偶関数と奇関数

偶関数の定義・・・f(-x)=f(x)
奇関数の定義・・・f(-x)=-f(x)
これは教科書にも記載されている有名な事実ですが、和や積についてはどうでしょう。
　F(x)=f(x)+g(x)と定義しておきます。
　① f(x)が偶関数、g(x)が偶関数のとき
　　　F(-x)=f(-x)+g(-x)
　　　　　 =f(x)+g(x)=F(x)
　　となるのでF(x)は偶関数となります。
　② f(x)が偶関数、g(x)が奇関数のとき
　　　F(-x)=f(-x)+g(-x)
                   =f(x)-g(x)
　　となるのでF(x)は偶関数とも奇関数ともいえません。
　③ f(x)が奇関数、g(x)が奇関数のとき
　　　F(-x)=f(-x)+g(-x)
                   =-f(x)-g(x)=-F(x)
　　となるのでF(x)は奇関数といえます。
同様にして、差や積、そして商についても考えることができます。

ちなみにf(-x)が計算できる関数f(x)については偶関数と奇関数の和で表されることはご存知でしょうか。
（proof）
　f(x)={f(x)+f(-x)}/2+{f(x)-f(-x)}/2
と変形できます。
そこで、g(x)={f(x)+f(-x)}/2、h(x)={f(x)-f(-x)}/2
とおくと
　g(-x)={f(-x)+f(x)}/2=g(x)、h(-x)={f(-x)-f(x)}/2=-h(x)
を満たすのでg(x)は偶関数、h(x)は奇関数といえる。
　ゆえに、f(x)は偶関数と奇関数の和で表すことができる。▫️