
【高校物理】力学分野「特講 束縛条件」 <大幅増補改訂版>
「束縛条件」(拘束条件)とは,
実験設定の都合で生じる動き方への制限条件
です。
レベルの高い大学で頻出の「束縛条件」
(注:最近はどのレベルの大学で出題されても不思議ではなくなった)
しかし参考書ではあまり本格的に扱われない「束縛条件」
参考書にないのなら自らつくるしかない!
と考えて2012年につくったのがこの「特講 束縛条件」です。
「マニュアル」っていい響きではないけれど,
「マニュアル」ってめちゃくちゃ重要です。
「マニュアル」が正しく読めるようになることが,
理系の人間にとって,最も重要なことです。
この特講は「束縛条件」問題に対する「マニュアル」です。
まずは「マニュアル」を理解して,使いこなせるようになろう。
昨年度(2020年),Twitter に投稿した「特講 束縛条件」を再編集して,
さらに演習問題を追加し,より実戦的なものに仕上げました。
また,読者から要望の大きかった
問題&解答・解説のPDFファイルを各項目の後に添付しておきました。
必要があればダウンロードしてください。
【特講 束縛条件1】
(講義1)その1 特定方向に動かない
その2 斜面上に落下 <例題1>
「束縛条件(拘束条件)」がなぜ入試でよく問われるのか
を最近考えています。
「この実験はどんな制約(束縛)の中で行われているのか」
を知ることは,実験をする上での『大前提』なんやね。
その『大前提』を見抜く力を知りたいと出題者は思っているのです。
「講義」と「例題」はセットです。
講義内容を確認する場が「例題」だと考えてください。
【特講 束縛条件1】(講義1)
— マナ物理 (@manabu_physics) November 4, 2021
その1 特定方向に動かない
その2 斜面上に落下 <例題1>
「束縛条件」という言葉が,何か難しそう…という印象を与えるのだと個人的には思っているのですが,この講習を終える頃には,「束縛条件」が好きになっていますよ(笑)
そうなるように,私も頑張ります! pic.twitter.com/c2xm1GjPnU
【特講 束縛条件1】
— マナ物理 (@manabu_physics) November 4, 2021
<例題1>(解答・解説)
入試で頻出の「束縛条件」。しかし参考書などではあまり本格的に扱われない。いったい「束縛条件」って何なのだろう?
「束縛条件」の難しさは,一言でいうと「本質的には数学」だから。これから「束縛条件」を語ります。実戦問題も多数用意しています! pic.twitter.com/60daWl2QYy
【特講 束縛条件2】
(講義2)その3 向心加速度など(円運動)
その4 滑車にかけた糸 <例題2>
「その3」の考え方
「軌道の式を時間微分する」や「半径と速度は直交する」
ことを利用するのは,もう少し先です(実戦問題参照)。
ここでは,「軌道の式」を時間微分すると,
さまざまな物理量の関係が導かれることを体験してください。
「その4」は,今回は「定滑車」ですが,
「動滑車」の場合でも,考え方(糸の長さは変わらない)は同じです。
これも後ほど,実戦問題で演習をしましょう。
(注:1つ目のツイートの添付ファイル1枚目は講義1と同じです)
【特講 束縛条件2】(講義2)
— マナ物理 (@manabu_physics) November 4, 2021
その3 向心加速度など(円運動)
その4 滑車にかけた糸 <例題2>
向心加速度 𝒗²/𝒓 は円の方程式(束縛条件)から導かれます。そして円運動の速度と半径の関係も。「軌道の式(束縛条件)は様々な情報を含んでいる」ことが実感できます。
後半は “動く”定滑車の問題。 pic.twitter.com/296y81gzEV
【特講 束縛条件2】
— マナ物理 (@manabu_physics) November 4, 2021
<例題2>(解答・解説)
入試問題では特にことわりがなければ,「糸の長さは変わらない(糸が伸び縮みしない)」としていいです。それが束縛条件。ここから3つの物体の加速度の関係式が出てきます。それは相対加速度から導くこともできます。束縛条件を回避する方法も示しました。 pic.twitter.com/yBNaqLJjhs
【特講 束縛条件3】
(講義3)その5①
傾角𝜽 の動く斜面に沿って動く
<例題3>筑波大学 過去問解説
「2体問題」のもっとも出題されるパターンです。
毎年,どこかの大学で出題されています。
(講義3)と(講義4)の2回にわたって
このパターンの問題の解き方を解説していきます。
動く三角台から見て,「慣性力」で解くこともありますが,
難関大の傾向として,
静止系から見て,「束縛条件」を求めさせる出題が多いです。
【特講 束縛条件3】(講義3) <例題3>
— マナ物理 (@manabu_physics) November 8, 2021
その5① 傾角θの動く斜面に沿って動く
その5が入試で最もよく出題されます。(水平面上を摩擦なく動く)三角柱の滑らかな斜面の上に小物体をのせて手放すと,両者の加速度成分の間にある関係式が成り立ちます。筑波大学の入試問題を通して考えていきましょう。 pic.twitter.com/fUuPdRb3YF
【特講 束縛条件3】
— マナ物理 (@manabu_physics) November 8, 2021
<例題3>(解答・解説)
(3)の解説で「すべて正方向に動かす」に抵抗感を覚える人がいると思います(ありえない動きですし)。その人は,「講義4」の<例題4>の解説まで待ってください。
難関大の傾向として,「慣性力」ではなく,静止系で「束縛条件」を絡める出題が多いです。 pic.twitter.com/ltpYnCzKW1
【特講 束縛条件4】
(講義4)その5②
傾角𝜽 の動く斜面に沿って動く
<例題4> 大阪大学後期日程(1990年)
過去問解説
大阪大学後期日程(1990年)の問題を改変して,
束縛条件に関するさまざまな要素を盛り込みました。(盛り込みすぎ?)
