Maxwell方程式

物理学科での電磁気学の授業も結構そこそこの内容まで来たので，ここら辺でMaxwell方程式の話を復習しておくのは大事だと思い，この記事を書きます．あとついでに(というかこれが主な理由なんだけども)，noteでの数式の挙動が知りたい．

Maxwell方程式の復習

問題となるのは，皆大好きMaxwell方程式

$$
\begin{array}{llll}
&\nabla \cdot \bm{D}=\rho \\
&\nabla \cdot \bm{B}=0 \\
&\nabla \times \bm{E}+\frac{\partial }{\partial t}\bm{B}=0 \\
&\nabla \times \bm{H}-\frac{\partial }{\partial t}\bm{D}=\bm{i}
\end{array}
$$

こんな形だったはず．(ちゃんと数式で表示されているのかな．心配です．)上から1,2番目のは電磁場に対するGaussの法則で，3番目はFaradayの誘導法則，4番目はAmpère-Maxwellの法則．言わなくても良いとは思いますけど，当然これらの$${\bm{E},\bm{B},\rho ,\bm{i}}$$は全て$${x,t}$$の関数で時間を変数に含んでいます．以上の事柄は既知として扱います．

ここで2番目の方程式からベクトルポテンシャル$${\bm{A}}$$を$${\bm{B}=\nabla \times \bm{A}}$$として導入することができるんでした．これにより3番目の方程式は少し綺麗な形になりますね？

$$
\nabla \times (\bm{E}+\frac{\partial}{\partial t}\bm{A})=0
$$

ここで静電ポテンシャルを導入したのと同じように，次のようにスカラーポテンシャル$${\phi}$$を導入することができます．

$$
\bm{E}+\frac{\partial}{\partial t}\bm{A}=-\nabla \phi
$$

すると，電場と磁場は次のようにスカラー・ベクトルポテンシャルの組$${\phi,\bm{A}}$$でそれぞれ書き表すことができることになります．

$$
\begin{array}{ll}
&\bm{B}=\nabla \times \bm{A} \\
&\bm{E}=-\nabla \phi -\frac{\partial}{\partial t}\bm{A}
\end{array}
$$

このポテンシャルの組$${(\phi,\bm{A})}$$はこれから頻繁に出てくるので，こいつらをまとめて「電磁ポテンシャル」と呼ぶことにします．かっこいいね．

電場$${\bm{E}}$$と磁場$${\bm{B}}$$は本質的な概念ではなく，そのさらに根底にあるのが電磁ポテンシャルだという見方ができます．すなわち，世界には電磁ポテンシャルが存在して，その結果電場と磁場が我々の感知できる形となって顕現しているだけなんだということ．

電磁ポテンシャルを用いてMaxwell方程式の4つの方程式を全て書き換えるのは後程やります．先にゲージ変換について説明しておこうと思います．

ゲージ変換

こいつら電磁ポテンシャルには任意性が存在します．すなわち次の変換

$$
\begin{array}{ll}
&\bm{A}\to \bm{A}'= \bm{A}+\nabla \chi \\
&\phi\to \phi'=\phi -\frac{\partial}{\partial t}\chi
\end{array}
$$

の下で，電場と磁場は変化しません．ここで$${\chi}$$は任意の関数です．つまり，決まった電場・磁場を再現するような電磁ポテンシャルは一意的ではなく，この変換のもとなら変化しても良いわけです．

これらの変換に対して本当に不変性が成り立っていることは実際に確認してみればすぐわかります．まず磁場$${\bm{B}}$$は

$$
\begin{array}{lll} \bm{B}&=\nabla \times \bm{A} \\
&\to \nabla \times \bm{A}'=\nabla \times (\bm{A}+\nabla \chi) \\
&=\nabla \times \bm{A}=\bm{B} \end{array}
$$

となって，確かに変わりません．(ここで任意の$${\chi}$$について$${\nabla \times \nabla \chi=0}$$となることを使いました．)さて，電場は？こっちは少し複雑ですが計算としては単純です．

$$
\begin{array}{ll}
\bm{E}&=-\nabla \phi -\frac{\partial}{\partial t}\bm{A} \\
&\to -\nabla \phi' -\frac{\partial}{\partial t}\bm{A}' = -\nabla (\phi -\frac{\partial}{\partial t}\chi)-\frac{\partial}{\partial t}(\bm{A}+\nabla \chi) \\
&=-\nabla \phi -\frac{\partial}{\partial t}\bm{A}=\bm{E}
\end{array}
$$

