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数学まとめ | コホモロジカル不変量 (Cohomological Invariants)

こぎつね

◎はじめに

前提知識

「ネーター問題が肯定的 $${\implies}$$ガロア逆問題がすごく良い形で肯定的」

である (cf. [第27回整数論サマースクール 「構成的ガロア逆問題と不変体の有理性問題」, p. 39])。そのため、ネーター問題を考察することは重要だ。この note ではネーター問題と関わりのあるコホモロジカル不変量について、勉強した内容をまとめる。

コホモロジカル不変量とは Serre によって導入された概念で、その定義は抽象的で分かりにくいが、まさにその名の通り「コホモロジーを使った不変量」である。イメージで述べると、「不変量の圏論化」という感じで、とてもかっこいい概念だ。

数学的な内容については、次を参考にした:

  • [Ber, Chap. X, pp. 261-272]

  • [GMS, Part I]

  • [KMRT, §31, pp. 423-449]

ただし、

参考文献 (教科書)

  • [Ber] G. Berhuy, An introduction to Galois cohomology and its applications, London Mathematical Society Lecture Note Series 377, Cambridge University Press, 2010.

  • [GMS] S. Garibaldi, A. Merkurjev, J.-P. Serre, "Cohomological invariants in Galois cohomology", University Lecture Series 28. Providence, RI: American Mathematical Society (AMS), 2003.

  • [KMRT] M.-A. Knus, A.  M. Rost, J.-P. Tignol, "The book of involutions. With a preface by J. Tits", Colloquium Publications 44. Providence, RI: American Mathematical Society (AMS), 1998.

である。


§1. イントロダクション

ネーター問題との関連

ネーター問題$${\text{Noeth}_{G, k}}$$は、有限群$${G}$$と基礎体$${k}$$に関する問題で、次のように定義される:

$${\text{Noeth}_{G, k}}$$
有限群$${G}$$の体$${k}$$上の有理関数体$${k(x_{1}, \ldots ,x_{n})}$$への自然な作用 (左正則作用) を考える ($${n = #G}$$)。このとき、作用の不変体$${k(x_{1}, \ldots , x_{n})^{G}}$$は有理関数体だろうか？

冒頭でも少し述べた通り、ネーター問題はガロア逆問題と関連していて重要である。具体的には、

$$
\text{ネーター問題が肯定的}\\
\implies \text{生成的 }G\text{ 多項式が存在する}\\
\implies ガロア逆問題がとてもよく肯定的
$$

という強さ関係である。

次に、コホモロジカル不変量とネーター問題の関係について述べる。

Key Lemma (コホモロジカル不変量とネーター問題の関係)
$${G}$$を有限群、$${k}$$を基礎体とする。このとき、$${k}$$上の拡大体の圏から集合の圏への関手$${A = H^{1}(\_, G)}$$と$${k}$$上の拡大体の圏からアーベル群の圏への関手$${H = H^{d}(\_, C)}$$に関するコホモロジカル不変量$${\iota}$$で、正規化されており、0 でなく、かつ不分岐なものがあるとする。このとき、ネーター問題$${\text{Noeth}_{G, k}}$$は否定的。

ポイントは、

  1. 正規化

  2. 0 でない

  3. 不分岐

という３つの性質を満たすコホモロジカル不変量が１つでも存在したならば、ネーター問題が肯定的ではないという結論が導けることである。

　以下の部分は次のように構成される: まず、コホモロジカル不変量について定義する。次に、正規化、0 でない、不分岐という３つの性質について定義する。最後に、Berhuy の本を参考に、コホモロジカル不変量$${\iota}$$を１つ具体的に定義した後、$${\iota}$$が正規化されていること、0 でないこと、不分岐であることを証明する。

§2. コホモロジカル不変量の定義と３つの性質

定義 (コホモロジカル不変量)

$${k}$$を基礎体とする。このとき、関手

$$
A : {\text{Fields}/k} \to  \text{Sets},\quad H:  {\text{Fields}/k} \to \text{Ab}
$$