最後に,<例題3>(3)の束縛条件を
「実際に起こる運動の図」で導出しなおしておきました。
確認してください。
【特講 束縛条件4】(講義4) <例題4>
— マナ物理 (@manabu_physics) November 8, 2021
その5② 傾角θの動く斜面に沿って動く
「加速度の成分」ではなく,「加速度の大きさ」が与えられたときは『実際に起こる運動の図』を描いた方が解きやすいです。<例題4>では,大阪大学後期日程(1990年)の問題を「束縛条件」の問題として大幅に改変しました。 pic.twitter.com/hW0u2nNsKb
【特講 束縛条件4】
— マナ物理 (@manabu_physics) November 8, 2021
<例題4>(解答・解説)
(2) 最下点Sに達する直前→垂直抗力は鉛直方向→くさびの水平方向の加速度0→慣性力はなし。そして,くさびから見ると小物体が「円運動」することを利用。力を求めるのだから「運動方程式」を立てる。円運動の速さ(接線方向)は相対速度やね。要注意! pic.twitter.com/PZLpE8X75A
【特講 束縛条件4】
— マナ物理 (@manabu_physics) November 8, 2021
<例題3>(解説補足)
「例題3(3)」(講義3)の束縛条件を,『実際に起こる運動の図』を使って導いておきましょう。例題3の問題をもう一度載せておきます。実は,どのタイプの問題でもすべてこの『実際に起こる運動の図』で処理ができますが,符号に注意をする必要があります。 pic.twitter.com/L1qfqOXKs2
【特講 束縛条件5】
(講義5)その6 トータルの変位の差
<例題5>
今回扱っている「トータルの変位の差」の束縛条件の式は,
これこそ当たり前の式です。
なんの説明もなくこの式を立てている問題集もあります。
しかし,その ”当たり前” のことができない人が多いので,
私はこれにも「束縛条件」という名前をつけています。
名前をつけると相手がはっきりするので,
対処がしやすくなります。
( 結局,「図を描く」ということなんやけど,ね(笑) )
【特講 束縛条件5】(講義5)
— マナ物理 (@manabu_physics) November 10, 2021
その6 トータルの変位の差 <例題5>
ブロックとその上のおもり,どちらも摩擦なく動くとき「トータルの変位の差」に「束縛条件」が隠れています。入試ではこのタイプが増えています。1,2枚目は「その6」と<例題5>。3,4枚目は例題5(1)(講義3の復習問題)の解説。 pic.twitter.com/agKCgGEI0Q
【特講 束縛条件5】
— マナ物理 (@manabu_physics) November 10, 2021
<例題5>(解答・解説)
(1) 講義3の方法でいいのですが,「位置座標」を考えると1枚の図で「束縛条件」が求められること(別解)を示しました。
(2)は別解の多い問題。「束縛条件」が必要な解法を紹介。次回の講義6で,束縛条件でなく,𝒗-𝒕 グラフを利用した解法で解きます。 pic.twitter.com/0tYgImGB8b
【特講 束縛条件6】
(講義6)なぜ力学的エネルギー保存則が
成り立つのか?①<例題5>
追加問題
(重要!)𝒗 - 𝒕 グラフを利用した解法
「例題5」(講義5)の(2)を解き方を
「𝒗 - 𝒕 グラフを利用」と指定して時間追跡をさせます。
𝒗 - 𝒕 グラフを描いて運動を解析する方法は,
是非マスターしてほしいと思います。
さらに,「例題5」に(3)を追加しました。
2体問題でよく問われる問題ですが,
なぜ力学的エネルギーが保存するのか,を真面目に考えてみましょう。
【特講 束縛条件6】(講義6)
— マナ物理 (@manabu_physics) November 12, 2021
その7 なぜ力学的エネルギー保存則
が成り立つのか?①<例題5>追加問題
二体問題で「なぜ力学的エネルギー保存則が成り立つのか?」について考えてみましょう。垂直抗力のする仕事の和が ( A+B 全体で) 0 であることを示すときに,「束縛条件」がからんできます。 pic.twitter.com/kXU91s0d5g
【特講 束縛条件6】
— マナ物理 (@manabu_physics) November 12, 2021
(解答・解説)
例題5の(2)の問題を改変しました。「保存則」を利用せずに「時間追跡」で問題を解いてしまおうとする試みです。そのときに活躍するのが 𝒗 - 𝒕 グラフ。これは重要な考え方です。
二体問題の力学的エネルギー保存則導出は下の動画で。https://t.co/nDLUnXmFd8 pic.twitter.com/0t79eZfX9z
ツイート内でも紹介している動画です。是非!
