冪乗・冪根・対数の添字表記
冪乗$${ 2^3 }$$に対し、冪根$${ \sqrt[3]{2} }$$と対数$${ \log_2{8} }$$の表記がバラバラで分かり難く、対数が２変数の関数表記で特に分かり難い。これに対し、冪乗の添字表記を真似て、冪根と対数も添字表記に表して見る。
1. 定義
冪乗は$${ a^b = c }$$のままとする。
冪根は$${ {}^b{c} = a }$$で$${ \sqrt[b]{c} = a }$$を表す。根号を取るだけ。
対数は$${ {}_a{c} = b }$$で$${ \log_a{c} = b }$$を表す。$${ \log }$$を取るだけ。
各部位の名称は次のようになる。
$${ \textrm{底}^{\textrm{指数}} = \textrm{冪} }$$
$${ {}^{\textrm{次数}}{被開方数} = \textrm{冪根} }$$
$${ {}_{\textrm{底}}{真数} = \textrm{対数} }$$
名前が煩雑のため、冪・根・対で略すと見通しが良い。
$${ \textrm{根}^{\textrm{対}} = \textrm{冪} }$$
$${ {}^{\textrm{対}}{冪} = \textrm{根} }$$
$${ {}_{\textrm{根}}{冪} = \textrm{対} }$$
2. 性質
簡潔のため、以下の各法則で成立条件を省略する。
2.1 逆演算関係
$${ \,\,\sqrt[b]{a^b} = a = (\sqrt[b]{a})^b }$$
～ $${ {}^b{(a^b)} = a = ({}^b{a})^b = {}^b a^{\,b} }$$」
一般に、
$${ \,\,\sqrt[d]{a^b} = (\sqrt[d]{a})^b = a^{b/d} = a^{kb/kd} }$$
～ $${ {}^d{(a^b)} = ({}^d{a})^b \;= {}^d a^{\,b} \;= {}^{kd} a^{\,kb} }$$
上の左右にある根冪は結合順を気にしなくて良い。
左右に同じ因数がある場合は打ち消せる。
$${ \,\log_a{a^b} = b = a^{\log_a b} }$$
～ $${ {}_a{(a^b)} = {}_a{a^b} = b = a^{{}_a{b}} = a^{({}_a{b})} }$$
斜め方向は冪乗同様の添字表記と同様、常に右上結合である。
指数関数$${ a^{\bullet} }$$と対数関数$${ {}_a \bullet }$$は互いに逆関数であるため、
形式的だが、左下の大小文字が$${ {}_a a }$$でも$${ a^{{}_a} }$$でも打ち消し合う。
ただ、見た目だけであって、$${ {}_a a =1 }$$や$${ a^a }$$ではないことに注意。
この斜め方向は非結合的であるため、括弧は推奨。
2.2 指数法則
$$
\begin{array}{cclcc}
\displaystyle (a\cdot b)^r = a^r \cdot b^r
&& \displaystyle a^{r\,+\,s} = a^r \cdot a^s
&& \displaystyle a^{r \cdot s} = (a^r)^s \quad\quad\quad
\\\\ \displaystyle \!\!\left(\frac{a}{b} \right)^{r} = \frac{a^r}{b^r}\;
&& \displaystyle a^{r\,-\,s} = \frac{a^r}{a^s}
&& \displaystyle a^{r\!/\!s} = {}^{s\!}(a^r) = \sqrt[\scriptstyle s]{a^r}
\end{array}
$$
$$
\displaystyle \left(\frac{1}{a} \right)^{s} = (a^{-1})^s = a^{-s} = (a^s)^{-1} = \frac{1}{a^s}
$$
指数が元から添字表記を使われるため、元の通りに書ける。
敢えて言うなら、指数の除算を乗算と対称的に書けるようになる。
2.3 対数法則
$${ \log_a xy = \log_a x + \log_a y }$$
～ $${ {}_a(xy) = {}_ax + {}_ay }$$
$${ \displaystyle \log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y }$$
～ $${ \displaystyle \begin{array}{c}\,\\\,\end{array}_a\!\! \Big(\frac{x}{y}\Big) = {}_ax - {}_ay }$$
$${ \,\displaystyle \log_a x^k = k \log_a x }$$
～$${ {}_a(x^k) = {}_a x^k = k\,{}_a x }$$
$${ \,\displaystyle \log_{a^k} x = \frac{1}{k} \log_a x }$$
～$${ \,\displaystyle {}_{(a^k)}x = {}_{a^k}\,x = \frac{\,\overset{\;}{{}_a x\,}}{k} }$$
$${ \,\displaystyle \log_{a^k} x^k = \frac{k}{k} \log_a x = \log_a x }$$
～$${ \,\displaystyle {}_{(a^k)}x^k \!=\! {}_{a^k}\,x^k \!= \frac{\overset{\;}{k}}{k}\,{}_a x = {}_a x }$$
底変換：
$${ \log_a x =\; \log_a b^{\log_b x} = (\log_a b)(\log_b x) }$$
～ $${ {}_a x = {}_a(b^{(_b x)}) = {}_a b^{{\,}_b x} = {_a b}\cdot {_b x} }$$
$${ \displaystyle \log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a} }$$ ～ $${ \displaystyle {}_a x = \frac{{}_b x}{{}_b a} }$$
$${ \displaystyle \log_a x = \frac{1}{\log_x a} }$$ ～ $${ \displaystyle {}_a x = \frac{1}{{}_x a} }$$
余対数：
$${ \displaystyle -\log_a x = \log_a \frac1x \;\; = \log_{\frac1a} x = \text{colog}_a x }$$
～ $${ \!\!\displaystyle -{}_a x = \,\begin{array}{c}\,\\\,\end{array}_a\!\! \Big(\frac{\overset{\;}{1}}{x}\Big) = {}_{\frac1a}(x) }$$