②道代数 トロピカル幾何学の勉強
感覚的に書きます。
トロピカル幾何学でf○gはギザギザのグラフ構造を足し算（実際は掛け算）で簡単に計算できます。 それは群などでf○gみたいな処理に例えられそうだからピンときます。
一方で道代数という分野がありますよね。
あれはグラフ同士をf○gみたいに結合するんですよね。
するとでトロピカル幾何学と道代数は関係があるのでは？
あなたの感覚的な考察は非常に興味深く、トロピカル幾何学と道代数の間に関係がありそうだと直感するのは良い着眼点です。それぞれを少し整理しながら、この関係を考えてみましょう。
1. トロピカル幾何学と「ギザギザ」
トロピカル幾何学では、通常の足し算や掛け算がトロピカル加法（⊕\oplus：最大または最小）やトロピカル掛け算（⊗\otimes：通常の足し算）に置き換えられます。
結果として、「ギザギザ」した関数（たとえば折れ線のような構造）がしばしば出現します。f∘gf \circ g のような合成は、関数同士の組み合わせをトロピカル算術で扱いやすい形に変換します。
その意味で、あなたの「簡単な計算」という感覚は正しいです。トロピカル幾何学は複雑な幾何学的問題をトロピカル代数の世界で簡素化して扱う理論です。
2. 道代数とグラフの結合
道代数（path algebra）は、グラフの頂点や辺を基底とし、辺の連結（パス）を生成元として考える代数構造です。特に、グラフの構造が元々の代数操作に反映されます。f∘gf \circ g のように道を「結合」する操作があり、これはトロピカル幾何学の合成操作に似た直感をもたらします。
実際、道代数は多くの場合、行列やグラフ理論を介して計算され、これらの構造がトロピカル代数的な計算と結びつきやすいです。
3. トロピカル幾何学と道代数の関係
トロピカル幾何学と道代数の関係を探ると、以下のポイントが見えてきます：
トロピカル行列
道代数は行列で表現されることが多いですが、トロピカル幾何学でも行列を用いた最短距離計算やリダクションがあります。たとえば、トロピカル行列乗算は最短距離問題に直結しており、道代数的な操作（パスの結合）と対応しています。
グラフの表現
トロピカル幾何学はグラフやネットワークの最適化問題によく応用されます。この際、道代数的なグラフ結合操作がトロピカル幾何学の計算を補助する役割を果たします。
結合の性質
トロピカル代数での f∘gf \circ g（関数の合成）が、道代数での「パス結合」や「辺の加算」に類似しているため、両者は構造的に近い性質を持っているといえます。
4. さらなる研究の方向
この関係を探求するには、以下のような具体例や応用を考えると良いかもしれません：
トロピカル代数を使ったパス計算
道代数の具体的な計算をトロピカル代数で書き換えてみる。たとえば、パスの長さや重みをトロピカル演算で表現し、最適化を試みる。
トロピカル幾何学のネットワーク応用
トロピカル幾何学を使って、道代数的な問題を解く応用例を探す（交通ネットワーク、サプライチェーンなど）。
結合の性質の抽象化
f∘gf \circ g のような演算をトロピカル代数と道代数の両方で記述し、それらの類似性を形式化する。
結論
トロピカル幾何学と道代数は、「グラフの構造を代数的に処理する」という観点で非常に関連が深い分野です。
あなたの感覚通り、f∘gf \circ g の操作や「結合」の性質に注目すると、両者を統一的に扱える新しい視点が得られる可能性があります。
これは面白い… 30歳の時には物流に進むとは思いもしなかったが、スケジューリングの為にグラフ理論を選んだのは正解だった。
トロピカル幾何学はグラフ理論での最適化計算の他、何ができますか？
トロピカル幾何学は、グラフ理論や最適化計算以外にも、多くの応用分野や理論的貢献があります。以下にその具体例を挙げて説明します。
1. 代数幾何学の単純化
トロピカル幾何学は、複雑な代数幾何学の問題を「折れ線や多面体」というシンプルな構造で解析できる点が特徴です。以下の分野で役立っています：
代数曲線の簡略化
代数曲線（たとえば楕円曲線や代数多様体）をトロピカル幾何学で近似すると、位相や交差理論の情報をよりシンプルに扱える。
交点理論
トロピカル幾何学では、交点数や位相的不変量をトロピカル曲線の交差として計算でき、幾何学の理解を深めます。
2. 数論とp進幾何
トロピカル幾何学は、数論やp進幾何とも深く結びついています。これにより以下の応用が可能です：
p進解析の幾何的可視化
p進数の空間の特性をトロピカル幾何学で理解すると、整数解の分布や代数方程式の特性が明らかになります。
バーコビッチ空間との関連
トロピカル幾何学は、バーコビッチ空間（p進幾何学のモデル）の骨格構造を記述するためのツールとして用いられます。
3. 組合せ論と離散数学
トロピカル幾何学は、組合せ論や離散数学にも影響を与えています。これにより以下の課題に取り組むことができます：
マトロイド理論との関係
トロピカル幾何学は、マトロイド（組合せ的構造）の代数的な性質を記述する手法として使われます。
ポリトープと分割
トロピカル多様体の理論は、ポリトープの分割や離散幾何学に応用され、離散構造の解析に寄与します。