【特講 束縛条件7】
(講義7)なぜ力学的エネルギー保存則が
成り立つのか?②<例題6>
例題6は東京工業大学の過去問。
このタイプの問題はよく入試問題で見かけます。
未知量は2つなので,立てるべき式は2本。
しかしそこでちょっと考えてみてください。
本当にその式は成り立つのでしょうか。
運動量保存則が成り立つのは,
水平方向にはそれぞれに働く張力の水平成分以外に
力積を与える力がないからです。その大きさは等しく,向きが逆やね。
では,力学的エネルギー保存則を導出することはできますか?
まずは下の動画で導出をしておきましょう。
【特講 束縛条件7】(講義7)
— マナ物理 (@manabu_physics) November 14, 2021
その7 なぜ力学的エネルギー保存則が
成り立つのか?② <例題6>
引き続き,2体問題で「なぜ力学的エネルギー保存則が成り立つのか」について考えます。今回は「軌道の式」が束縛条件。詳しくは下の動画で。https://t.co/7Z9B3Lt3MJ
例題6は東工大の過去問。 pic.twitter.com/ss4zS4mhUn
【特講 束縛条件7】
— マナ物理 (@manabu_physics) November 14, 2021
(解答・解説)
例題6の(2)は「トータルの変位の差」の束縛条件(講義5)を利用します。このタイプの問題は,よく取り上げられるのですが,重心座標を用いたものが多いことが個人的に気になっています。Z会の問題集の解法を示しておきます。なんと答えを「公式化」しています(笑) pic.twitter.com/vrZAJ6If3q
【特講 束縛条件8】
(実戦問題1)横浜市立大学医学部(1991年)
実際の入試問題を通して,講義内容の確認をしていきます。
「束縛条件」を扱った問題は多いのですが,
その中でも興味深いものを選びました。楽しんでください。
そして,もしつまづいたら「講義」に戻ってください。
どの講義に戻ればいいかは,それぞれのツイート内で示しています。
【特講 束縛条件8】
— マナ物理 (@manabu_physics) November 17, 2021
(実戦問題1)
実際の入試問題においてどのような形で「束縛条件」が問われるのかを見ておきましょう!
まずは 横浜市立大学医学部(1991年)の過去問。(2)が #束縛条件 です。束縛条件=幾何学的条件 と見ることができます。(講義2)の「その4」<例題2>を参照してください。 pic.twitter.com/v2b0mhu8gv
【特講 束縛条件8】
— マナ物理 (@manabu_physics) November 17, 2021
(解答・解説)
(1)は,おもりPとQはそれぞれが(重力による)位置エネルギーの基準を持ちます。それが θ=0のときの位置。
(2)の束縛条件は2通りの方法で導出しておきました。ほとんどの人は(別解)で解いたと思いますが…。そして,(2)が解けないと(3)(4)へ進めないんやね。 pic.twitter.com/af7NzMYtsW
後日,この問題で成り立つ
「力学的エネルギー保存則」をどのように導出するのか,
という質問が届いたので,以下に導いておきました。
参考にしてください。
返信が遅れてごめんなさい。
— マナ物理 (@manabu_physics) October 23, 2024
画像を見させていただきましたが,張力の向心方向成分が抜けていたのですが,今回の議論には関係ありませんね。運動方程式と束縛条件とから力学的エネルギー保存則を導いてみました。急いでつくったので添え字など間違いがあるかもしれません。ご指摘ください。
マナブ pic.twitter.com/MhEpvrno3u
【特講 束縛条件9】
(実戦問題2)東京工業大学(2016年)
いきなり「束縛条件」を問う問題。
しかもそのあとの展開に対応できた受験生は少なかったと思います。
壁の左上の点から見たおもりの運動は?
「糸の長さが変わらない」という束縛条件から何が結論づけられますか?