確かに電場$${E}$$も，いい感じに余分な項が打ち消し合って変化しないようです．(まぁ打ち消すように$${\phi}$$の変換性を決めてるだけなんだけども．)

電磁ポテンシャル$${\phi,\bm{A}}$$に対する二種類の同時変換を，特別に「ゲージ変換」と呼びます．すなわち，電場と磁場から構成されているMaxwell方程式は「ゲージ変換に対して不変性がある」ということになります．これがゲージ不変性です．(ついでに電磁ポテンシャルも「ゲージポテンシャル」と呼んだりします．まぁ気分です．)

ゲージってなんだよ，って思うかもしれません．これは元々電磁理論の統一を試みたWeylが「ものさし(gauge)変換」的な意味で導入されたという歴史的な経緯から来るんですが，結局うまくいかずに名前だけ残ったタイプのやつです．なので名前の意味は意識しなくて大丈夫です．

電磁ポテンシャルによる書き換え

さて，上で導入した電磁ポテンシアルを用いてMaxwell方程式を本格的に書き換えていきましょう．素粒子論とかの文脈では誘電体とか磁性体とかは重要ではないので，$${\bm{D}=\varepsilon_0\bm{E},\mu_0\bm{H}=\bm{B}}$$が成り立つとして$${\bm{E},\bm{B}}$$だけの方程式系にしてしまいます．元の方程式の2,3番目の方程式は電磁ポテンシャルの定義で使ってしまったので，残ったのは次のような方程式系になります．

$$
\begin{array}{ll}
&\nabla \cdot \bm{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_0} \\
&\nabla \times \bm{B}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial }{\partial t}\bm{E}=\mu_0\bm{i}
\end{array}
$$

ここで$${\mu_0\varepsilon_0=\frac{1}{c^2}}$$であることを用いました．こいつらに電磁ポテンシャルを導入してやりましょう．まずは1番目の式から

$$
\begin{array}{lll}
\nabla\cdot \bm{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_0} \\
\nabla \cdot (-\nabla\phi-\frac{\partial}{\partial t}\bm{A})=\frac{\rho}{\varepsilon_0} \\
\therefore \Delta \phi +\nabla\cdot \frac{\partial}{\partial t}\bm{A}=-\frac{\rho}{\varepsilon_0}
\end{array}
$$

ここで$${\Delta=\nabla \cdot \nabla}$$は皆大好きラプラシアンです．時間的な変化がないときは第二項目が消えて見慣れたPoisson方程式が出てきますね．さて，もう一つの方程式を書き換えていきましょう．

$$
\begin{array}{ll}
\nabla \times \bm{B}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial }{\partial t}\bm{E}=\mu_0\bm{i} \\
\nabla \times (\nabla \times \bm{A})-\frac{1}{c^2}\frac{\partial }{\partial t}(-\nabla \phi -\frac{\partial}{\partial t}\bm{A})=\mu_0\bm{i} \\
\nabla(\nabla \cdot \bm{A})-\Delta \bm{A}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial }{\partial t}(-\nabla \phi -\frac{\partial}{\partial t}\bm{A})=\mu_0\bm{i} \\
\therefore (\Delta -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2})\bm{A}-\nabla(\nabla\cdot \bm{A}+\frac{1}{c^2}\frac{\partial}{\partial t}\phi)=-\mu_0\bm{i}
\end{array}
$$

こっちは少し複雑ですね．途中でベクトル解析の公式$${\nabla\times (\nabla \times \bm{A})=\nabla(\nabla \cdot \bm{A})-\Delta \bm{A}}$$を用いています．

この二つの式，少し類似性があることに気付きますか？まだ少しわかりにくいかもしれないので，1番目の式をさらに変形させます．

$$
\begin{array}{ll}
\Delta \phi +\nabla\cdot \frac{\partial}{\partial t}\bm{A}=-\frac{\rho}{\varepsilon_0} \\
\therefore (\Delta -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2})\phi+\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\cdot \bm{A}+\frac{1}{c^2}\frac{\partial }{\partial t}\phi)=-\frac{\rho}{\varepsilon_0}
\end{array}
$$