4. 動的システムと最適制御
トロピカル幾何学は、動的システムや最適制御にも応用されています。
動的システムの解析
トロピカル代数を用いることで、リニアな系の挙動や非線形系の近似が可能になります。
最適化問題のモデリング
トロピカル演算は、最大化や最小化の問題（たとえば、リソース分配やスケジューリング）に自然に対応します。
5. 物理学への応用
トロピカル幾何学は、量子物理学や統計物理学にも応用されています。
量子場理論のシンプル化
量子場理論におけるファインマン積分をトロピカル幾何学で近似することで、計算が簡素化される場合があります。
統計物理学のモデル化
確率過程やエネルギー分布の解析において、トロピカル幾何学的なアイデアが役立ちます。
6. コンピュータサイエンスと機械学習
トロピカル幾何学はコンピュータサイエンスや機械学習にも応用されています。
ニューラルネットワークの解析
トロピカル演算を利用することで、ニューラルネットワークの動作やその単純化に寄与する研究があります。
アルゴリズム設計
トロピカル演算は、特に効率的なアルゴリズム設計（たとえば最短経路問題やフローネットワーク）に結びついています。
7. 経済学とゲーム理論
トロピカル幾何学の最適化の特性は、経済学やゲーム理論にも応用されています。
リソース配分
トロピカル演算を用いたリソース配分やマーケット設計のモデリング。
ナッシュ均衡の解析
トロピカル代数の手法でゲーム理論の均衡問題を簡略化するアプローチ。
まとめ
トロピカル幾何学は、単なるグラフ理論や最適化計算にとどまらず、代数幾何学、数論、物理学、経済学、コンピュータサイエンスなど、幅広い分野で重要な役割を果たしています。その柔軟な構造とシンプルな計算特性が、多様な分野に応用される理由です。
もし特定の応用例や理論の詳細に興味があれば、さらに深掘りして説明できます！
ゲーム理論にも使えるのは面白いな。
トロピカル幾何と組み合わせ位相幾何の関係
トロピカル幾何と位相幾何には興味深い関連があります。両者は異なる分野に属しますが、共通して幾何学的構造の性質を扱うため、特定の応用や理論において結びついています。以下、その関係をいくつかの観点から解説します。
1. トロピカル幾何の幾何学的性質
トロピカル幾何は、数値の加法と乗法をそれぞれ最小（または最大）演算と通常の加法に置き換えるトロピカル演算を基盤としています。この演算に基づく幾何構造（トロピカル多様体）は、通常の多様体の代数幾何に対応する「離散的で組合せ的な」オブジェクトになります。
トロピカル幾何は、例えば代数曲線の退化の挙動を理解するために使用され、トロピカル多様体の幾何学的構造（折れ線やポリトープの集合）を調べます。この幾何学的構造は、位相幾何の道具を使って分析できます。
2. 位相幾何との接続
位相幾何は、空間の連続的な性質（連結性、ホモトピー、ホモロジーなど）を研究する分野です。トロピカル幾何と組み合わせると、次のような関係が生じます：
トロピカル多様体の位相的特徴
トロピカル多様体の幾何学的構造（折れ線グラフやセル複体）は位相的な観点からも分析できます。例えば、トロピカル曲線の位相的連結性やホモロジー群が、対応する代数曲線の幾何的性質を反映することがあります。
トロピカル退化と位相変化
トロピカル幾何で多様体が「退化」する過程は、代数多様体の位相的変化と関連しています。特にトロピカル退化がどのように代数的多様体のベティ数や位相的不変量に影響を与えるかが研究されています。
3. 具体例：
グラフやハイパーグラフとの関係
トロピカル幾何では、代数曲線が退化して折れ線グラフの形になる場合があります。このグラフは位相幾何の対象として、特に以下のような方法で解析されます：
ホモトピー理論の応用
トロピカル多様体のホモトピー的な性質を調べることで、退化前の代数多様体の幾何学的性質を知ることができます。
セル複体としての構造解析
トロピカル多様体をセル複体として考えると、そのチェイン複体やホモロジー群が計算できます。これにより、多様体の構造に関する情報が位相幾何的に明らかになります。
4. 応用領域での結びつき
トロピカル幾何と位相幾何の組み合わせは、以下のような分野で応用されています：
代数的位相幾何学
代数多様体とトロピカル多様体の対応を通じて、位相的性質（ホモロジー群やフーリエ-モチーフ理論など）を探る研究があります。
最適化問題
トロピカル幾何と位相幾何を組み合わせて、ネットワークのトポロジー解析やトロピカルゲーム理論に応用する試みが進んでいます。
動的システムとスケジューリング
あなたが取り組んでいる製造工程や配車スケジューリングでは、トロピカル幾何による動的変化のモデル化と、位相幾何を用いたシステムの安定性や可視化が結びつく可能性があります。
5. さらなる研究の方向性
トロピカル幾何と位相幾何の融合研究には、以下のような発展の可能性があります：
トロピカル多様体における位相不変量の特定
代数幾何における位相的特徴をトロピカル退化の文脈で理解する
トポロジカルデータ解析（TDA）をトロピカルデータ解析に拡張する