【特講 束縛条件9】
— マナ物理 (@manabu_physics) November 18, 2021
(実戦問題2)
添付ファイルは,東京工業大学(2016年)の過去問。最近の入試問題の中で「束縛条件」が扱われる(問われる)とき,現象がイメージできる者にとっては「当たり前」なことが多い。その「当たり前」なことを数式化して,誰にでも分かる形で説明したいと考えています。 pic.twitter.com/Uc9Hi8af34
【特講 束縛条件9】
— マナ物理 (@manabu_physics) November 18, 2021
(解答・解説)
(c)で ①「おもりが半径sの円運動をする(束縛条件)」,だから ②「張力𝑻₂は仕事をしない」,さらに ③「力学的エネルギー保存則が成り立つ」のすべてが見通せる受験生はなかなかいません。
特講の性質上 [B]はカットしましたが,東工大志望の人は解いておこう! pic.twitter.com/gilxdI8hll
【特講 束縛条件10】
(実戦問題3)慶應義塾大学理工学部(2021年)
「束縛条件」だらけの問題。
この特講を受講している人にとっては,
どう攻めるか,考えがいのある問題だと思います。
まずはツイートを読まず,下のPDFファイルを開いて問題を解こう!
もし途中で手が止まったら,ツイートにヒントを書いておいたので,
参考にしてください。
【特講 束縛条件10】
— マナ物理 (@manabu_physics) November 22, 2021
(実戦問題3)問題①
添付ファイル(8枚)は,慶應義塾大学(2021年)の過去問。「束縛条件」的に,なかなか興味深い問題です。はじめは順調に解けるでしょうが,逆U字型の物体の固定を外したあたりからどう攻めてよいのか分からなくなります。
手が止まったら「束縛条件」です。 pic.twitter.com/1YTWfc5OoL
【特講 束縛条件10】
— マナ物理 (@manabu_physics) November 22, 2021
(実戦問題3)問題②
ヒントは,(講義2)「その3」と(講義7)<例題6>です。さらに,(講義5)「その6」も参考になります。そう考えるとこの慶應の問題は「束縛条件」を本格的に学んでいないと高得点がとれない構成になっています(高得点がとれなくても合格するのですが…) pic.twitter.com/BGECYV6gpB
【特講 束縛条件10】
— マナ物理 (@manabu_physics) November 22, 2021
(解答・解説)①
やはりポイントは(エ)(オ),そして(キ)でしょうね。束縛条件だらけです(笑) 特に(エ)は受験生のほとんどが解けていないと思います。逆U字型の物体から見た小球の運動が円運動であることから「束縛条件」が導けます。いきなり速度の関係式を立ててもいいですね。 pic.twitter.com/kRHanQ2gZt
【特講 束縛条件10】
— マナ物理 (@manabu_physics) November 22, 2021
(解答・解説)②
(キ)は誘導にのれば「重心の位置の公式」を使うのでしょうが,この特講を受けている人なら,(講義5)の「トータルの変位の差」で解きたくなるでしょうね(ということで,こちらを【解】としました)。(ケ)は(ク)の誘導をうまく使った方が解きやすいと思います。 pic.twitter.com/DWePNUOzQz
【特講 束縛条件11】
(実戦問題4)第2回全統記述模試(1988年)
河合塾の全統記述模試から「束縛条件」の問題です。
1988年の頃の全統模試を見返してみると,
点数で優劣をつけるだけではない,
復習するに値する問題が多く出題されていました。
この問題もその一つです。
最後の問7が束縛条件の問題なのですが,
問7にいたるまでの問題も
力のベクトルを1本1本ていねいに描くことで解けるように
工夫がなされています。
「視点の移動」がポイントです。
【特講 束縛条件11】
— マナ物理 (@manabu_physics) November 25, 2021
(実戦問題4)
添付ファイル(4枚)は,河合塾1988年第2回全統記述模試の改題です。今から振り返ると,当時の全統模試は教育的な問題が多かったように思います。問7では,速度ではなく「速度の大きさ」=「速さ」を定義しています。注意深く問題文を読んで,必ず絵を描こう! pic.twitter.com/M002v2mbQ5
【特講 束縛条件11】
— マナ物理 (@manabu_physics) November 25, 2021
(解答・解説)
問7の誘導にうまくのれましたか。ポイントは,𝑴=𝒎 の関係式から文字が1つ減ること。そして,与えられているものが「速さ」(大きさ)であることから,『実際に起こる変位』に基づいて絵を描くこと(講義4の<例題4>の解説を参照してください)。 pic.twitter.com/rnlcWKVg8V
私が好きな言葉をここで紹介します。
物理講師 坂間勇 は著書「現代の物理学 力学編」で,
各物体に働く力を図示したあと,
「ここまでが勝負です。この図を間違いなく描けるようになるためには,
だれでも3ヶ月の訓練を要する」
と述べています。
【特講 束縛条件12】
(実戦問題5)第3回全統記述模試(1988年)
実戦問題4に続き,河合塾全統記述模試の過去問です。
力学の手法のすべてが盛り込まれた良問です。
教員になった当初,こんな問題をつくりたいと思ったものです。
問3を見ると,「微小振動」と書いてあります。
「微小」なので,鉛直線とのなす角が小さいということ。