の間の射を、$${A}$$の$${H}$$に関するコホモロジカル不変量という。そして、

$$
\text{Inv}_{k}(A, H) := \{ A\text{ の }H\text{ に関するコホモロジカル不変量} \}
$$

と定める。これはアーベル群をなす。

注意 この note では$${C}$$を離散的$${\text{Gal}(\bar{k}/k)}$$加群とし、

$$
H=H^{d}(\_, C) :  {\text{Fields}/k} \to \text{Ab}; K \mapsto H^{d}(\text{Gal}(\bar{K}/K), C)
$$

のときを考える。

例 (コホモロジカル不変量)

例1) Arason 不変量 $${e_{3}}$$ (cf. [KMRT, VII, p.436-]): $${k}$$を基礎体とする。このとき、$${k}$$の拡大体$${F}$$に対して

$$
e_{3, F} : I^{3}F \to H^{3}(F, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z});\ [\langle \langle a, b, c \rangle\rangle] \mapsto (a) \cup (b) \cup (c)
$$

によって定めることで、コホモロジカル不変量$${e_{3} : I_{3} \to H^{3}(\_, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})}$$が定まる。これを、Arason不変量という。ただし、

$$
I^{3}(F) = \left\{ [q] \mid \text{条件} (\ast)\text{を満たす}\right\},
$$

条件($${\ast}$$): 二次形式$${q}$$が偶数次元を持ち、判別式が自明で、Hasse-Witt不変量が自明。

注目したいのは、偶数次元を持ち、判別式が自明で、Hasse-Witt不変量が自明な二次形式という代数的な対象を調べる不変量として、カップ積$${\cup}$$を使ってコホモロジカルな不変量が定められる点である。

例2) $${r}$$-fold フィスター形式の不変量 $${e_{n}}$$ (cf. [GMS, Chap. VI, §18, p. 43]): $${k}$$を基礎体とする。このとき、$${k}$$の拡大体$${K}$$と、$${K}$$上の Pfister 形式

$$
\phi = \langle 1, -\alpha _{1} \rangle \otimes  \cdots \langle 1, -\alpha _{n}\rangle = \langle \langle \alpha _{1}, \ldots , \alpha _{n} \rangle\rangle
$$

に対して

$$
e_{n} : \text{Pfister}(K) \to H^{3}(K, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z});\ [\phi] \mapsto (\alpha _{1}) \cup \cdots  \cup (\alpha _{n})
$$

と定めることで、コホモロジカル不変量$${e_{n} : \text{Pfister}(\_)\to H^{3}(\_, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})}$$が定まる。

例3) その他のコホモロジカル不変量:

  • [GMS] から:

[GMS]からのコホモロジカル不変量の例

イメージ (コホモロジカル不変量)

これら３つの例から受けるコホモロジカル不変量のイメージを挙げてみる。

  • 代数群$${G}$$ごとに本質的なコホモロジカル不変量というものがある。

  • カップ積$${\cup}$$によって不変量が構成される例が多い

論文 (コホモロジカル不変量に関する論文紹介)

  • Sivatski の論文から (中心的単純環):

    • [Siv19] A. S. Sivatski, "Degree four cohomological invariants for certain central simple algebras", J. Algebra 527, 337-347, (2019).

    • [Siv22] A. S. Sivatski, "Cohomological invariants for central simple algebras of degree 8 and exponent 2",  Manuscr. Math. 169, No. 1-2, 107-121, (2022).

  • MacDonald の論文から (Jordan代数):

    • [Mac08] M. L. MacDonald, "Cohomological invariants of odd degree Jordan algebras", Math Proc Cambridge Philos Soc, 145 295-303,  (2008).

    • [Mac10] M. L. MacDonald, “Cohomological invariants of Jordan algebras with frames”, J Algebra 323, No 6, 1665-1677,  (2010).

補足 [Mac08]では split Jordan 代数 $${J_{n}^{r}}$$トーサーのコホモロジカル不変量が

$$
\text{Inv}(\textbf{Aut}(J_{n}^{r})) \hookrightarrow \text{Inv}(\text{Pf}_{r}) \otimes\text{Inv}(\text{Quad}_{n, 1})
$$

とフィスター形式 (r-fold フィスター形式の isometry 同型類) と二次形式 ($${n}$$次元で判別式が1の同型類) のコホモロジカル不変量に分解される結果がおもしろい！ (cf. [Mac08, Cor. 3.6].)

