リー代数1-1.2
$${この\mathrm{Note}は,\mathrm{Introduction}}$$$${\mathrm{to}}$$$${\mathrm{Lie}}$$$${\mathrm{Algebras}}$$$${\mathrm{and}}$$$${\mathrm{Representation}}$$$${\mathrm{Theory}}$$$${の1.2}$$$${\mathrm{Linear}}$$$${\mathrm{Lie}}$$$${\mathrm{algebra}}$$$${をまとめたものです.}$$
$${非退化対称(歪対称)双線型形式による古典\mathrm{Lie}代数の特徴づけは,}$$
$${書かないでおきました.別でまとめようと思います.}$$
1.一般線型Lie代数
$${Vを体}$$$${\mathbb{F}上の有限次元線型空間とする.}$$
$${このとき,\mathrm{End}(V):=\mathrm{Hom}(V,V)=\set{f:V\to V|fは線型}}$$
$${と定めると,\mathrm{End}(V)も線型空間で,n:=\dim Vとおくと,}$$
$${\dim \mathrm{End}(V)=n^2 となるのでした.}$$
$${\mathbf{Def\,2.1}\,(一般線型\mathrm{Lie}代数)}$$
$${f,g\in \mathrm{End}(V)に対して,[f,g]:=f\circ g-g\circ f と定めると,}$$
$${\mathrm{End}(V)は\mathrm{Lie}代数となる.}$$
$${このVから定まる\mathrm{Lie}代数を\mathfrak{gl}(V)と書き,一般線型\mathrm{Lie}代数という.}$$
$${特に,V=\mathbb{F}^nのときは,Vの基底をひとつ固定して}$$
$${表現行列を考えることで,\mathfrak{gl}_n(\mathbb{F})も\mathrm{Lie} 代数であることが分かる.}$$
$${\mathbf{Def\,2.2}\,(線型\mathrm{Lie}代数)}$$
$${一般線型\mathrm{Lie}代数\mathfrak{gl}(V)の部分\mathrm{Lie}代数を線型\mathrm{Lie}代数という.}$$
$${つまり,線型\mathrm{Lie}代数は行列で表される\mathrm{Lie}代数というわけである.}$$
2.古典型Lie代数
$${さて,線型\mathrm{Lie}代数の具体例を見ていこう.}$$
$${\mathfrak{gl}_n(\mathbb{F})の標準的な基底 E_{ij}のかっこ積を計算する.}$$
$${\mathbf{Remark\,2.1}}$$
$${E_{ij}E_{kl}=\delta_{jk}E_{il}}$$
$${[E_{ij},E_{kl}]=\delta_{jk}E_{il}-\delta_{li}E_{kj} }$$
$${\mathbf{Def\,2.3}\,(特殊線型\mathrm{Lie}代数)}$$
$${\mathfrak{sl}_n(\mathbb{F}):=\set{X\in \mathfrak{gl}_n(\mathbb{F})|\mathrm{Tr}(X)=0}を特殊線型\mathrm{Lie}代数という.}$$
$${\mathbf{Remark\,2.2}}$$
$${\mathfrak{sl}_n(\mathbb{F})は,\mathfrak{gl}_n(\mathbb{F})の部分\mathrm{Lie}代数であり,\dim\mathfrak{sl}_n(\mathbb{F})=n^2-1.}$$
$${\lt proof\gt X,Y\in \mathfrak{sl}_n(\mathbb{F})を任意にとる. このとき, }$$
$${\mathrm{Tr}([X,Y])=\mathrm{Tr}(XY-YX)=\mathrm{Tr}(XY)-\mathrm{Tr}(YX)}$$
$${であり,\mathrm{Tr}(XY)=\mathrm{Tr}(YX)なので,\mathrm{Tr}([X,Y])=0}$$
$${すなわち,[X,Y]\in \mathfrak{sl}_n(\mathbb{F})である.}$$
$${\mathfrak{sl}_n(\mathbb{F})は\mathfrak{gl}_n(\mathbb{F})の部分線型空間なので,}$$
$${\mathfrak{sl}_n(\mathbb{F})は\mathfrak{gl}_n(\mathbb{F})の部分\mathrm{Lie}代数である.}$$
