シャンテン数の数え方
大したことではないんですが、先日、シャンテン数の仕組みがどうしても気になり、居ても立ってもいられなくなったので、一念発起して調べてしまいました。
自慢になるのかわかりませんが、私はこれまで３シャンテン以上のシャンテン数を真面目に数えようとしたことがありません（～シャンテン以上というのは、～が増えてアガリから遠くなることを指します）。
知ったところで「なんかいいことあるんだろうか」以外の感想が出てこないからです。
「数えないのになんで３シャンテン以上かどうかがわかるんだ」というツッコミが来るかもしれませんが、麻雀をそれなりに打ったり、何切るを作ったりしてれば、見た瞬間に２シャンテンまではわかるようになるんじゃないかと思います。３シャンテンはそれより遠いかどうかで判断しているようです。それで充分でしょう。
わからないというよりわかりたくないというか、不要なことに脳のリソースを割きたくないのです。
これは過去に何も考えず、正面からシャンテン数を数えようとして撃沈した経験から来ていると思っています。一旦消耗すると向こう十年は数える気が起きなくなります。このたび十年ぶりに数える気が起きたわけですね。
いつまでもわからないのも癪は癪なので、やる気のあるうちに少し腰を落ち着けて考えてみることにしました。
ゆっくり考えたら案外簡単なことだったので、ここにまとめておくことにしました。これはその記録です。
シャンテン数とは何か
「シャンテン数」というのは
「テンパイまであと何手かかるか」
を表す数です。テンパイが０シャンテンです。
例えば、「２」シャンテンなら、有効牌と不要牌を「２」回入れ替えればテンパイという意味です。
ただ、これを数えるには、以下の３種類の区別が必要です。
①「メンツ手」（４メンツ１ヘッド形）
②「チートイツ」
③「国士無双」
です。①が普通の形、②と③が普通じゃない形（変則手と呼ぶ）。形が違うので場合分けが必要になります。
手牌のシャンテン数とは、この３種類で一番値の小さいシャンテン数です。
例えば手牌が、メンツ手７シャンテン、チートイツ５シャンテン、国士７シャンテンなら、その手は５シャンテンという感じです。
ちなみに変則手を含んだシャンテン数を「標準形」、メンツ手のみのシャンテン数を「一般形」というようです。天鳳の牌理ではそう出てきます。
覚える必要は全くないんですが、謎の紛らわしさに笑ってしまいました。
問題となるのはメンツ手のシャンテン数なので、まずこれを考えます。変則手は後述します。
まとめ
シャンテン数は３種類の数え方があって、一番値の小さいシャンテン数をその手牌のシャンテン数という
①メンツ手のシャンテン数
まずは数え方のルールです。
ルール
★１ ブロックの定義
ここではそれぞれ、メンツ（例 789m）、トイツ（例 西西）、ターツ（例 13m）、複合トイツ（例 557p）、リャンカン（例 468s）をブロックと呼びます。槓子はトイツ×２ではなく、暗刻＋１で数えます。
★２ ブロックのカウント最大数
ブロックは最大５つまでカウントできる（６ブロックでも５ブロックになる）。
★３ 重複使用の不可
抜き出した牌は重複して使えない。例えばリャンカン（357s）は「塔子（35s）+フォロー牌（7s）」とみて1ブロックと数える。
★４ 各ブロック間の優劣
ブロックが６個あるときは、メンツ＞トイツ（複合ターツ）＞ターツ（リャンカン）の順に数える。
例えば、
この牌姿は６ブロック（23m、789m、34p、79p、13s、78s）ですが、ルール★２よりブロックは５つまでしか数えません。
また、ルール★４より、数えるブロックは
メンツ（789m）＞トイツ（33s）＞その他のターツ（23m、34p、79p、78s。ターツ内は順不同）
の順に数えるので、メンツは含まれます。
まとめ
ブロックは最大５つまでカウントできる
シャンテン数の数え方
手牌向かって左側から、