定義 (３つの形容詞 「定数」「正規化」「不分岐」 とその関係)

以下、基礎体$${k}$$上の代数群$${G}$$と自然数$${d}$$をとり、関手

$$
A = H^{1}(\_, G) : {\text{Fields}/k} \to  \text{Sets},\quad H=H^{d}(\_, C):  {\text{Fields}/k} \to \text{Ab}
$$

に関するコホモロジカル不変量$${\iota \in \text{Inv}_{k}(G, C)}$$について考える。($${C}$$は$${k}$$上の離散的ガロア加群。)

定義 (定数/ constant)
$${\iota}$$が定数であるとは、ある$${[\alpha ] \in H^{d}(k, C)}$$があって、すべての体拡大$${K/k}$$と$${[\xi ] \in H^{d}(k, C)}$$に対して、

$$
\iota _{K}([\xi ]) = \text{Res} ([\alpha])
$$

が成り立つときをいう。

注意 次が成り立つ:

$$
H^{d}(k, C) \hookrightarrow \text{Inv}_{k}(G, C).
$$

すなわち、コホモロジカル不変量からなる群$${ \text{Inv}_{k}(G, C)}$$には$${C}$$係数のガロアコホモロジー群$${/k}$$がそっくりそのまま入っている。イメージは、$${ \text{Inv}_{k}(G, C)}$$をエスカレーターとすれば、$${H^{d}(k, C) }$$は階段がまだ動いていない基底部分である。

定義 (正規化されている/ normalized)
$${\iota}$$が正規化されているとは、各体拡大$${K/k}$$に対して、

$$
\iota _{K} : \bullet \text{ (base point)} \mapsto 0
$$

であるときをいう。

注意 気持ちとしては、$${H^{d}(K, C)}$$の方で並行移動されただけのものはカウントしたくないのである。

注意 不分岐なコホモロジカル不変量からなる$${\text{Inv}^{d}(G, C)}$$の部分群を$${\text{Inv}^{d}(G,C)_{\text{norm}}}$$とかけば、次が成り立つ:

$$
\text{Inv}^{d}(G, C)= H^{d}(k, C) \oplus\text{Inv}^{d}(G, C)_{\text{norm}}.
$$

定義 (不分岐/ unramified)
$${\iota}$$が不分岐であるとは、任意の$${K/k \in \text{Fields}/k}$$と任意の$${K}$$上の離散付値$${v}$$に対して、

$$
H ^{d}(K, C) \subset \text{Ker}(\partial _{v})
$$

が成り立つときをいう。ただし, $${\partial _{v}:H^{d}(K, C)\to H^{d-1}(\kappa (v), C(-1))}$$は residue 写像 (cf. [GMS, p. 19, p. 87], [Ber, p. 269])。

例 定数のコホモロジカル不変量は不分岐である (cf. [Mer, §4, p. 703])。

命題 (剰余写像に関する重要な性質)
(1) 自然数$${n \in \mathbb{N}}$$に対し、residue 写像 $${\partial _{v}:H^{1}(K, \mu _{n})\to H^{0}(\kappa (v), \mathbb{Z}/n\mathbb{Z})}$$は

$$
(x)_{n} \mapsto v(x)
$$

である。([GMS, Propの証明中, p. 18], [Ber, §X.25, p. 263].)
(2)residue 写像と Cup product ($${\cdot }$$で表記) との関係は、次で与えられる ([GMS, Exr. 7.12, p. 18]): $${\alpha \in H^{a}(K, A),\ H^{b}(K, B)}$$に対して、

$$
\partial (\alpha \cdot \beta ) = \partial (\alpha )\cdot\beta + (-1)^{a} \alpha \cdot \partial (\beta ) + \partial (\alpha )\cdot \partial (\beta)\cdot(-1)_{n}.
$$

(3) $${u_{1}, \ldots , u_{d} \in \mathcal{O}_{v}^{\times }}$$なら、

$$
\partial _{v} \left( (u_{1})\cdot (u_{2})\cdots (u_{n-1})\cdot(u_{n})\right) = 0
$$

([Ber, Lem. X.26.7, p. 269]).

