【ポケポケ】カスミの期待値は1なのか？

結論：数学的には正しくともゲーム的には正しくない
という主張です。

追記：コイントスは物理演算でやっているらしく、1回目に限り確実に狙った目を出せるらしいので、修正が来るまでは1以上です笑
ワザップだったみたいです。

追記2：タケシの効果を知らなかったんですけど、確定1エネ加速はもうちょっと評価されてもいい。タブンネ。

前口上

ポケポケが大流行ですが、直撃世代なので当然毎日剥いてます。
右上が曲がっているとレアが出やすいという噂も勿論信じて、パックサーチで盛り上がっていますし、クラウンピカチュウが出てくれたので、電気デッキで使ってます。

エネ加速さえできれば先行1ターン目から攻撃できるルールであり、今回のイベントでCPUも使ってくるため、運ゲー、カスミのミ以外の部分等と揶揄されていますが、収集が主目的のゲームであり、運ゲーでもいいじゃないと思います。（個人的にそれなりに運要素があるゲームのほうが好きです）

しかし、カスミの期待値が1になるという主張がインターネット空間で流れてきたので、異議を唱えるためにこの文章を書いています。

級数計算の良い問題を見つけました

Q.カスミでつくエネルギーの枚数の期待値を求めよ pic.twitter.com/AhLTZdr20l

— ヨビノリたくみ😬 (@Yobinori) October 30, 2024

数学的な解釈

表と裏が出る確率が同様に確からしいという仮定の下では、
表が連続して出る確率は
1/2の確率で0枚、1/4の確率で1枚、1/8の確率で2枚……
と続くため、
期待値=0*1/2+1*(1/2)^2+2*(1/2)^3+…(n-1)*(1/2)^n
=Σ(n-1)*(1/2)^n
という形で表されます。

そして、nが増えると次第に1に収束するため、
期待値は1になるという計算は数学的には全く正しいものとなっています。

反論

それでは、ゲーム的にnが増えることが何を意味するのか？と考えてみると、4エネルギー目以降は無視しても変わらないというのが私の主張です。

というのも、このゲームはエネルギーの使い道が
わざを使うか、逃げるためのコストに使うかしかありません。

わざのコストは最大でも4エネ（紙では5エネもあるらしいですが）、
カスミがよく使われているフリーザーex、ラプラスは3エネのため、
1/2の確率で0枚、1/4の確率で1枚、1/8の確率で2枚、1/8の確率で3枚以上
という効果に読み替えても実質的には変わらないことになります。

この前提における期待値は
0*1/2+1*1/4+2*1/8+3*1/8=7/8となり、期待値は1よりも低いという結果となります。
また、カスミの効果は
トレーナーカードの使用権と手札1枚と交換に
期待値でエネルギー0.875枚分加速するカードというものなります。
（あるいは8ゲーム中、7ゲームで1エネルギー加速とも言えます）

考察と課題

それではカスミによる運ゲーは強いのか？も考えていきます。

極端な例として、初手フリーザーでワンパンする戦略を想定します。
この場合、初手の勝率は①初手フリーザーが来る確率*②カスミをツモる確率*③コイントスで3枚以上出す確率となります。

①＝フリーザーの枚数/たねポケモンの総数
　　フリーザー単騎の場合、100%
②＝確定枠1枚を除いた19枚のデッキから、初期手札5-1=4枚を引いたうえで、1ターン目にまでに引く確率
　　山札に2枚の場合、47%
③＝1/8
①＊②＊③＝5.875%≒6%弱となります。

最大限有利な仮定の下で17ゲームに1回、1ターン目に勝てるデッキですが、
初手にカスミを引いたとしても、1/2の確率で何もできずに終わってしまうことも考えるとあまり強いとはいえなさそうです。
エネ加速の期待値が1未満のカードを使って、いきなり3エネわざを打つことを前提にする戦略は誤っているという解釈がしっくりきます。

一方、スターミーを使うケースでは
2ターン目に進化して、威力90のわざを出すという戦略となり、
期待値的にもかなり強い戦法であるように思われます。
しかしながら博士の研究やモンスターボールによる圧縮を考慮に入れた上で、2ターン目までにスターミーとカスミを引く確率を計算するための場合分けがめんどくさいので、今後の課題とします。

また、壁となるポケモンを用意して、後衛を育てる時間を稼ぐ戦略においては、8ゲーム中7ゲームにおいて、1ターン早く動けることを意味するため、加速対象がフリーザーでもカスミが有効ではないかと予想します（それでも最大火力は110点止まりでしかなく、カメックスexの160打点のほうが効用としては大きそうですが）。
環境メタを踏まえた要求打点、1ターンの価値、デッキに何枚トレーナーカードを入れるべきかについても暇があったら考えてみたいです。

更に思考実験として、コイントスなしで1エネルギー加速するという効果を持ったトレーナーカードを想定してみます。期待値的にはカスミを上回るこのカードは果たして、同じような使われ方をするのでしょうか？
こちらの考察も今後の課題としたいと思います。

余談

先ほど、CPUが使ったカスミが9回連続で表を出しました。