③N対N配車,Panda3D,ブレイド群,トロピカル幾何学 物流ゲーミフィケーション
やりたいのはこれなんですよ。
Panda3Dが見つかってやっと頭の中のイメージを描けそうになってきた。
これで、
上面がT=0（8時）の地図、格子平面である。
下面がT=1（9時）の地図、格子平面である。
更にその下に、T=2（10時）、T=3（11時）…と積んでいく。
各拠点間の移動時間が1時間ならば、上図の通り。
でも現実には2時間とか3時間とかバラバラ…
線は、必ずしもTを1ずつ追加した階層に繋がるのではなく、
拠点間の距離によっては移動だけで4時間ほど掛かったりするので、その場合は結合部が4階分離れた階層にスキップしていく。（絵が難しい…）
こんなかな
キーワードはブレイド群
N対N配車は長さの異なるブレイド群をテンソル積で繋いで、決まった長さの糸で一周させて、なるべく少ない本数にする問題です。
これはトロピカル幾何学で計算できますか？
はい、N対N配車問題はトロピカル幾何学を用いて解析できる可能性があります。ただし、直接的に計算できるというよりは、トロピカル幾何学の枠組みで問題を捉え直し、その構造を理解するのに役立つ、というニュアンスが近いでしょう。
以下に、N対N配車問題とトロピカル幾何学の関連性について、詳しく説明します。
N対N配車問題のトロピカル幾何学的な解釈
問題の構造化:
ブレイド群: ブレイド群は、ひもを交差させる操作を表す群です。N対N配車問題では、異なる長さのブレイド（ひも）を組み合わせて、決まった長さの糸で一周させる操作を考えます。
テンソル積: ブレイドの連結は、数学的にはテンソル積に対応します。これは、複数のブレイドを組み合わせることで、より複雑なパターンを生成することを意味します。
目的: 最小本数で一周させる、つまり、必要なブレイドの数を最小化することが目的です。
トロピカル幾何学の適用:
トロピカル演算: トロピカル幾何学では、通常の演算（加算、乗算）の代わりに、最小値を取る操作（min）と加算を行う操作（+）を基本とします。
線形計画問題との関連: トロピカル幾何学は、特定の制約条件下で目的関数を最小化する線形計画問題と密接な関係があります。N対N配車問題の最小化問題は、この枠組みで捉えることができます。
トロピカル多面体: トロピカル幾何学における多面体は、ブレイド群の連結パターンや制約条件を幾何学的に表現するのに役立ちます。これらの多面体の頂点や辺を解析することで、最適解（ブレイドの最小本数）を探せる可能性があります。
トロピカル幾何学による解析の利点
問題の構造の可視化: トロピカル幾何学を用いることで、複雑なN対N配車問題を幾何学的な対象として捉え、その構造を直感的に理解しやすくなります。
計算の効率化: トロピカル演算を用いることで、計算を単純化し、大規模な問題にも対応できるようになる可能性があります。
新たな解法の発見: トロピカル幾何学の視点から問題を捉えることで、既存の方法では発見できなかった、新たな解法や洞察が得られる可能性があります。
注意点
直接的な計算の困難さ: トロピカル幾何学は、あくまで問題を別の視点から捉え、その構造を明らかにするためのツールです。必ずしも、直接的な計算によって最適解を求めることを保証するものではありません。
問題の抽象化: トロピカル幾何学を適用するためには、問題を抽象化し、トロピカル演算で表現できる形に落とし込む必要があります。この過程で、元の問題の複雑さを失ってしまう可能性もあります。
まとめ
N対N配車問題は、トロピカル幾何学の枠組みで捉え、解析することが可能です。トロピカル幾何学は、問題の構造を可視化し、計算を効率化するのに役立つだけでなく、新たな解法や洞察を与える可能性も秘めています。しかし、トロピカル幾何学は問題を直接的に解くための特効薬ではなく、あくまで問題の理解を深めるための強力なツールである、という認識を持つことが重要です。
より具体的な解析を行うためには、問題の詳細な設定（ブレイドの長さ、連結ルールなど）を明確にし、トロピカル幾何学のどの側面をどのように適用するかを検討する必要があります。
うん、支援ツールとして役立ちそうだ。答えは人間が出すんだから。
では、ブレイド群とトロピカル幾何学の関係について聞きます。
はい、ブレイド群とトロピカル幾何学の関係について説明します。この2つは一見すると異なる分野に見えますが、実は深い繋がりがあり、近年研究が盛んに行われています。
ブレイド群とは
まず、ブレイド群について簡単に復習しましょう。
