精神科に勤める1年目看護師です。5年後の診療看護師(NP)養成大学院へ進学を目指おり、今のうちに経験した方が良いことは？教授への連絡は早過ぎるか？

・診療看護師(NP)養成大学院のオープンキャンパスは参加しても良いと思いますよ。
大学院生と話ができたり、教員と話ができたり、大学院の様子が見れるとより将来をイメージしやすくなるでしょうし、実際に大学院受験を合格した人の受験対策や今だから言えるやっておくと良いことを教えてもらえたりするかもしれません。
大学院によっては過去問を閲覧できるところもあるでしょうから、オープンキャンパスの情報だけでも調べておいても良いかもしれませんね。

・教授への連絡は正直分かりません。
例えば1年目看護師が大学院に進学希望がある、興味関心がある、というだけで話をしていただける人がいらっしゃるかもしれませんし、興味関心の内容を具体的にしてから話を聞いていただける人かもしれませんから。
存在を認識してもらえたらラッキーという具合で、一度はメールで連絡してみても良いと思います。
ダメと言われてないならば、連絡するかどうかを決めるのは質問者さんで、その連絡を確認するかどうか、反応するかどうかは送った大学院や教授が判断することでしょう。

・診療看護師(NP)養成大学院に入る前に経験しておいた方が良いこと、学んでおいた方が良いことは、精神科単科でしかできない経験や学びを深めることでしょう。
例えば、応急入院や緊急措置入院された患者に関わる経験、精神科単科で行う社会復帰や退院支援の経験、臨床を通して身に付ける精神保健福祉法に基づく入院に関する知識など
普段臨床で行っていることを改めて意識して、言語化できるようにしてみても良いかもしれません。例えば、入院患者で会話はおろか言葉も発せず目も合わせてくれない患者に対して、質問者さんは何を考え、何に気を付けて、どのように対応しているか？
バイタルサイン測定や内服を拒む患者、幻聴や妄想に悩む患者など、様々な患者に行った自分の実践を言語化してみても良いかもしれませんね。
また、精神科で臨床経験を積むだけでも強みだと思いますが、可能であれば精神科救急や精神疾患を持つ患者の術後管理の知識もあると、先々に活きるかもしれませんね。とはいえ、ここは無くても困らないでしょうが…

確かに、診療看護師(NP)に関する情報をネットで探していると精神科単科の病院に居続けていいのか気になるかもしれません。救急や集中治療や急性期や、他のことを経験した方が良いのかと感じるかもしれません。
ただ、精神科以外の知識が必須ではありませんし、大切なことは解剖生理をきちんと理解して日々の実践に活用していることでしょう。救急や集中治療や急性期だけでなく精神科でも関わる患者はみんな同じ人間で、身体の仕組みは同じです。臓器の働きも血液の流れも吸収や代謝や排泄も同じです。救急や集中治療や急性期で使いやすい知識と精神科で使いやすい知識が異なるだけで、どちらにも必要なものは解剖生理でしょう。
なので、精神科単科に居ても良いと思います。そして、診療看護師(NP)を目指すのであれば精神科の知識に加えて解剖生理を深めると良いと思います。例えば救急や集中治療に異動になっても「まぁ、なんとかなるか」と思えるくらいですかね。
どのみち、診療看護師(NP)養成大学院に進学したら解剖生理を学習するでしょうし、診療看護師(NP)として臨床に出ても解剖生理を深めていくので、今から少しずつやるか、後で必死にやるか、の違いかもしれません。
また、精神科以外の学習も大学院でするので、その部分も今から少しずつやるか、後で必死にやるか、の違いかもしれませんね。

もちろん、病院を変えるのも良いと思います。やはり、経験していると学習する際も臨床に照らし合わせて行えるし、そこでの体験や気付きはその環境に居なければ得にくいでしょう。
質問者さんも、精神科単科ならではの体験があったり、精神科単科で働いていたからこそ得た自分なりの気付きがあるのではないでしょうか？
ただ、病院を変えたとしても、解剖生理の重要性は変わらないので学習する必要はあるでしょうし、大学院で学習する内容は何も変わりません。

まとめると、元も子もなくて申し訳ないですが、精神科単科のままでも良いし、病院を変えても良いし、どちらを選択しても質問者さんのメリットにはなると思います。
どちらにしても、後は質問者さんがやるかやらないかでしょう。

応援しております。
頑張ってください。