① ブロックの個数を数える（上限は５個。６ブロックも５と数える）
② メンツの個数を足す
③ 合計を８から引く
※例外 「５ブロック０トイツ」の場合、１を引く。
やるのはこの３ステップです。例で説明します。
なお、牌姿からは全て西を切ったときのシャンテン数を計算します。
例題１
１（13m）
１（789m）
１（357p）
１（113s）
の計４ブロックです。
次にメンツの個数を足します。
メンツは７８９ｍの１メンツ。なので１です。
これらを合計します。４ブロック１メンツなので、合計は５です。
この合計の５を８から引きます。
８−５＝３
この８から引いて出た数がシャンテン数です。
なので、この手は３シャンテンです。基本はただこれだけです。
例題２
今度は少し省略して書きます。
１（13m）
１（79m）
２（34567p）＋１
１（113s）
向かって左列の数字がブロック数、右の＋1がメンツの個数です。
この手は５ブロック１メンツの計６。これを８から引きます。
８−６＝２
なので２シャンテンです。
34567pのところ、慣れてないと止まってしまうかもしれませんが、「大体２ブロックだろ」くらいでＯＫです。
345p＋67pでも34p＋567pでも2ブロックです（どちらの分け方でも1メンツできるので1を足すのを忘れないよう）。
例題３（５ブロック０ヘッド形）
この牌姿は、
「向かって左から１３ｍで１、７９ｍで１、３４５６７ｐで２、１３ｓで１の計５に、メンツ１個で計６。この６を８から引くから２シャンテン」
となるように見えます。見えるんですが違います。
何が違うのかと言うと、
「ヘッドの有無」
です。この手にはヘッドになりうるトイツがありません。
メンツ手の和了形に必要なのはあくまで「４メンツ１ヘッド」なので、５ブロックが揃っていても、ヘッドになりうるブロックがないと条件を満たしません。
なので、
「５ブロック０ヘッド」の形は４ブロックまでしかカウントできません。
ブロックをバーっと数えたあと修正が必要になる例外です。
ですから、４ブロック１メンツで計５。これを８から引いて、正しくは３シャンテンです。
ちなみに、「メンツが暗刻ならトイツの代わりになるのでは？」と疑問を持たれる方もいるかもしれません。
たしかにそれはその通りですが、その場合はそのメンツは暗刻としてではなくヘッドとしてカウントするためメンツ分の＋１が消えます（その代わり０トイツ分のー１も消えます）。
ルール★３により、メンツとヘッドの重複使用は不可です。
１（13m）
１（79m）
２（34567p）＋１
１（13s）
※５ブロックだが０ヘッド −１
８−（５ブロック＋１メンツ−１〔５ブロック０ヘッド〕）＝３
３シャンテン
例題４（６ブロック）
この形は６ブロックです。
（１）６ブロックでもカウントできるのは「５ブロック」までです（ルール★２）。ブロック数は５です。
（２）また、ルール★４より、メンツ＞トイツ＞その他ターツの順に数えるため、メンツ分の１を足します。５＋１＝６。
（３）さらに「５ブロック０トイツ形」です。
なので（１）で５ブロックとしましたが修正が必要です。
トイツがない（ヘッド候補がない）ため、４ブロックまで（４メンツ１ヘッドの４メンツ部分まで）しかカウントできません。
そのため合計から１を引きます。６－１＝５で合計５です。
この合計５を８から引くと、この手は３シャンテンです。
２（34567p）＋１
１（13m）
１（79m）
１（13s）
※５ブロックだが０ヘッド −１
８－（５－１＋１）＝３
結論は３シャンテンになります。
以上です。再度まとめておきます。
数え方は手牌の向かって左端から、
① ブロックの個数を数える
② メンツの個数を足す
③ 合計を８から引く
※例外 「５ブロック０トイツ」の場合、１を引く。
ちなみに天鳳位のタケオしゃんも同じ方法を以前に発見してました。
僕は、次の式で計算しています。