公式は使ってもいいけれど,導出する過程が重要。
どういう条件ならばその公式が成立するのか,
常にそれを考えながら公式を使ってください。
「円筒面に束縛された運動」は,
次の実戦問題6&7(東工大)につながります。
【特講 束縛条件12】
— マナ物理 (@manabu_physics) November 29, 2021
(実戦問題5)
添付ファイル(4枚)は,河合塾1988年第3回全統記述模試の改題。「保存則」「束縛条件」「時間追跡」など,さまざまな要素を含む良問。
「小物体」なので大きさは考えなくて大丈夫。問4以外は答えのみでいいですが,全問記述式だと想定して答案をつくってみよう! pic.twitter.com/Noh6HwOXFa
【特講 束縛条件12】
— マナ物理 (@manabu_physics) November 29, 2021
(解答・解説)
「単振り子」は通常,糸につり下げたおもりを微小振動させることで見られる運動ですが,今回は円筒面と小物体。「糸の長さが変わらない」の代わりに「円筒面が変形しない」という束縛のもとでの運動です。
この問題が,2020年の東工大の力学問題につながります。 pic.twitter.com/msTUQgNxcU
【特講 束縛条件13】
(実戦問題6)東京工業大学(2020年) 問題[A]
2020年の東工大の力学問題(問題[A])です。
東工大は「束縛条件」が好きなんだなぁ,
ということがよく分かる問題です。
この問題,多くの別解が考えられるんですよね。
「別解が多い問題は良問」
私のつくった格言ですけれど(笑)
【特講 束縛条件13】
— マナ物理 (@manabu_physics) November 30, 2021
(実戦問題6)
添付ファイル(4枚)は,東京工業大学(2020年)の大問の1問目です。分量が多いので,今回は[A]のみ。
[B]も併せて解いてみると分かりますが,全体を通して,「束縛条件」だらけです。どんな束縛を受けているのかを見極めれば,立てるべき式が見えてきます。 pic.twitter.com/qkqAbe4gvn
【特講 束縛条件13】
— マナ物理 (@manabu_physics) November 30, 2021
(解答・解説)
円筒面による束縛は,「実戦問題5」でも扱いました。微小振動を「単振り子」とみなします。(d)(イ)は力学的エネルギー保存則で解いても,単振動を円運動に変換して解いても,どちらでも解けるようにうまく作られています。(別解)も是非読んでください。 pic.twitter.com/HiIXGAFljm
【特講 束縛条件14】
(実戦問題7)東京工業大学(2020年) 問題[B]
「実戦問題6」に引き続き,
2020年の東京工業大学の力学問題[B]です。
[B]だけで独立に解くことができます。
2体問題で「なぜ力学的エネルギーが保存するのか?」に関しては,
【特講 束縛条件6】「講義6」で解説しています。
「講義6」に関しては,解説動画もあるので,是非!
【特講 束縛条件14】
— マナ物理 (@manabu_physics) December 1, 2021
(実戦問題7)
添付ファイル(4枚)は実戦問題6(東京工業大学(2020年))の続きです。[B]だけで独立に解くことができます。必要事項はすべて記しておいたので,解いてみてください。東工大にしては,少しヒントが多いような気も…。
[C]も興味深い問題でしたが,カットしました。 pic.twitter.com/EEZqjVIIsc
【特講 束縛条件14】
— マナ物理 (@manabu_physics) December 1, 2021
(解答・解説)
(g)(オ)については,相対速度のベクトル図を描いてもOK。本来であれば (g)(カ)において,なぜ力学的エネルギー保存則が成立するのかを考えなければならないところですが,それは【特講 束縛条件6】「講義6」で解説しました(これも「束縛条件」から導かれます)。 pic.twitter.com/t8Io0GTQ16
【特講 束縛条件15】
(実戦問題8)東北大学(2005年)
さまざまな視点からひとつの現象(運動)を眺めるような問題が好きです。
その問い方(誘導)がうまいと,なんだかうれしくなります。
この東北大学の問題はその一つです。
【特講 束縛条件15】
— マナ物理 (@manabu_physics) December 2, 2021
(実戦問題8)
添付ファイル(4枚)は,東北大学(2005年)の過去問。運動方程式と保存則の双方からのアプローチがあり,総合的な力を測れる問題となっています。誘導がしっかりしているので解きやすいのですが,やはりネックとなるのが「束縛条件」。東北大は問い方がうまいです。 pic.twitter.com/Czz5VwtGzI
【特講 束縛条件15】
— マナ物理 (@manabu_physics) December 2, 2021
(解答・解説)
(2)(a)の束縛条件は,実際に起こる運動の図を描いて,符号に注意しながら立ててください。
今年の3月,教学社から「東北大の物理15カ年」が出版されましたが,2006年からの収録なので,この問題は載っていません。「#束縛条件 好き」としては,非常に残念です。 pic.twitter.com/KtvojnXeph
【特講 束縛条件16】
(実戦問題9)日本医科大学後期(2018年)
必ず絵(図)を描きながら考えてください。
解説動画を2本つくっています。
そこでは「実際に起こる現象の図」で解説しています。
動画では「束縛条件の基本」から解説しているので,
是非観てください!
