min（3X,3Y,2X＋y,2y＋x）＝min（3X,3Y）の証明
P3に出てきた。証明が書かれてないからフリーズした。
一応、数学徒なのでね。
X,Y∈Rとするのね。
朝に見て1日考えたがさっぱり分からん。
夜になってGemini 2.0に尋ねた。
唸るなぁ…
こういうのを思いつくのはセンスだろうか
X,Y∈R、Min(3X,2X+Y,X+2Y,3Y)=Min(3X,3Y)を証明して
与えられた式を証明するために、以下の手順で進めます。
**証明の方針**
1. **与式の意味を理解する:**
* `Min(a, b, c, d)` は、a, b, c, d の中で最小の値を返す関数です。
* 与式は、
`Min(3X, 2X+Y, X+2Y, 3Y)` が `Min(3X, 3Y)` と常に等しい
ことを示したい、という意味です。
2. **場合分けによる検討:**
* `Min(3X, 3Y)` が3Xになる場合と3Yになる場合
で、それぞれ
`Min(3X, 2X+Y, X+2Y, 3Y)` が同じ値になる
ことを示す必要があります。
**証明**
**場合1: Min(3X, 3Y) = 3X のとき**
このとき、
`3X ≤ 3Y`、つまり `X ≤ Y`
が成り立ちます。
* `2X + Y`: `X ≤ Y` より、`2X + Y ≥ 2X + X = 3X`
* `X + 2Y`: `X ≤ Y` より、`X + 2Y ≥ X + 2X = 3X`
* `3Y`: `3X ≤ 3Y` より、`3Y ≥ 3X`
これらの不等式より、
`Min(3X, 2X+Y, X+2Y, 3Y)` は、`3X` かそれ以上
の値を取ります。
一方、`Min` 関数は、与えられた値の中で最小の値を返すため、
`Min(3X, 2X+Y, X+2Y, 3Y)`
は `3X` となります。
したがって、この場合、
`Min(3X, 2X+Y, X+2Y, 3Y) = 3X = Min(3X, 3Y)`
が成立します。
**場合2: Min(3X, 3Y) = 3Y のとき**
このとき、
`3Y ≤ 3X`、つまり `Y ≤ X`
が成り立ちます。
* `2X + Y`: `Y ≤ X` より、`2X + Y ≤ 2X + X = 3X`
* `X + 2Y`: `Y ≤ X` より、`X + 2Y ≤ X + 2X = 3X`
* `3X`: `3Y ≤ 3X` より、`3X ≥ 3Y`
これらの不等式より、
`Min(3X, 2X+Y, X+2Y, 3Y)` は、`3Y` かそれ以上
の値を取ります。
`2X + Y` は、
`Y ≤ X` より `2X + Y ≥ Y + Y = 2Y`
となり、
`X + 2Y`も同様に
`X + 2Y ≥ Y + 2Y = 3Y`
となります。
一方、`3Y ≤ 3X` なので、
`Min(3X, 2X+Y, X+2Y, 3Y)` は、`3Y`
となります。
したがって、この場合、
`Min(3X, 2X+Y, X+2Y, 3Y) = 3Y = Min(3X, 3Y)`
が成立します。
**結論**
上記の場合分けより、
`Min(3X, 3Y)` が `3X` でも `3Y` でも、
常に
`Min(3X, 2X+Y, X+2Y, 3Y) = Min(3X, 3Y)`
が成立することが証明されました。
したがって、題意は証明されました。
ChatGPT 4oも試して面白かったけど、Gemini2.0の方が美しいね。