29.17 微分の初歩（ｎ次関数の増減表とグラフ）

ｎ次関数に関する発展的な話の２/５回目です。
今回は４次,５次関数の増減表の書き方を紹介します。基本は３次関数のときと同じなので、説明しなくてもできると思いますが扱っておきます。できそうなら、解説を見る前に自分なりの答えを出してみてください。

例題

実数を定義域とする関数$${y=x^4-8x^2+2}$$の極値を求め、グラフをかけ。

解答解説　極値およびグラフを描くために、増減表を完成させます。
微分すると
　　　　　　　　　$${y'=4x^3-16x=4x(x-2)(x+2)}$$
より、増減表は次の通りです：

※ 上のグラフは増減表の符号を記入するためのものです。このグラフの描き方は前回 (29.16) 説明しました。
また、$${y}$$の値を求めるとき、$${y=x^4-8x^2+2}$$に代入して求めてもよいのですが、少し式変形した
　　　　　　　　　　　　$${y=x^2(x^2-8)+2}$$
に代入して求めました。

増減表から
　　　　極大値 $${2 \:\: (x=0 \: のとき) }$$　　極小値 $${-14 \:\: (x=\pm 2 \: のとき) }$$

そして関数のグラフは次の通り：

注：増減表の符号は、代数的に導くこともできますがグラフが描ける場合は上のようにやる方が明確です。
この場合の代数的というのは、各区間での各因数の符号を考えるということです。次のような表を書くと分かりやすいと思います。

１行目は増減表と同じく区間を意味するもので、２行目から４行目が各因数の符号、それら３つの積が５行目の$${y'}$$の符号となります。
各因数の符号、例えば$${x-2}$$の符号は$${x=2}$$の前後で変わり、２より大きければプラスで２より小さければマイナスですね。２～４行目はこのように考えて符号を記入します。
実際に表を書いてみると、単純作業であることが分かります。こういうのは余白でやります。

練習問題

次の実数を定義域とする関数の極値を求め、グラフをかけ。
(1)  $${y=-x^4+4x^3-4x^2}$$
(2)  $${y=x^4-4x^3+12}$$
(3)  $${y=3x^5-5x^3+2}$$