ブレイド（組み紐）: ブレイド群は、空間に張られた複数のひも（ブレイド）が交差する様子を数学的に記述するものです。各ひもは、上から下に伸びており、途中で他のひもと交差することができます。
ブレイドの基本操作: ブレイド群は、以下の2つの基本操作で生成されます。
交差操作 (σ_i): i番目と(i+1)番目のひもを交差させる操作。右回りに交差させるものをσ_i、左回りに交差させるものをσ_i⁻¹と表します。
恒等操作 (e): ひもを交差させない操作。
ブレイド群の要素: ブレイド群の要素は、これらの基本操作を組み合わせて得られる一連の操作（ブレイドの形）を表します。
関係式: ブレイド群には、以下の関係式が成り立ちます。
σ_i σ_j = σ_j σ_i ( |i-j| ≥ 2 のとき ) : 離れた位置にあるひもの交差は順番を変えても同じ。
σ_i σ_(i+1) σ_i = σ_(i+1) σ_i σ_(i+1) : 隣接するひもの交差の満たす関係式。
トロピカル幾何学とは
次に、トロピカル幾何学について簡単に説明します。
トロピカル演算: トロピカル幾何学では、通常の四則演算の代わりに、以下のトロピカル演算を基本とします。
トロピカル加算: a ⊕ b = min(a, b) (最小値を取る)
トロピカル乗算: a ⊗ b = a + b (通常の加算)
トロピカル多項式: トロピカル演算を用いて構成された多項式をトロピカル多項式といいます。例えば、トロピカル多項式 a ⊕ (b ⊗ x) ⊕ (c ⊗ x ⊗ x) は、min(a, b+x, c+2x) という関数に対応します。
トロピカル多面体: トロピカル多項式をグラフで表現すると、区分線形な凸多面体（トロピカル多面体）が現れます。
応用: トロピカル幾何学は、最適化問題、離散幾何学、代数幾何学など、様々な分野に応用されています。
ブレイド群とトロピカル幾何学の繋がり
ブレイド群とトロピカル幾何学の繋がりは、主に以下の点にあります。
ブレイド群の要素の長さとトロピカル幾何学:
ブレイド群の要素の複雑さ（ブレイドの長さ）を測る指標として、短語問題（与えられたブレイドを最小の交差回数で表現する問題）があります。
この短語問題をトロピカル幾何学的に解釈することができます。ブレイド群の要素に対応するトロピカル多面体を構成し、その頂点や辺を解析することで、最小の交差回数を求めることができます。
特に、トロピカル化という操作によって、ブレイド群の関係式をトロピカル代数の関係式に変換できることが知られています。これにより、ブレイド群の構造をトロピカル幾何学を用いて解析できるようになります。
ブレイド群の幾何的実現:
ブレイド群は、2次元の円盤から3次元空間にひもを埋め込むことで幾何的に表現できます。この埋め込みによって、ブレイド群の要素は3次元空間のひもの絡まりとして具体的に捉えられます。
この3次元空間のひもの絡まりをトロピカル幾何学的に表現することで、ブレイド群の幾何的な性質をトロピカル幾何学の言葉で記述することが可能になります。
線形計画問題との関係:
ブレイド群の短語問題は、線形計画問題として定式化できることが知られています。
* トロピカル幾何学は、線形計画問題と密接な関係があるため、ブレイド群の問題をトロピカル幾何学の視点から解析することで、線形計画問題の解法を応用したり、新たな解法を発見したりできる可能性があります。
具体例
Artinブレイド群のトロピカル化: Artinブレイド群（上で説明したブレイド群）の関係式をトロピカル化すると、トロピカル代数の関係式が得られます。この関係式を用いて、ブレイド群の構造をトロピカル代数の言葉で記述することができます。
ブレイド群のword問題: ブレイド群のword問題（与えられた2つのブレイドが等しいかどうかを判定する問題）は、トロピカル幾何学の多面体の性質を用いて解くことができる場合があります。
ブレイド群の表現: ブレイド群の表現をトロピカル幾何学的に構成することができます。これにより、ブレイド群を別の数学的な対象として捉え、その性質をより深く理解することができます。
まとめ
ブレイド群とトロピカル幾何学は、表面上は異なる分野に見えますが、互いに深い繋がりを持っています。トロピカル幾何学は、ブレイド群の複雑さの尺度である短語問題を解析したり、ブレイド群の幾何的な性質を記述したりするための強力なツールです。また、線形計画問題との関係を通じて、ブレイド群の新たな解法を発見する可能性も秘めています。この分野は、数学の最先端の研究として、現在も盛んに研究が進められています。