社会人のための学び直し数学【高校数学文字式編その５】

７．因数分解①

　式の展開について一通り見てきたので，今回は因数分解について考えます。
　以前ふれたように，1 つの多項式を 2 つ以上の多項式の積の形に表すことを因数分解といいます。例えば $${A}$$ という多項式を多項式 $${B}$$ と $${C}$$ の積で表すとき，すなわち $${A=BC}$$ のとき，$${B}$$ や $${C}$$ を $${A}$$ の因数といい，$${A}$$ を因数分解すると $${BC}$$ となるというのです。

　まず，一番初歩的な因数分解の方法として，共通因数でくくるというものがあります。
　例として $${6x^2yz-3xy^2z}$$ を因数分解します。
これは，$${6x^2yz=3xyz×2x,   3xy^2z=3xyz×y}$$ であることに着目します。2 つの式はともに同じ式 $${3xyz}$$ を，それぞれ異なる式 $${2x,   y}$$ にかけてできたもので，この同じ式 $${3xyz}$$ を 2 つの式の共通因数といいます。そして，分配法則を逆に使うと

$$
6x^2yz-3xy^2z=3xyz×2x-3xyz×y=3xyz(2x-y)
$$

と計算できます。この計算を共通因数でくくるといって，これで因数分解が完了です。

　注）$${3xyz,   2x-y}$$ は $${6x^2yz-3xy^2z}$$ の因数です。

　次に，これまで紹介した展開公式を逆に使う因数分解です。
展開公式をもう一度あげてみると
　展開公式１　$${(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab}$$
　展開公式２　$${(a+b)^2=a^2+2ab+b^2,   (a-b)^2=a^2-2ab+b^2}$$
　展開公式３　$${(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$$
　【参考１】　$${(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3}$$
　【参考２】　$${(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3}$$
　展開公式４　$${(ax+b)(cx+d)=acx^2+(ad+bc)x+bd}$$
となります。
これらを逆にして因数分解公式とします。
　因数分解公式１　$${x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)}$$
　因数分解公式２　$${a^2+2ab+b^2=(a+b)^2,   a^2-2ab+b^2=(a-b)^2}$$
　因数分解公式３　$${a^2-b^2=(a+b)(a-b)}$$
　【参考１】　$${a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)}$$
　【参考２】　$${a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)}$$
　因数分解公式４　$${acx^2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)}$$

　今回は特に因数分解公式４について考えてみます。
　$${3x^2-11x+6}$$ を因数分解しましょう。
これは因数分解公式４において，$${x}$$ の 2 次，1 次，0 次の項の係数にあたる $${ac,   ad+bc,  bd}$$ がそれぞれ 3,   -11,   6 となるように $${a,   b,   c,   d}$$ の 4 つの文字をうまく組み合わせてつくればいいのです。すなわち

$$
ac=3,   ad+bc=-11,   bd=6
$$

となるように $${a,   b,   c,   d}$$ を決定する問題です。ところが $${a,   b,   c,   d}$$ の 4 つの未知数に対して 3 つの方程式しかないので $${a,   b,   c,   d}$$ は一意的に決定できません。（実は $${ad,   bc}$$ に関して対称的な値になるのですが，ここでは深入りしないでおきます。）
そこで，普通 $${a,   b,   c,   d}$$ は整数にする（実は，これが重要です）ことから，まず $${ac=3}$$ より $${a=1,   c=3}$$ と決めてしまいます。
次に $${ad+bc=-11}$$ から $${d+3b=-11}$$ であり，$${bd=6}$$ から（$${bd>0}$$ なので，$${b,   d}$$ は同符号になることに注意します。）$${b=-3,   d=-2}$$ と決定します。
ここで，$${bd=6}$$ となる同符号の整数 $${b,   d}$$ の組 $${(b,   d)}$$ は

$$
(b,   d)=(-1,   -6),   (-2,   -3),   (6,   1),   (3,   2),   ・・・
$$

のように複数あるのでは？と疑問が浮かぶかもしれません。
しかし，このような組のうちで $${d+3b=-11}$$ となるものを選ぶので

$$
(b,   d)=(-3,   -2)
$$

を採用するのです。

　このとき６で紹介したたすきがけが，とても便利です。

図　７-1

まず $${a=1,   c=3}$$ と決めて始めます。当然 ① は 3 となっています。次に ② が 6 となるように $${b,   d}$$ を仮に決めて，③ が -11 となる $${b,   d}$$ の組を成功とするのです。
下のたすきがけの例では，最初の 2 つは失敗で，最後のが成功したものになります。

図　７-2

ある程度の試行錯誤が必要ですが，文字式だけで考えるよりは見通しがよくなります。
結果，$${3x^2-11x+6=(x-3)(3x-2)}$$ と因数分解できます。

練習問題　次の式を因数分解せよ。
（1）$${6a^2b-3ab^2}$$　　　　　　　（2）$${2x^2-5x+2}$$

【答】（1）$${3ab(2a-b)}$$（2）$${(x-2)(2x-1)}$$
【解説】（1）共通因数は $${3ab}$$ です。（2）たすきがけを利用。