【特講 束縛条件16】
— マナ物理 (@manabu_physics) December 3, 2021
(実戦問題9)
添付ファイル(3枚)は日本医科大学後期(2018年)の問題。うまく問題が作られており,答えはシンプルです。ただし「束縛条件」の問題を解き慣れてないと厳しい。必要な条件を考え,立てられる式を次々と立てていかなければなりません。正答率は低かったと思います。 pic.twitter.com/gzy3JjkQxf
【特講 束縛条件16】
— マナ物理 (@manabu_physics) December 3, 2021
(解答・解説動画)
必ず絵(図)を描きながら考えてください。
解説動画を2本つくっています。今回は「実際に起こる現象の図」で解説しています。最後,「力学的エネルギー保存則」が成り立つ理由はもう大丈夫ですね。#束縛条件https://t.co/l3TdWVHqZ3https://t.co/WersMGlZtG pic.twitter.com/qZVAPFuHYO
【特講 束縛条件17】
(実戦問題10)東京電機大学・北海学園大学
一般の問題集に載っている「束縛条件」といえば「動滑車」,
「動滑車」といえば「束縛条件」ですね(笑)
ただし「束縛条件」という用語を使っているものは少ないです。
【特講 束縛条件17】
— マナ物理 (@manabu_physics) December 6, 2021
(実戦問題10)
添付ファイル(4枚)は,東京電機大学と北海学園大学の過去問(改題)です。大問を2問用意しました。動滑車問題の典型問題です。(講義2)の「その4」の演習問題です。分からなくなったら,【特講 束縛条件2】に戻ってください。
大問2には解説動画があります。 pic.twitter.com/VKLpt7x4A8
【特講 束縛条件17】
— マナ物理 (@manabu_physics) December 6, 2021
(解答・解説)
「束縛条件」を手順を踏んで求めましょう。
大問2の解説動画です。https://t.co/4enlPU1tJN
(6)は興味深いです。支点PとQにはたらく力の合計がおもりとくさりの重力合計より小さくなる理由について,動画で考察(図解)しています。是非,最後まで観てください。 pic.twitter.com/vrGmmknIUG
大問2(北海学園大学)の解説動画もどうぞ。
【特講 束縛条件18】
(実戦問題11)東進センタープレ(1997年)
四半世紀前の東進センタープレの問題。
東進がここまで大きくなかった時代。
受験者数が少なく,
当時の受験生の学力を正確に見極められなかったと思われます。
いきなり1問目から束縛条件(笑)
平均点はおそろしく低かった…。
【特講 束縛条件18】
— マナ物理 (@manabu_physics) December 7, 2021
(実戦問題11)
添付ファイル(4枚)は,東進センタープレ(1997年)の問題です。一つひとつていねいに解いてください。マークシート形式(選択問題)ですが,式変形などのケアレスミスが多発する問題です。絵は必ず描こう!(この問題は,大学入学共通テストの前に復習しておきたい) pic.twitter.com/WTggfUlIKT
【特講 束縛条件18】
— マナ物理 (@manabu_physics) December 7, 2021
(解答・解説)
cos と sin を間違えませんでしたか? いつもと違うところの角度がθになっている!
この問題のポイントは,①変位の関係式から加速度の関係式を導くこと(#束縛条件) ②斜面の傾角がθではないことに気がつくこと ③「問われている物理量」を求めるための式変形 pic.twitter.com/93NednbbLV
【特講 束縛条件19】
(実戦問題12)金沢大学(1991年)
講義3(【特講 束縛条件3】)と講義4(【特講 束縛条件4】)の
復習問題です。
直接,束縛条件を問うてはいません。注意が必要です。
「マナブ追加問題」を最後に入れておきました。
「はかり」に関する実験問題です。個人的に好きな設定です。
【特講 束縛条件19】
— マナ物理 (@manabu_physics) December 10, 2021
(実戦問題12)
添付ファイル(2枚)は金沢大学(1991年)の過去問(改題)です。束縛条件が前面に出てはきていませんが,立てる必要があります。「速さ」を求めるとき,小物体と台の「速度」をそれぞれおいて考える方が楽です。
「マナブ追加問題」(3枚目)は今後ねらわれる可能性大! pic.twitter.com/IZDhLp6J3i
【特講 束縛条件19】
— マナ物理 (@manabu_physics) December 10, 2021
(解答・解説)
速度を仮定して,正方向に変位したと考えて図を描きました(講義3)。「実際に起こる運動の図」(講義4)で束縛条件を立ててもいいのですが,運動量保存則の運動量の符号に注意。
「はかり」は重さではなく,皿の上にのっている物体が皿を押す力をはかっています。 pic.twitter.com/2kkOqsITjg
【特講 束縛条件20】
(実戦問題13)和歌山県立医科大学
ツイートの中でも述べていますが,
「トータルの変位」を考える問題(講義5<例題5>参照)は
入試問題では大問の最後にあることが多い。
しかも,その問題だけ独立に解けることがほとんどです。
途中,分からなくても(4)から解けてしまうのです。
教訓: 最後まであきらめたらアカン!