逆算してみれば，新たに追加した項が打ち消し合って元の式になっていることがわかります．便宜上，両辺を光速$${c}$$で割ってやると(再び$${\mu_0\varepsilon_0=\frac{1}{c^2}}$$を用いて)

$$
\begin{array}{ll}
(\Delta -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2})\frac{\phi}{c}+\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\cdot \bm{A}+\frac{1}{c^2}\frac{\partial }{\partial t}\phi)=-\frac{\mu_0\rho}{c\varepsilon_0\mu_0}=-\mu_0(c\rho)
\end{array}
$$

となります．

ここまで来たら類似性もはっきりすると思います．念のため並べて書いておきましょう．

$$
\begin{array}{ll}
(\Delta -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2})\frac{\phi}{c}+\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\cdot \bm{A}+\frac{1}{c^2}\frac{\partial }{\partial t}\phi)=-\mu_0(c\rho) \\
(\Delta -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2})\bm{A}-\nabla(\nabla\cdot \bm{A}+\frac{1}{c^2}\frac{\partial}{\partial t}\phi)=-\mu_0\bm{i}
\end{array}
$$

ワァ…(ちいかわ)特にどこが類似しているかといえば，括弧の中身と左辺ですね．右辺に関しても，係数の$${\mu_0}$$が一致しているばかりか，$${c\rho}$$は次元的にも速度と電荷の掛け合わせなので電流$${\bm{i}}$$と同じ次元であることが確認できます．

4次元的な記法の導入

ここまでは，割と綺麗なMaxwell方程式を複雑にしてしまっただけに思えますね．物理学科なら，もっときれいに書きたいと思いませんか？思いますよね．思うはずなので，3次元微分$${\nabla_i=\partial/\partial x_i}$$を拡張して次の「4次元微分」を導入します．

$$
\frac{\partial}{\partial x^\mu}=\left(\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t},\nabla\right)=\left(\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t},\frac{\partial}{\partial x_1},\frac{\partial}{\partial x_2},\frac{\partial}{\partial x_3}\right)
$$

添え字$${\mu}$$は0から3をとります．(時間的成分を4成分ではなく0成分ととるのは，まぁ慣例的なものです．)この微分をさらに簡略して$${\partial_\mu}$$とも書きます．この微分演算子は4次元ベクトル的なので，内積が定義できますが，ここで便宜上$${\partial^\mu}$$の$${\partial_\mu}$$の時間成分だけマイナスをとったもの

$$
\partial^\mu=\left(-\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t},\nabla \right)=\left(-\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t},\frac{\partial}{\partial x_1},\frac{\partial}{\partial x_2},\frac{\partial}{\partial x_3}\right)
$$

として定義します．(4次元的な添え字を上にあげたら時間成分がマイナスになる理由は相対論の範疇になるんで，今は純粋に数学的な処方によるもの，ととらえておいてください．ちゃんと理由はあります．)これにより，「4次元的なラプラシアン」は，これら二つの4次元微分ベクトルの内積をとって次のようになります．

$$
\Box\equiv \sum_{\mu=0}^3\partial_\mu \partial^\mu=\Delta -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}
$$

3次元的な微分演算子が三角形だったから，4次元的な微分演算子は四角形っていうのは安直すぎてセンスを疑いますが，これも慣例です．この「4次元的なラプラシアン」のことを「ダランベルシアン(ダランベール演算子)」と呼んだりします．

4次元的な微分演算子を導入したので，電磁ポテンシャルと電流も4次元的に拡張しましょう．

$$
\begin{array}{ll}
A^\mu=\left(\frac{\phi}{c},\bm{A}\right)=\left(\frac{\phi}{c},A_1,A_2,A_3\right) \\
j^\mu=(c\rho,\bm{i})=(c\rho,i_1,i_2,i_3)
\end{array}
$$

以上の道具を用いて書き換えると，Maxwell方程式の二つの式は次のように綺麗な一本の式にまとまります．

$$
\begin{array}{}
\partial_\mu \partial^\mu A^\nu-\partial^\nu(\partial_\mu A^\mu)=-\mu_0 j^\nu
\end{array}
$$

ヮ…ッ！(ちいかわ)これはすごく綺麗ですね．もちろん$${\nu}$$も4次元的な添え字で，$${\nu=0}$$でMaxwell方程式の一つ目の式が，$${\nu=1,2,3}$$で二つ目の式が出てきます．

