温度を上げると磁力が弱まる理由（F＝U-TS）
全結合モデル（お隣の電子だけでなく、全電子と相互作用するイジングモデルの拡張版）によって温度上昇に伴い磁力が弱まる理由が説明される。
カノニカルアンサンブル（熱浴とエネルギーのやり取りはするが、物質のやり取りはなく、系の状態が T,V,N でしていされるような系の集合）における分配関数 Z は、
$$
Z = \sum_{\bf{x}} e^{-\beta E({\bf x})}
$$
である。
このモデルにおける電子i,jの相互作用エネルギーは
$$
E({\bf{x}}) = -\frac{J}{2N} \sum_{i \neq j} x_i x_j
$$
だとする。
すなわち、
$$
Z = \sum_{\bf{x}} \exp \left( \frac{\beta J}{2N} \sum_{i \neq j} x_i x_j \right)
$$
を計算していく。
二次式に関するテクニックやδ関数を用いたテクニックを使うと、
$$
Z = N \sum_{\bf{x}} \int dm \ \exp \left( \frac{N\beta J}{2} m^2 - \frac{\beta J}{2} \right) \delta\left( Nm - \sum_i x_i\right)
$$
と変形することができる。
ただし、
$$
m = \frac{1}{N} \sum_i x_i
$$
は磁化である。
Nが大きいとき、$${\frac12βJ}$$の項は無視できるので、
$$
Z = N \int dm \ \exp \left( N \frac{\beta J}{2} m^2 \right) \sum_{\bf{x}} \delta \left( N m - \sum_i x_i \right)
$$
と書ける。
この表式を見ると、
被積分関数のδ関数の総和は、ちょうど磁化mになるxを数え上げているので、エントロピーに関係していおり、
その前のexp項はエネルギーに関係していることがわかる！！
温度が低ければエネルギー項が有力になり、温度が高ければエントロピー項が有力となる。つまり、このバランスによって全磁化が決まってくるのだ。
このことは非常に直感的である。苦労して式変形した甲斐があった。
あとは、Zの積分をこなして、とあるTにおけるZの最大値を探せば、そのTにおける平衡状態を考察できる。
この積分が難しそうであるが、δ関数をフーリエ積分表示に変換し、鞍点法を使うことで、うまく前進することができる。（考えている系の電子数が膨大であることが胆）
結果、熱平衡状態における磁化ｍは次の関係を満たすことがわかる。
$$
m = \tanh (\beta J m)
$$
あとはこれを自己無頓着になるまで数値計算すれば、温度Tに対する磁化ｍが求まる。
温度が高い、すなわち逆温度βが小さいとき、m=0
逆に、温度が低い、すなわちβが大きいとき、m=±1
という結果が得れらる。
前者はスピンが完全ランダムということで、後者はキッチリと揃っているということを意味するのだから、直観や実験事実とよくあう傾向だ。
(*ﾟ▽ﾟﾉﾉﾞ☆ﾊﾟﾁﾊﾟﾁ
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