3-4．いまさらきけない方程式（１次方程式の解法①移項）

今回の主役、いや、１次方程式の主役である「移項」を紹介します。理屈は簡単です。等式の性質②（または①）から得られます（※１等式の性質）。

ｘ＋ａ＝ｂ　　　　　　　　　　　ｘ－ａ＝ｂ
　⇓　両辺からａを引くと　　　　　　⇓　両辺にａを足すと
(ｘ＋ａ)－ａ＝ｂ－ａ　　　　　　(ｘ－ａ)＋ａ＝ｂ＋ａ
　⇓　整理して　　　　　　　　　　　⇓　整理して
ｘ＝ｂ－ａ　　　　　　　　　　　  ｘ＝ｂ＋ａ

最初の式と最後の結果を見比べて気づきましたか。
左辺にあったａの符号が「＋」→「－」；「－」→「＋」と変わりました。
項ａを右辺に移動させたら符号が反対になる。これが「移項」というものです。もっと、一般的な説明をしておきます。大事なものは二重三重に。

Ａ＋Ｂ＝Ｃ－Ｄ
　　　⇓　両辺に（－Ｂ）を足すと（等式の性質①）
(Ａ＋Ｂ)＋(－Ｂ)＝(Ｃ－Ｄ)＋(－Ｂ)
　　　⇓　左辺を整理して
Ａ＝Ｃ－Ｄ－Ｂ
　　　⇓　両辺にＤを足すと（等式の性質①）
Ａ＋Ｄ＝(Ｃ－Ｄ－Ｂ)＋Ｄ
　　　⇓　右辺を整理して
Ａ＋Ｄ＝Ｃ－Ｂ

左辺にあった項Ｂを右辺に移動させたら－Ｂに、右辺にあった項－Ｄを左辺に移動させたらＤに変わりました。確かに、符号が逆になっていますね。この性質を使うと一次方程式を解くのが簡単になります。いちいち性質①、②を使わず「移項」だけで済むからです。

この移項を使うと、すべての一次方程式は ax+b=0（ただし、a≠0、ｂは定数）の形にできます（※２）。この形を一次方程式と言います。今後、問題に「一次方程式を解け」と書いてあれば、それは、移項すれば ax+b=0 の形になるからそう言っているのです。ということは、ax+b=0 が解ければすべての一次方程式が解けるということが言えます。

ａｘ＋ｂ＝０（ａ≠０）
⇓　ｂを移項して
ａｘ＝－ｂ
⇓　ａ≠０なので、両辺をａで割る
ａｘ/ａ＝－ｂ/ａ
⇓
ｘ＝－ｂ/ａ　（← 根の公式）

根の公式を得られましたが、あまり嬉しくありません。理由は、ax＋b＝0 の形にするまでが大変だからです。特に、中学生は問題のための問題を解くから大変です。数学が嫌われてしまう理由の一つです。

「ａｘ＝－ｂ ⇒ ｘ＝－ｂ/ａ」は頻繁に使うので、自然と覚えられると思います。理屈は上に示した通りです。どのように変形するかの旨は、しばらくは述べるようにします。

例１．方程式 ３ｘ＋４＝１３ を解いてみます。

「解く」ということは、未知数ｘの正体を暴くということですから、結果的に「ｘ＝△」とできればいいのです。根の公式を導いたとき、ax+b=0 を
ax=-b に変形して a で割っているので、「＝０」の形に直すことなくax=-b 
の形に変形できればいいのです。そこで、

方法１）４を右辺に移項します。すると、
３ｘ＝１３－４
となり、右辺を計算すると、
３ｘ＝９
となります。よって、両辺を３で割ると
３ｘ/３＝９/３
となるので、約分して
ｘ＝３を得ます。
逆に、これを左辺３ｘ＋４のｘに当てはめて計算すると、
３・３＋４＝９＋４＝１３
となり、右辺と一致したので、ｘ＝３は方程式の根です。■

方法２） １３を左辺に移項すると、
３ｘ＋４－１３＝０
となり、左辺を整理すると
３ｘ－９＝０
となります。これを根の公式に代入すると、（このとき、a＝３，ｂ＝－9）
ｘ＝－(－９/３) ＝３．
逆に、これを左辺３ｘ＋４のｘに当てはめて計算すると、
３・３＋４＝９＋４＝１３
となり、右辺と一致したので、ｘ＝３は方程式の根です。■

これらは一つの解答例です（※３）。ここまで書けるようになると、数学するのもたのしいと思います。教科書や参考書もここまで書きません。省略して書くのがいいと思っているようです（※４）。▢

解説動画←クリックすれば見られます

※１　等式の性質：ａ＝ｂ（aとbが等しい）なら、次の①～④が成り立ち、かつ、その逆も成り立つ。
①同じ数を足しても等しい：ａ＋ｃ＝ｂ＋ｃ
②同じ数を引いても等しい：ａ－ｃ＝ｂ－ｃ
③同じ数を掛けても等しい：ａｃ＝ｂｃ　
④同じ数で割っても等しい：ａ/ｃ＝ｂ/ｃ（ただし、ｃ≠０）

※２　ａ≠０となっている理由：もしもａ＝０だったら、左辺が１次式でなくなるから、１次方程式ではありません。

※３　解答例の書き方：基本は、「何をするかを書く」「文章と主役の式とは行を分けて書く」の二つです。第三者に伝えるためには、自分がどのようにして解ったかを伝える必要があるので、「何をするかを書く」ことは必然で、第三者に見やすくするためには「文章と主役の式とを分けて書く」のも自然だと思います。
尚、式も文章です。詳しくは別の機会で。

※４　動画では省略して書いています。教科書や参考書くらいの解答だと思います。