OMC042参加したよって話

2021年8月20日 13:53

6問回です... 緊張する
今回は翔子さんの単独writerでした！

A

それ問題にするのか... となりましたw

(1,1,2,2)型と(1,1,1,3)型に分けて考えると、4C2×6×5×4C2 + 4×6×5×4 = 1560となります。ペナらずに正解できて嬉しかったです！

ちなみにこの6問セットの分野はCAGNNGらしいです。すごい...

規模でかくてビビりましたが、11... 1 (1が10^100-1個)で割れば、3^3+4^3+5^3=6^3に気付くので、Nは66... 6 (6が10^100-1個)になります。
この時Sは599.... 94(9は99個)であり、Tは900と求められます。

なんか2位でした。というか、2完の中では最速だったみたいです、嬉しい～

適当にOの中心を置いて、三平方でごりごりしました
ただ約分を忘れて1ペナ... 悔しい
解説ではPRTと合同であることを使っていました。思いつかなかったです...

余談：20:21:29の直角三角形入るのかな？とか思ってたら入りませんでした...
余談2：記事執筆中に気付きましたが、2021がモチーフなんですね(遅い)

とりあえず素因数分解です。2520^3=2^9×3^6×5^3×7^3ですね。

～以下mod 3～

3を素因数に持つと0と合同なので、2^9×5^3×7^3で考えればいいです。

7は1と合同より、2^9×5^3でのS-Tを求めてから、後から(1+7+49+343)を掛ければいいです。
2と5は2と合同なので、2の次数と5の次数の和が偶数ならばSに、奇数ならばTに含まれることが分かります。

～以上mod 3～

あとはちょいちょい計算するだけ... なはずだったのですが

これは一体？？？

敗因は1+7+49+343=341としていたことです。どう考えても違うやろがい

あー、あー、あー... (なんか見て無理そうな雰囲気がしました)
とりあえず33333330の時にFermatの小定理から1になるので、k(k+1)(k+2)(k+3)のmod33333331での逆元の総和を考えればいいです。

そうはいっても底辺水solver... あれこれ考えましたが、分かりませんでした

そして解説を見て唖然としました

え？え？それ成り立つん？え？まじなん？それ(関西人)

部分分数分解っぽさはあったのですが、mod逆元とは違うのかなぁと思い、深く考えていませんでした... (というか導ける自信がない...)
最後まで悩んでいたので、かなり悔しかったです

最初は飛ばしました。が、Eが解けない代わりに少し取っ掛かりがありそうな気がしたので、とりあえずACとBDの交点をEと置きました。

OMC039-Cでやったように、相似からAE=mx, BE=my, CE=ny, DE=nxと置けます。この時、条件は

(m+n)√(x^2+y^2)=100
(x+y)√(m^2+n^2)=111
(mx+ny)(my+nx)=2468

となります。
3つ目の条件を展開すると、何やら1, 2つ目の条件と足し引きするといい感じの形になってくれそうです。実際、

1つ目の条件から(m^2+2mn+n^2)(x^2+y^2)=10000、
2つ目の条件から(x^2+2xy+y^2)(m^2+n^2)=12321、
3つ目の条件を展開するとxy(m^2+n^2)+mn(x^2+y^2)=2468

となるので、

(m^2+n^2)(x^2+y^2)=(10000+12321-2468×2)/2=17385/2

が分かります。たぶんこの条件を使うんだろうなと思いました。

さて、求めるべきはΓの面積なので、半径の2乗を出したいです。

Γの中心をOとすると、OはACとBDの垂直二等分線上にあります。

ACとBDは垂直であることから図を描くと、三平方の定理より、Γの半径^2は

(mx+ny/2)^2 + (my-nx/2)^2 = {m^2(x^2+y^2)+n^2(x^2+y^2)}/4
=(m^2+n^2)(x^2+y^2)/4

となります！ビンゴ！！！！
よって答えは17385+8=17393となります。初めてFをACできました！！

5完30位でした！rated回最高順位！！！
さらに、まさかの黄perf(2017)！！

めっちゃくっちゃ嬉しかったです...

さて次回はOMC043ですが、しましまさんの外国語縛りトーナメント↓

第3回外国語縛りOMC4bトーナメント組み合わせが決まりました！
1回戦は8/23 21時からのOMC043です！ pic.twitter.com/lPPDgIfxAf
— しましま (@simasima_71) August 17, 2021

に参加するため、だいぶ順位が悪くなることが予想されます
ハワイ語ですが、頑張ります！！

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