ただし，$${\mu}$$添え字については総和記号がありませんが上下に同じ添え字が出てきたら暗黙のうちに0から3まで和をとることにしています．(これをEinsteinの記法と言います．)

場の強度テンソル

もっと綺麗で分かりやすくしましょう．この方程式をさらに

$$
\begin{array}{ll}
\partial_\mu(\partial^\mu A^\nu-\partial^\nu A^\mu)=-\mu_0j^\nu
\end{array}
$$

と書き換えて，次の「場の強度テンソル」を導入します．

$$
F^{\mu\nu}\equiv \partial^\mu A^\nu-\partial^\nu A^\mu
$$

テンソルという言葉の意味は今は置いといて大丈夫です．これを用いると，Maxwell方程式は

$$
\partial_\mu F^{\mu\nu}=-\mu_0 j^\nu
$$

という非常に綺麗な形式にまとまります！これが欲しかったものです．

この形式の何が嬉しいのか？ただ複雑な定義をして簡単な形にしたって意味はないわけですけども，実は場の強度テンソルには重要な性質が隠されています．それは「ゲージ変換に対して不変である」ことです．

ゲージ変換をもう一度書き下してみましょう．

$$
\begin{array}{ll}
&\bm{A}\to \bm{A}'= \bm{A}+\nabla \chi \\
&\phi\to \phi'=\phi -\frac{\partial}{\partial t}\chi
\end{array}
$$

4次元的な記法を導入した今，これはもう少し綺麗に書けますね．

$$
A^\mu\to A'^\mu=A^\mu+\partial^\mu\chi
$$

この変換のもとで，場の強度テンソルは

$$
\begin{array}{llll}
F^{\mu\nu}&=\partial^\mu A^\nu-\partial^\nu A^\mu \\
&\to \partial^\mu A'^\nu-\partial^\nu A'^\mu \\
&=\partial^\mu(A^\nu+\partial^\nu\chi)-\partial^\nu(A^\mu+\partial^\mu\chi) \\
&=\partial^\mu A^\nu-\partial^\nu A^\mu=F^{\mu\nu}
\end{array}
$$

となって，確かにゲージ不変です！

4次元的なMaxwell方程式

Maxwell方程式は，結局次の方程式系にまとめることができます．

$$
\begin{array}{ll}
\partial_\mu F^{\mu\nu}=-\mu_0j^\nu \\
\bm{B}=\nabla \times \bm{A} \\
\bm{E}=-\nabla \phi -\frac{\partial}{\partial t}\bm{A}
\end{array}
$$

どうせなら，2,3番目の電磁ポテンシャルと電磁場の関係性も場の強度テンソルで書き換えたいですよね．面倒なので詳しくは導出しませんが，実は次の形で表現できます．

$$
\partial^\mu F^{\nu\rho}+\partial^\rho F^{\mu\nu}+\partial^\nu F^{\rho\mu}=0
$$

皆大好きLevi-Civita記号(今回は4次元的なもので，$${\varepsilon^{0123}=+1}$$の反対称テンソル)を導入すれば，さらに簡略化させて

$$
\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\partial_\mu F_{\rho\sigma}=0
$$

と書くこともできます．以上より，Maxwell方程式は結局

$$
\begin{array}{ll}
\partial_\mu F^{\mu\nu}=-\mu_0j^\nu \\
\partial_\mu \tilde{F}^{\mu\nu}=0
\end{array}
$$

という超綺麗な二つの方程式系にまとめることができます．ここで$${\tilde{F}^{\mu\nu}}$$は双対テンソル

$$
\tilde{F}^{\mu\nu}=\frac{1}{2}\varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma}F_{\rho\sigma}
$$

です．余談ですが，実は「微分形式」を用いるとさらに綺麗に

$$
F=dA \\
d*F=\mu_0*j \\
dF=0
$$

みたいな形にすることもできます．これは気が向いたらいつか説明します．

終わり

今回の話は以上です．前提知識が割と多いので，面倒になって説明不足にしてしまったところは沢山ありますが，どれも別に難しくないことなのでいつか追記します．まぁ今回の主な狙いは数式がちゃんと書けるか確認するだけだし，ままええか…

もし質問があればTwitterとかコメントとか，なんかそこらへんで(適当)