新しいUEFAチャンピオンズリーグのリーグ戦形式を考えてみる
UEFAチャンピオンズリーグ 新形式を発表
UEFAが新しいチャンピオンズリーグの大会形式を発表しました．
⚽ The #UEFAExCo has approved the final format and access list for UEFA club competitions from the 2024/25 season.
— UEFA (@UEFA) May 10, 2022
✅ No more access granted based on club coefficients.
✅ Eight matches instead of ten in the new league phase.
Full details: ⬇️#UCL #UEL #UECL
要約：
参加チーム数は32から36に変更
単一のリーグで各チーム少なくとも8試合(ホームアウェーそれぞれ4試合)を行う．それぞれの対戦相手は異なる．
上位8チームは決勝トーナメント進出．9位から24位がプレイオフを争う．
上記の条件で，なるべく公平な形式を考えてみました．「なるべく」なので証明の類はありません．
基本の発想
36チームで各8試合なので，4チーム×9グループ(便宜的にG1からG9)に分け，他のグループとのみ対戦することにしよう．
36チームは何らかの実力順で並んでいるものとし，他のグループ内の1位から4位とそれぞれ2試合ずつ均等に対戦することとしたい．
この条件で，各グループとグループ間の対戦の種類を均等にしてみたのがこちらです．
縦横軸はそれぞれホーム・アウェーチームのグループ名，数字は対戦パターン4種類です．たとえば，G2の4チームはホームでG1, G4, G6, G8からそれぞれ1チーム，アウェーでG3, G5, G7, G9からそれぞれ1チームと合計8試合対戦します．
縦横それぞれパターンが均等になっている(どの行・列も1から4が1回ずつ現れている)ことがわかります．
次にそれぞれの対戦パターンをどうするか？ですが，2通り作成してみました．細かいですが両方とも図示します．
対戦を図示したとき，左下斜め(パターン1)と右下斜め(パターン2)の2通りを作りました．これで条件の2個目(「他のグループ内の1位から4位とそれぞれ2試合ずつ均等に対戦する」)は満たせているはずです．
均一性などをどう評価しよう？
どちらの対戦表がいいのだろうか？を考えるために，グラフとして図示してみます．対戦チーム間に辺がある無向グラフとしてみます．
何となくパターン1の方がチーム間が近くなるように密集していて，パターン2には遠い組み合わせがあるように見えます．
すべての組み合わせに対する距離を計算してみます．自分自身との距離は0，直接対戦がある組み合わせは距離1，対戦相手の対戦相手は距離2，…と定義します．
すべての組み合わせに対する距離を集計しました．プログラムをさぼったので始点と終点を区別してしまっています(36^2=1296通り)．
グラフの図示からの直感通り，パターン1の方がチーム間の距離が近いことがわかりました．
不均一で総当たりでないリーグ戦では，対戦のないチーム間の実力差は対戦結果をつなげることで推測されます．
例：実力差が得失点差に直接現れると仮定し，試合結果がA 2-1 B，B 1-3 Cとします．AとCが対戦していない場合，もし対戦したとしたらCが1点分Aより強い，と考えます(Masseyのレーティング)．
この仮定の下ではチーム間の距離は平均的に小さいことが望ましいので，パターン1の方がよさそう，ということになります．
ひとまずの結論
「パターン1」の対戦表がよさそう．
これより良いものがあるかどうかは調べていません．