疑問 不分岐ブラウアー群$${\text{Br}_{\text{nr}}(k)}$$ (cf. [Gille & Szamuely, p. 192]) と$${\text{Inv}^{2}_{\text{nr}}(A, C)}$$の関係は？

答え $${G = G_{m}}$$ と代数群が multiplicative 代数群であるとき、$${\text{Inv}^{2}_{\text{nr}}(G)}$$ が $${\text{Br}_{\text{nr}}(K/k)}$$ を含む。($${d = 2}$$ のとき、$${C = \mathbb{Q}/\mathbb{Z}}$$ であることに注意せよ。) よって、不分岐ブラウアー群の元は"定値"なコホモロジカル不変量という感じである。

注意 不分岐ブラウアー群Br_{nr}(k)については、以下を参照;  [HKY16], [HKY20], [HKK13], [谷本 祥, 『不分岐 BRAUER 群と不変体の有理性問題』, 第27回整数論サマースクール報告集]。

補足 コホモロジカル不変量に関する性質である定数、正規化、不分岐の三つの関係は、次の図で表される:

補足 (Inv^{d}(G)の計算の研究について)

この部分では、$${d}$$次コホモロジカル不変量を考えるときのガロア加群を１番スタンダードな$${C = \mathbb{Q}/\mathbb{Z}(d-1)}$$とする。この加群は、例えば$${d=2}$$のとき

$$
\mathbb{Q}/\mathbb{Z}(1) =\bigcup _{n = 1}^{\infty} \{ \xi \in \bar{k} \mid \xi \text{ は } 1 \text{ の } n \text{ 乗根} \}
$$

である。

  • $${d = 1}$$ のとき、$${\text{Hom}_{\Gamma}(\pi _{0}(G_{\text{sep}}), C)\cong \text{Inv}_{k}^{2}(G, C)}$$. かなり代数群の形が分かれば、コホモロジカル不変量の方もわかるといった感じ。左辺は指標群。([KMRT, Prop.(31.15), p. 430 ])

  • $${d = 2}$$ のとき、$${\text{Pic (G)}\cong \text{Inv}_{k}^{2}(G, C)}$$. 完全に代数幾何的解釈OK。([KMRT, Prop.(31.19), p. 431 ])

  • $${d = 3}$$のとき、

    • $${G}$$ が simple simply connected なら、M. Rostによって巡回群であることが示されている: $${ \mathbb{Z}/n _{G}\mathbb{Z} \cong \text{Inv}_{k}^{2}(G, C)}$$. ([GMS, Part II]; [KMRT, VII, Prop. (31.40), p. 436] cf. "Rost invariant")

    • $${G}$$ が semi-simple なら、ある完全系列の一部として記述される。(cf. A. Merkurjev, Degree three cohomological invariants of semisimple groups, J. Eur. Math. Soc. (JEMS), 18 (2), 657–680 (2016))

補足 いろいろと研究発展中のようである。ガロア加群$${C}$$は最初にあげたスタンダードなものとは限らないとする。このとき、以下のような論文がある:

  • [BR14] H. Bermudez, A. Ruozzi, "Degree 3 cohomological invariants of split simple groups that are neither simply connected nor adjoint", J. Ramanujan Math. Soc., 29, 4, 465-481 (2014).

  • [Mer16] A.  Merkurjev, "Unramified degree three invariants of reductive groups", Adv. Math. 293, 697-719 (2016).

  • [LM16] D. Laackman, A. Merkurjev, "Degree three cohomological invariants of reductive groups", Comment. Math. Helv., 91, 3, 493-518 (2016).

  • [Mer18] A. Merkurjev, "Unramified degree three invariants for reductive groups of type A", J. Algebra 502, 49-60 (2018).

  • [Bae19] S. Baek, "Degree three invariants for semisimple groups of types B, C, and D", Adv. Math. 351, 195-235 (2019).

例えば[Mer16] では、まず$${\text{Inv}_{k}^{d}(G)}$$ を素数$${p}$$で分解する。そして、reductive な代数群は奇素数$${p}$$での3次不分岐コホモロジカル不変量は0であることを示している。

§3. Berhuyの本にある不分岐なコホモロジカル不変量

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