㊹[シャープレイ値]ゲーム理論をChatGPTで勉強
ゲーム理論の提携形ゲームです。
A,B,C君がアルバイトをやります。
１：３人が別々にアルバイトするとAは６万円、Bは４万円、Cは２万円
２：２人が一緒にアルバイトするとA-Bは20万円、A-Cは15万円、B-Cは10万円
３：３人では24万円
３人が一緒にアルバイトするとして、24万円をどう分配するか
シャープレイ値を使って、公平な分配を計算してみましょう。
各プレイヤーの限界貢献度を計算していきます：
1) まず、全ての可能な順列での限界貢献を計算します：
順列ABC:
- A: 6万円 (単独)
- B: 14万円 (20万円 - 6万円)
- C: 4万円 (24万円 - 20万円)
順列ACB:
- A: 6万円 (単独)
- C: 9万円 (15万円 - 6万円)
- B: 9万円 (24万円 - 15万円)
順列BAC:
- B: 4万円 (単独)
- A: 16万円 (20万円 - 4万円)
- C: 4万円 (24万円 - 20万円)
順列BCA:
- B: 4万円 (単独)
- C: 6万円 (10万円 - 4万円)
- A: 14万円 (24万円 - 10万円)
順列CAB:
- C: 2万円 (単独)
- A: 13万円 (15万円 - 2万円)
- B: 9万円 (24万円 - 15万円)
順列CBA:
- C: 2万円 (単独)
- B: 8万円 (10万円 - 2万円)
- A: 14万円 (24万円 - 10万円)
2) シャープレイ値の計算:
A君：(6 + 14 + 14 + 16 + 13 + 14) ÷ 6 = 12.8万円
B君：(14 + 9 + 4 + 4 + 9 + 8) ÷ 6 = 8万円
C君：(4 + 9 + 4 + 6 + 2 + 2) ÷ 6 = 3.2万円
したがって、24万円の公平な分配は：
- A君：12.8万円
- B君：8万円
- C君：3.2万円
この分配は以下の特徴を持ちます：
1. 個人の貢献度を反映している
2. 全員の合意が得られやすい
3. 公理的な根拠がある
また、この分配は：
- 個人合理性（単独でやる場合より多い）
- 全体合理性（合計が24万円）
を満たしています。
この結果は妥当だと考えられますか？
シャープレイ値とは
シャープレイ値について説明いたします。
シャープレイ値は、ゲーム理論において、プレイヤー間の協力による利得の公平な分配方法を示す解概念です。1953年にノーベル経済学賞受賞者のロイド・シャープレイによって提案されました。
主な特徴：
1. 基本的な考え方
- 各プレイヤーの「限界貢献」に基づいて分配
- 全ての可能な順序でプレイヤーが参加する場合を考慮
- それらの平均値を取ることで公平性を確保
2. 満たす性質（公理）
- 効率性：総利得が完全に分配される
- 対称性：同じ貢献をするプレイヤーは同じ配分を得る
- ダミープレイヤー性：貢献がないプレイヤーは0の配分
- 加法性：別々のゲームの合計に対して加法的
3. 計算方法
例として3人の場合：
1) 全ての可能な参加順序を列挙（6通り）
2) 各順序での各プレイヤーの限界貢献を計算
3) それらの平均を取る
4. 具体例（前問の場合）
A君が最初に参加する順序ABC の場合：
- A：6万円（単独での価値）
- B：14万円（A-Bの20万円 - Aの6万円）
- C：4万円（ABCの24万円 - ABの20万円）
5. 応用分野
- 企業間の利益分配
- 選挙での投票力分析
- コスト配分問題
- チーム内の貢献度評価
6. メリット
- 数学的な公平性の保証
- 客観的な基準による分配
- 協力のインセンティブを与える
7. デメリット
- 計算が複雑（プレイヤー数が増えると計算量が増大）
- 実際の交渉力が反映されない場合がある
シャープレイ値は、協力ゲームにおける公平な分配を考える上で重要な指標となっています。理論的な根拠があり、かつ実用的な解を提供できる点が特徴です。
タクシーの相乗り割り勘に似てますね。
はい、その通りですね！タクシーの相乗り問題は、シャープレイ値を理解する上で非常に良い例です。
タクシーの相乗り例で具体的に考えてみましょう：
例えば、3人が順番に異なる場所で降りるケース：
想定：
- A: 最も遠い場所（3000円）
- B: 中間地点（2000円）
- C: 最も近い場所（1000円）
- 3人で乗った場合の総額：3000円
順番に乗った場合の限界貢献（支払い増加分）：
1. CBA順で乗車する場合：
- C：1000円
- B：1000円（2000円-1000円）
- A：1000円（3000円-2000円）
2. CAB順で乗車する場合：
- C：1000円
- A：2000円（3000円-1000円）
- B：0円（すでにAまでの経路に含まれている）
このように計算していくと、シャープレイ値の考え方は、「誰がどの順番で乗っても公平になるような平均的な支払額」を求めることになります。
タクシー相乗りの特徴：
1. 後から乗る人は、先に乗った人の経路に「相乗り」する形になる
2. 各人の貢献（経路の延長）が明確
3. 全体のコストは効率的な経路で決まる
実生活での応用：
- 途中降車の場合の精算
- カーシェアリングのコスト分担
- 配送ルートの費用分担
このように、シャープレイ値の考え方は、日常生活での「公平な分担」を考える際にも役立ちますね。