2+2=0}$$ は書かないこととして $${x<0+2}$$ とすれば，$${x-2<0}$$ で不等号の左（左辺）の $${-2}$$ を不等号の右（右辺）へ移動して，その際，符号を変化させる。
すなわち，$${x-2<0}$$ において $${x<0+2}$$ とできると考えるのです。この手法を 1 次方程式の場合と同様に移項という訳です。

$${x-3<0}$$ をこの手法で解いてみましょう。
左辺の $${-3}$$ を右辺に移項します。$${x<0+3}$$ となって，$${x<3}$$ が解です。

　次に，不等式 $${(x-2)(x-3)>0}$$ の解法を考えます。
$${(x-2)(x-3)=x^2-5x+6}$$ と展開できて 2 次式なので，
$${(x-2)(x-3)>0}$$ は 2 次不等式です。
そして 2 つの数 $${x-2}$$ と $${x-3}$$ の積が正となるような $${x}$$ の値の範囲を求めれば，2 次不等式を解いたことになります。
　さて，2 数の積が正となるとき，それぞれは同符号でなければなりません。ということは，

$${x-2<0}$$ かつ $${x-3<0}$$
または
$${x-2>0}$$ かつ $${x-3>0}$$

でなければなりません。

【注】「かつ」は「ともに成り立つ」であり，「または」は「少なくとも一方が成り立つ」という用語です。「少なくとも一方が成り立つ」には，「ともに成り立つ」場合があるなら，それも含みます。

$${x-2<0}$$ かつ $${x-3<0}$$ は，
$${x<2}$$ かつ $${x<3}$$ ですから，
結局 $${x<2}$$ です。
$${x-2>0}$$ かつ $${x-3>0}$$ は，
$${x>2}$$ かつ $${x>3}$$ ですから，
結局$${x>3}$$（$${3＜x}$$ とも書く）です。
したがって，$${(x-2)(x-3)>0}$$ の解は
$${x<2}$$ または $${3＜x}$$（$${x<2，3＜x}$$ とも書く）となります。
図で確認すると，

であり，確かに $${x＜2，3＜x}$$ です。

　それでは本題，2 次関数のグラフを利用する解法です。この解法は，上述の解法より直感的に理解できます。
　少し準備をしましょう。
　$${xy}$$ 平面上で，$${x}$$ 軸（横軸）より上の方は $${y＞0}$$ であり，$${x}$$ 軸より下の方は $${y＜0}$$ となります。それぞれ，$${y＞0}$$ の表す領域（または，領域 $${y＞0}$$），$${y＜0}$$ の表す領域（または，領域 $${y＜0}$$）といいます。詳しく説明すると，領域 $${y＞0}$$ 上の点 $${(x，y)}$$ であれば，すべての点について $${y>0}$$ となり，領域 $${y＜0}$$ 上の点であれば，すべての点について $${y＜0}$$ となるということです。
　次に，放物線 $${y=x^2-5x+6}$$ と $${x}$$ 軸との交点を求めます。前回４でやったように，2 次方程式 $${x^2-5x+6=0}$$ の解が交点の $${x}$$ 座標を与えます。$${(x-2)(x-3)=0}$$ から $${x=2，3}$$ となるので，
求める交点は $${(2，0)，(3，0)}$$ です。
　準備は整いました。

$${y=x^2-5x+6}$$ のグラフを，特に $${x}$$ 軸との交点を意識して描きます。

図５－１　    

そして，$${(x-2)(x-3)>0}$$ となるのは

$$
y=x^2-5x+6=(x-2)(x-3)>0
$$

より，$${y＞0}$$ となるところだから，グラフが $${x}$$ 軸より上，すなわち，領域 $${y＞0}$$ の部分に存在するような $${x}$$ の値の範囲を考えます。したがって，$${x＜2，3＜x}$$ です。

図５－２　

図５－２を参考に，2 次関数のグラフの利用法を確認してください。

練習問題　2 次不等式 $${(x-2)(x-3)<0}$$ を解け。
［ヒント］$${y=x^2-5x+6}$$ のグラフが，領域 $${y<0}$$ にある $${x}$$ の値の範囲を求めます。

【答】$${2＜x＜3}$$