【特講 束縛条件20】
— マナ物理 (@manabu_physics) December 13, 2021
(実戦問題13)
添付ファイル(4枚)は和歌山県立医科大学の過去問です。「トータルの変位」を考える問題(講義5<例題5>参照)は入試問題では大問の最後にあることが多いです。しかも,その問題だけ独立に解けることがほとんどです。この問題はそこに至るまでの設問も重要です。 pic.twitter.com/sOE45ZCroV
【特講 束縛条件20】
— マナ物理 (@manabu_physics) December 13, 2021
(解答・解説)
小球の受けた力積を小球の運動量の変化量から求められましたか。図を描くことが必須です(ホントはB点付近の図は,曲線で結んでほしかった…出題者さん)。その他,小球がD点を通過する瞬間の系全体のふるまいや,相対速度の考え方など,押さえておいてください。 pic.twitter.com/MO7uNfbxQn
【特講 束縛条件21】
(実戦問題14)静岡大学(2017年)・
代ゼミ東大プレ(2004年)
実戦問題13でも扱った「トータルの変位」の束縛条件の問題です。
静岡大学および代ゼミ東大プレで出題のされ方を確認しましょう。
これであなたも「『トータルの変位』マスター」です(笑)
【特講 束縛条件21】
— マナ物理 (@manabu_physics) December 14, 2021
(実戦問題14)
添付ファイル(4枚)は,静岡大学(2017年)の力学の最終問題と代ゼミ東大プレ(2004年)の力学の最後の2問。「トータルの変位」の問題。どちらも,カットした問題とは独立に解くことができます。ちなみに,20年前,駿台はマーク模試でこのタイプの出題をしています。 pic.twitter.com/dU2Ao4d6XL
【特講 束縛条件21】
— マナ物理 (@manabu_physics) December 14, 2021
(解答・解説)
代ゼミの問題は,もちろんこの問題の前に台を固定する問題があります(簡単です)。そして,Ⅱ(1)で壁に衝突する直前の小球の速さを求めさせるのですが,カットしました。「衝突の前後」で力学的エネルギー保存則が成立しないのは,非弾性衝突だからです。要注意! pic.twitter.com/pIqFmqF4tC
【特講 束縛条件22】
(チャレンジ問題1)早稲田大学(2013年)
赤本と青本,そして旺文社の全国大学入試問題正解で
“難問” とされた問題です。
しかし,私は難問だとは思っていません。
「変位のベクトル図」を最大限に利用する解法を是非習得してください。
【特講 束縛条件22】
— マナ物理 (@manabu_physics) December 15, 2021
(チャレンジ問題1)
添付ファイル(4枚)は早稲田大学理工学部(2013年)の過去問です。#束縛条件 が関わっているので一般の受験生には「難問」やろねぇ。一つひとつ図を描いて幾何学的条件を見つけよう! 早稲田大学理工の問題は毎年…制限時間内で解ける受験生はいないやろねぇ。 pic.twitter.com/nyw5GgWaz7
【特講 束縛条件22】
— マナ物理 (@manabu_physics) December 15, 2021
(解答・解説動画)
問6まで解ければ合格でしょう(問7・8はとばして 次の大問を解いた者が賢明だったのかもしれませんね)。
解説動画をつくってます。参考にしてください。動画の中で問7の解法について熱く語っています!https://t.co/zHuHd81mtmhttps://t.co/jE5Yo84M2R pic.twitter.com/5THkaGJ93o
解説動画をどうぞ!
この講義の中で,
「垂直抗力は,振動中心をずらすことはない」と言っています。すると,「慣性力はどうですか?」という質問を生徒から受けることがあります。
『つり合いの状態』のとき,三角台にかかる力はつり合っているので,
三角台の加速度は0です。
よって,その瞬間,慣性力は0なので,やはり振動中心はずらしません。
【特講 束縛条件23】
(チャレンジ問題2)東京工業大学(1986年)
この東京工業大学の問題を解く前に,
講義2の「その3」(【特講 束縛条件2】)をもう一度見読んでください。
今回の束縛条件は「軌道の式」です。
軌道の式を時間微分することで,
さまざまな物理量の性質が見えてきます。
数学と物理が融合する瞬間を楽しんでください!
