リー代数1-1.1
$${この\mathrm{Note}は,\mathrm{Introduction}}$$$${\mathrm{to}}$$$${\mathrm{Lie}}$$$${\mathrm{Algebras}}$$$${\mathrm{and}}$$$${\mathrm{Representation}}$$$${\mathrm{Theory}}$$$${の1.1}$$$${\mathrm{The}}$$$${\mathrm{notion}}$$$${\mathrm{of}}$$$${\mathrm{Lie}}$$$${\mathrm{algebra}}$$$${をまとめたものです.}$$
$${LaTeXの練習も兼ねて,ぼちぼち書いていこうというものです.}$$
1.Lie代数の定義
$${\mathbf{Def}\mathbf{1.1}(\mathrm{Lie}代数)}$$
$${\mathfrak{g}を体}$$$${\mathbb{F}上の線型空間とする.}$$
$${\mathfrak{g}の演算}$$$${[\cdot,\cdot]:\mathfrak{g}\times\mathfrak{g}\to\mathfrak{g}が,以下の３条件(L1)\sim(L3)を満たすとき,}$$
$${\mathfrak{g}を体}$$$${\mathbb{F}上の\mathrm{Lie}代数とよび,演算}$$$${[\cdot,\cdot]をかっこ積とよぶ.}$$
$${(L1)（双線型性）}$$$${演算[\cdot,\cdot]:\mathfrak{g}\times\mathfrak{g}\to\mathfrak{g}は,双線型写像である.}$$
$${(L2)（交代性）}$$$${すべてのx\in \mathfrak{g}に対し,[x,x]=0}$$
$${(L3)（\mathrm{Jacobi}律）}$$$${すべてのx,y,z\in \mathfrak{g}に対し,}$$
$$
[x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0
$$
$${・定義に関する補足 交代性について}$$
$${(L2)を交代性とよぶのは言い換えが理由である.}$$
$${(L2')}$$$${すべてのx,yに対して,[y,x]=-[x,y]}$$
$${とすると,\mathbb{F}の標数が2でないならば,}$$
$${体}$$$${\mathbb{F}上の\mathrm{Lie}代数\mathfrak{g}において,(L2)\Longleftrightarrow(L2')となるからである.}$$
$${(\implies)}$$$${ x,y\in}$$$${\mathfrak{g}を任意にとる.}$$$${[x+y,x+y]を計算してみよう.}$$
$${まず,(L1)の双線形性より,}$$
$$
[x+y,x+y]=[x,x]+[x,y]+[y,x]+[y,y]
$$
$${(L2)より,z\in}$$$${\mathfrak{g}について[z,z]=0なので,上式と合わせると,}$$
$$
0=[x,y]+[y,x]
$$
$${従って,}$$
$$
[x,y]=-[y,x]
$$
$${(\impliedby)}$$$${x\in \mathfrak{g}を任意にとると,(L2')より,}$$
$$
[x,x]=-[x,x]
$$
$${つまり、}$$
$$
2[x,x]=0
$$
$${\mathbb{F}の標数は2ではないので,2\ne0である.}$$
$${よって,両辺を2で割って,[x,x]=0がわかる.}$$
$${\Box}$$
2.Lie代数の準同型,同型
$${\mathbf{Def}}$$$${\mathbf{1.2}}$$$${(\mathrm{Lie}代数の準同型写像)}$$
$${\mathfrak{g}と\mathfrak{h}を体}$$$${\mathbb{F}上の\mathrm{Lie}代数とする.}$$
$${写像\varphi:\mathfrak{g}\to\mathfrak{h}が\mathrm{Lie}代数の準同型写像であるとは,}$$
$${線型写像\varphiであって,すべてのx,y\in \mathfrak{g}に対し,}$$
$${[\varphi(x),\varphi(y)]=\varphi([x,y]) が成り立つものをいう.}$$
$${\mathbf{Def}}$$$${\mathbf{1.3}}$$$${(\mathrm{Lie}代数の同型写像と同型)}$$
$${\mathfrak{g}と\mathfrak{h}を体}$$$${\mathbb{F}上の\mathrm{Lie}代数とする.}$$
$${写像\varphi:\mathfrak{g}\to\mathfrak{h}が\mathrm{Lie}代数の同型写像であるとは,}$$
$${線型同型写像\varphiであって,すべてのx,y\in \mathfrak{g}に対し,}$$
$${[\varphi(x),\varphi(y)]=\varphi([x,y]) が成り立つものをいう.}$$
$${特に,2つの\mathrm{Lie}代数}$$$${\mathfrak{g}と\mathfrak{h}の間に\mathrm{Lie}代数の同型写像が存在するとき,}$$
$${\mathfrak{g}と\mathfrak{h}は(\mathrm{Lie}代数として)同型であるといい,\mathfrak{g}\cong\mathfrak{h}とかく.}$$
3.部分Lie代数
$${\mathbf{Def}}$$$${\mathbf{1.4}}$$$${(部分\mathrm{Lie}代数)}$$
$${\mathfrak{g}を体}$$$${\mathbb{F}上の\mathrm{Lie}代数とする.}$$
$${\mathfrak{h}(\sub \mathfrak{g})が\mathfrak{g}の部分\mathrm{Lie}代数であるとは,\mathfrak{h}は\mathfrak{g}の部分線型空間であって,}$$
$${すべてのx,y\in \mathfrak{h}に対し,[x,y]\in \mathfrak{h}となるものをいう.}$$
$${特に,xが\mathfrak{g}の0でない元のとき,}$$
$${\mathbb{F}x:=\set{kx\in\mathfrak{g}|k\in\mathbb{F}}は１次元の部分\mathrm{Lie}代数となります.}$$