3-2．いまさらきけない方程式（次数、根、代数学の基本定理）

下の①～⑤は方程式であることは、前回紹介しました。そして、その式を満たす値のことを「根」ということも話しました。

今回は、もう少し話を発展させたいと思います。そのために「次数（ｼﾞｽｳ）」を定義します。①を１次方程式、②を２次方程式、③を３次方程式と前回紹介しまいたが、その理由を話します。

説明するために、数学用語を紹介する必要がでました：等号「＝」の左側の式を「左辺（ｻﾍﾝ）」、右側の式を「右辺（ｳﾍﾝ）」と呼びます。

方程式①の左辺の項は２つありますね。（「項」←クリックすれば説明しているページに飛びます）一つ目は文字ｘが１個、二つ目は文字ｘが０個なので、それぞれの項の次数は、「１次」「０次」です。次数が高い方は「１次」なので、左辺は「１次式」です。右辺は項が１つで、ｘが０個なので、右辺の項は「０次」で、右辺は「０次式」です。右辺が幸い０次式だったので、①は１次方程式と呼ばれます。

方程式②の左辺の項は２つあり、ｘの個数に着目すると、一つ目は xx というのを省略した表記なのでｘが２個で次数は「２次」、２つ目は文字ｘが１個なので次数は「１次」、「２次」の方が高いので、左辺は「２次式」です。右辺は項が１つで、ｘが０個で０次式。幸い右辺が０次式なので、②は２次方程式と呼ばれます。

方程式③は左辺が同類項で整理されていて「＝０」となっているので、安心して説明できます。「～次方程式」を説明するには、左辺が同類項で整理され「＝０」になっていないと本来はいけないのです。このことはまた別の機会に説明します。

③の左辺は項が３つで、順にｘの個数を数えると3, 1, 0 なので、それぞれの項の次数は、３次、１次、０次です。「３次」が一番高いので左辺は３次式です。だから、③は３次方程式と呼ばれます。

ということは、左辺が同類項で整理されて「＝０」の方程式だったら、次数の一番高い項が５次だったら５次方程式と呼ばれ、次数の一番高い項がｎ次だったらｎ次方程式と呼ばれます。

一気に、数学用語を説明しました。「次数」「～次式」「～次方程式」を説明しましたが、本質的には「次数」が理解できれば十分です。他は自然と覚えられます。
ちなみに、④の各式はそれぞれ１次方程式と呼ばれます。２つ目の式で説明すると、等式 x-y+z=0 は同類項で整理されていて「＝０」になっています。左辺の項は、x, -y, z で、それぞれの文字は１個ずつなので、項の次数はすべて１次です。一番高い次数が１次なので、１次方程式です。覚える必要はないと思いますが、３種類の文字の１次方程式なので、「３元１次方程式」と呼ばれます。「元」は「ｹﾞﾝ」と読みます。

さらにもう一つ触れておきます。式を整理するときには、次数の高い順に並べることが多いです。次数の低い順に並べることもありますが、中高の数学では、まずありません。なので、このことも頭の片隅に残せるなら、残しておいてください。まとまった話は、今の方程式の話が終わってからする予定です。

前回、③の根は、-1, -1, 2 の３つだと云いました。一般に、「n次の代数方程式の根はn個」あります。これは代数学の基本定理と呼ばれるもので、結果だけは中高でも話されているようです。きちんとした話は、代数学または複素関数論を学んだときに出てくると思います。（※１）▢

解説動画←クリックすれば見られます

※１　現在の中高の数学教育では、「根」ではなく「解」という用語を使っているので、「ｎ次の代数方程式の解はｎ個以下」としか言えません。稀に、「ｎ次の代数方程式の解は重解を含めｎ個」という奇妙なことを耳にし、頭が頭痛で痛い思いをします。「馬から落馬、髪を洗髪した、予定はまだ未定」と言っているからです。「理一の数学雑談」←をどうぞ。