— タケオしゃん＠麻雀フォトグラファーof 天鳳位 (@nyankosan) December 20, 2016
通常手のシャンテン数=8-ブロック数-メンツ数
左から右に2回流すだけで計算できる。掛け算がなくなるのもグッド。どちらを用いるにしても、5ブロックヘッド無し以上になると計算方法が変わるので注意が必要です。
練習問題
以下の牌姿から西を切った時点での、メンツ手のシャンテン数を求めてください。
問１
問２
問３
問４
問５
問６
問７
問８
問９
問１０
問１１
問１２ 出る９ｓ。チー打西。前後の比較（牌姿借りました）
問１３ 出る３ｓ。ポン打９ｍ。前後、喰いタンで比較（牌姿借りました）
問１４ 出る８ｓ。ポン打白。前後、喰いタンで比較（牌姿借りました）
②チートイツのシャンテン数
チートイツのシャンテン数は「テンパイまであと何個トイツが必要か」というだけの話で、原則、手の内のトイツの数を６から引けばシャンテン数が出ます。
なぜ６なのかというと、チートイツは７個トイツを作れば和了なので、６トイツでテンパイだからです（シャンテン数はテンパイで０になります）。
ただ例外があって、手の内が槓子３つとトイツ１つというような、孤立牌自体が不足するケースは除きます。そういう手はカンしてあがりにいきましょう。
ちなみに実戦的には、「４トイツあればチートイツ２シャンテン」であることを理解していればそれで良いと思います。手の内にトイツが４つあったら最低でもその手は２シャンテンなのです。
槓子のケースは以下のサイトから学びました。
まとめ
チートイツは、「６－トイツの数＝シャンテン数」
③国士無双のシャンテン数
国士無双のシャンテン数は、手の内の一九字牌の種数を１３から引くんですが、国士にはヘッドが１つ必要なので、１種だけは重複があってもシャンテンが１つ進みます。
例えば、９種１１牌なら１３−９種＝４なので、「４シャンテン」と答えたくなるところですが、１種はヘッドに使えるので１３−９−１＝３で正解は「３シャンテン」になります。
これも実戦ではほとんど使わない知識でしょう。実際、国士やってる最中は、あれとあれがないとかきちんと把握しているはずだし、シャンテン数をぱっと出す必要があるとしたら鉄竜さんくらいしか浮かびません。
ちなみに国士１３面待ちの形は、変則手込みだと０シャンテン（国士テンパイ）ですが、メンツ手のみのシャンテン数は８シャンテンになります。
また、例えば「東ヘッドの１ｍ待ちの国士テンパイ形」から、東をポンして何か１枚切ると、手牌は０シャンテン（＝テンパイ）から６シャンテンになります（東明刻のみ１ブロック１メンツなので、８－１＋１＝６）。
考え得る中で最悪の副露なのではないかと思います。
まとめ
国士無双は、「１３－（一九字牌の種数）ーヘッド１種＝シャンテン数」
Ｑ＆Ａ
Q１ なぜ出てきた数字を８から引くのですか？
Ａ１ メンツ手のシャンテン数の最大が８シャンテンだからです。
手牌１３枚の内から何でもいいので５枚選びます（この５枚を和了に必要な５ブロックの各ブロックに１枚ずつ割り当てます）。
選ばれた５枚を除いた残りの８枚を、４メンツ１ヘッドを構成するのに都合の良い牌と交換すると、どのような牌姿でも４メンツ１ヘッドの和了形を必ず作ることができます。
これはつまり、メンツ手のシャンテン数が９以上（９シャンテンとか１０シャンテンとか）にならないということです。
ゆえに、「手牌の最低シャンテン数」は、チートイツのシャンテン数が最低６なので「６」ということになります。
Q２ Q１の説明では孤立牌を１ブロックと数えたのに、実際のカウントでは孤立牌を１ブロックと数えないのはなぜですか。
Ａ２ シャンテン数を出すには、ターツとメンツを区別する必要があります。
合計を１３ではなく８から引くという操作で、すでに各ブロック１枚ずつ、何かしら孤立牌を選んでいるのわけです（しかも計算が簡単になります）。