【特講 束縛条件23】
— マナ物理 (@manabu_physics) December 16, 2021
(チャレンジ問題2)
添付ファイル(3枚)は東京工業大学(1986年)の過去問。回転放物面に束縛された運動。(d)はさまざまな別解が存在します。面白い! 東京工業大学はこの問題の前年にあたる1985年に物理で出題ミスをしてます。教授陣,汚名返上のために頑張りすぎた感あり…(笑) pic.twitter.com/XGlNlbSpEk
【特講 束縛条件23】
— マナ物理 (@manabu_physics) December 16, 2021
(解答・解説動画)
解説動画が2本あります。1本目は束縛条件(拘束条件)の基本事項をまとめています。是非!
この問題の束縛条件は「軌道の式」です。軌道の式を時間微分することで,さまざまな物理量の性質が見えてきます。https://t.co/MUbDY03NoFhttps://t.co/DhorCU8iVv pic.twitter.com/pI32K3XbK5
解説動画をどうぞ! 2本あります。
束縛条件の基本も説明しています。
別解の多い問題です。最後まで観てください。
【特講 束縛条件24】
(卒業テスト1)
横浜市立大学(2007年) 改題①
この特講で学んだことが身についているかどうかを確認する問題です。
1問1問が重要な問題。
A点,B点,C点を通過するときの速度の特徴をとらえよう!
【特講 束縛条件24】
— マナ物理 (@manabu_physics) December 19, 2021
(卒業テスト1)
これからの3回は「特講 束縛条件」の卒業テストです。添付ファイル(4枚)は横浜市立大学(2007年)の過去問の改題。これまでの講義や実戦問題の内容が理解できたかどうかを問うていきます。分からなくなったらその都度,講義・例題に戻ってください(例題4・5)。 pic.twitter.com/HZ5o5veqmy
【特講 束縛条件24】
— マナ物理 (@manabu_physics) December 19, 2021
(解答・解説)
問題(d)の曲線は厳密なものでなくて大丈夫です。A点,B点,C点を通過するときの速度の特徴が分かるグラフが描けていればOK。
運動量保存則を変形して 𝒗 - 𝒕 グラフの特徴を探る方法は,【特講 束縛条件6】<例題5>追加問題の解答解説を参考にしてください。 pic.twitter.com/fz7abcKTZI
【特講 束縛条件25】
(卒業テスト2)
横浜市立大学(2007年) 改題②
「はじめ」と「あと」の状態に注目して立てられる式は,
・ (力学的)エネルギー保存則(仕事とエネルギーの関係)
・ 運動量保存則(力積と運動量の関係)
・ 束縛条件(拘束条件)
常にこれらのことを考えながら問題を解いていきます。
【特講 束縛条件25】
— マナ物理 (@manabu_physics) December 20, 2021
(卒業テスト2)
添付ファイル(4枚)は前回に引き続き 横浜市立大学(2007年)の改題。「卒業テスト1」とは独立に解くことができます。(f)が束縛条件の問題。「正答率が低い」とだけ言っておきます。[C](g)で「摩擦がある場合」を考えますが,それでも成り立つ式を立てます。 pic.twitter.com/6epKKcYQ1x
【特講 束縛条件25】
— マナ物理 (@manabu_physics) December 20, 2021
(解答・解説)
𝒎𝜟𝒙+𝑴𝜟𝑿=0 は常に成り立つわけではありません。これを公式のように使ってしまう人,テクニックだととらえている人(駿台の人に多いようですが…)は危険です。この式は運動量保存則から導かれるという意識を常に持とう! (注意事項として詳しく書きました) pic.twitter.com/jdR7Pbf6yr
【特講 束縛条件26】
(卒業テスト3)
東京工業大学(1998年)
いよいよ最後の問題です。
一見,大変な作業を要求しているように見えて,
実はシンプルな関係式が導かれるという問題。
東工大の出題者はいい問題をつくるなぁと思わされました。
どのタイミングで「視点の移動」をするかが問われます。
「速さ」や「相対速度の大きさ」と与えられると
分からなくなる人がいます。
特に負方向に進むときには符号に注意が必要です。
【特講 束縛条件26】
— マナ物理 (@manabu_physics) December 22, 2021
(卒業テスト3)
添付ファイル(4枚)は,東京工業大学(1998年)の過去問。水平な床面から見るか,半球から見るか,「視点の移動」がポイントです。「相対速度の大きさ」から水平速度を求めるなど,受験生が苦手な作業が詰め込まれたスゴイ問題。 特講の最後を飾るにふさわしい! pic.twitter.com/igcbO4bwTL
【特講 束縛条件26】
— マナ物理 (@manabu_physics) December 22, 2021
(解答・解説)
半球が動く場合には,床に固定した座標系からの観測に対しては,小球と半球の間の束縛条件を書き下す必要がある(それが2021年の慶應義塾大学の力学の問題)。半球から小物体の運動を観測すれば円運動に見えるので,束縛条件は向心加速度となる(慣性力に注意)。 pic.twitter.com/oCQ2Fi71Av
以上です。お疲れさまでした!
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