この孤立牌に＋１枚してできるパーツ（ターツ、トイツ、複合トイツ、リャンカン）をブロック数をカウントすることで数え、孤立牌＋２枚組（メンツ）を、再度メンツ数を加算することで両者を区別しています。
Ｑ３ 左端から２度数えないといけないのを１度にまとめられませんか？
Ａ３ メンツを２として左から数えてけばたしかに１度で済むかもしれませんが、実際にやってみると、数えている途中で「あれ？何ブロックだっけ？」となるので、一旦ブロック数を確定してからメンツを足す方が結局はわかりやすいと思いました。
はしがき
アカギ４巻（p36）で、ニセアカギが本家アカギに対してシャンテン数の勝負をふっかけるシーンがあります。
問題になるのは以下の牌姿です。
彼の注文は、
上の１０牌に、下の９牌をガラガラして３枚引いて４シャンテンを作れ
というものでした。
ちなみに９牌は
です。
メンツこそありませんが、すでに４ブロック（468m、135p、99p、78s）あるため、４シャンテンを作るとなるとこれ以上ブロックは増やせません（これは作中で南郷さんが解説しています）。
Ｘ＝（ブロック数＋メンツ数）とすると、
式で表せば、
８−Ｘ＝４シャンテン
ブロックが４、メンツが０なので、
８−（４＋０）＝４シャンテン
これ以上、Ｘを増やせないのです。
例えば9mや7pという牌は、引いた時点でリャンカン（１ブロック）がカンチャン×２となって、Ｘが増えてしまうのでアウトです。
例えば、9mを引いたとすると、46m、89m、135p、99p、78sの５ブロック０メンツ１トイツになり、この時点でＸの合計が５になってしまいます。
要は、うまいこと孤立牌を引いてくださいという問題です。
正解は1s、1m、4sの３種で、確率は2.38%と述べられています（私は確認していません）。
初めてこの問題を見たのはおそらく中学生の時ですが、ようやく理解できたと思います。
はしがき２
上は井出洋介・小林剛著の『麻雀技術の教科書』ｐ１８４からの抜粋です。
私は、５トイツあればチートイ１シャンテンなのに、そこからトイトイに移行するとなんで３シャンテンになるのか、その理由を長らく理解できていませんでした。
シャンテン数が一手で２つ以上下がることなんてあるんだろうかというのがわかりませんでした。シャンテン数は上記３つの種類が異なる場合には１手で２以上変動するわけですね。それがこの度、腑に落ちました。
ちなみに副露判断でチートイからトイトイへの移行がよく問題になるのは、このためだと思います。
副露判断は、一般には、「速くなるか、高くなるか」という判断だと思いますが、チートイからトイトイへの移行は、１シャンテンから３シャンテンとかになるので、シャンテン数だけならかなりの後退です。打点も変わらないかチートイのが高い場合があります。
チートイ・トイトイ鳴き問題は、「それでも鳴いた方が速い手牌があるのではないか」という議論なのだと思います。
解答
問１ ８－５＝３
問２ ８－５＋１＝４
問３ ８－３＝５
問４ ８－３＝５
問５ ８－（５＋１）＝２ ５ブロック１メンツヘッド有
問６ ８－１＝７ メンツ手７、トイツ手５シャン 十三不塔形
問７ ８－４＝４
問８ ８－５＝３ ６ブロックですがカウントは最大５ブロックまで
問９ ８－４＝４
問１０ ８－（４＋１）＝３
問１１ ８－（５＋１）＋１＝３ ５ブロック１メンツヘッド無
問１２ 前：８－（５＋１）＝２ → 後：８－（５＋２）＋１＝２
問１３ 前：８－（４＋２）＝２ → 後：８－（３＋３）＝２
問１４ 前：８－（４＋１）＝３ → 後：８－（３＋２）＝３
下のサイトはもう少し詳しく書いてくれてます。わかりやすかったです。
上に引用したタケオしゃんのサイトより「シャンテン数当てゲーム」です。
ネマタに教えてもらったサイトです。
下は古いサイトですが、この時点ですでに基本的な考え方が述べられてます。先達はあらまほし。