$${\mathrm{Tr}:\mathfrak{gl}_n(\mathbb{F})\to\Complexは線型写像で,\mathrm{Ker(Tr)}=\mathfrak{sl}_n(\mathbb{F})なので,}$$
$${次元定理 \dim\mathfrak{gl}_n(\mathbb{F})=\dim\mathrm{Ker(Tr)}+\dim\mathrm{Im(Tr)} より}$$
$${n^2=\dim\mathfrak{sl}_n(\mathbb{F})+1}$$ $${\therefore \dim\mathfrak{sl}_n(\mathbb{F})=n^2-1}$$ $${\Box}$$
$${また,\mathfrak{sl}_n(\mathbb{F})の標準的な基底を書くと,}$$
$${\set{E_{11}-E_{nn},\cdots,E_{n-1n-1}-E_{nn},E_{12},\cdots,E_{1n},E_{21},\cdots,E_{nn-1}}}$$
$${である.}$$
$${特に,\mathfrak{sl}_{n+1} (\mathbb{F})(n\geq1)を\mathrm{A}_{n}型\mathrm{Lie}代数という.}$$
$${また,線型写像に対してトレースは定義できるので,}$$
$${\frak{sl}(V):=\set{f\in \frak{gl}(V)|\rm{Tr}(f)=0}と定め,これも一般線型\rm{Lie}代数という.}$$
$${\bf{Prop\,2.1}}$$
$${J\in \frak{gl}_n(\mathbb{F})を1つ固定する.}$$
$${Jに対し,\,\frak{g}_J:=\set{X\in\frak{gl}_n(\mathbb{F})|\,\raisebox{0.5em}{$t$}XJ+JX=0}}$$
$${このとき,\frak{g}_Jは線型\rm{Lie}代数である.}$$
$${\lt proof\gt まず,\frak{g}_Jが部分線型空間であることを示す.}$$
$${X,Y\in\frak{g}_{J}とすると,}$$
$${\kern7em\raisebox{0.5em}{$t$}(X+Y)J=\raisebox{0.5em}{$t$}XJ+\raisebox{0.5em}{$t$}YJ}$$
$${\kern12em =(-JX)+(-JY)}$$
$${\kern12em =-J(X+Y)}$$
$${よって,X+Y\in \frak{g}_{J}である.}$$
$${k\in\mathbb{F},X\in\frak{g}_{J}とすると,}$$
$${\raisebox{0.5em}{$t$}(kX)J=k\,\raisebox{0.5em}{$t$}XJ=k(-JX)=-J(kX)}$$
$${よって,kX\in \frak{g}_{J}である.\,ゆえに,\frak{g}_{J}は部分線型空間である.}$$
$${次に,\frak{g}_Jはかっこ積で閉じていることを示す.}$$
$${X,Y\in\frak{g}_{J}とすると,}$$
$${\kern6em\raisebox{0.5em}{$t$}[X,Y]J=\,\raisebox{0.5em}{$t$}(XY-YX)J}$$
$${\kern10em=(\raisebox{0.5em}{$t$}(XY)-\raisebox{0.5em}{$t$}(YX))J}$$
$${\kern10em=(\raisebox{0.5em}{$t$}Y\raisebox{0.5em}{$t$}X-\raisebox{0.5em}{$t$}X\raisebox{0.5em}{$t$}Y)J}$$
$${\kern10em=\raisebox{0.5em}{$t$}Y\raisebox{0.5em}{$t$}XJ-\raisebox{0.5em}{$t$}X\raisebox{0.5em}{$t$}YJ}$$
$${\kern10em=\raisebox{0.5em}{$t$}Y(\raisebox{0.5em}{$t$}XJ)-\raisebox{0.5em}{$t$}X(\raisebox{0.5em}{$t$}YJ)}$$
$${\kern10em=\raisebox{0.5em}{$t$}Y(-JX)-\raisebox{0.5em}{$t$}X(-JY)}$$
$${\kern10em=-(\raisebox{0.5em}{$t$}YJ)X+(\raisebox{0.5em}{$t$}XJ)Y}$$
$${\kern10em=-(JY)X+(-JX)Y}$$
$${\kern10em=JYX-JXY}$$
$${\kern10em=-J(XY-YX)}$$
$${\kern10em=-J[X,Y]}$$
$${よって,[X,Y]\in \frak{g}_{J}である.\,ゆえに,\frak{g}_{J}はかっこ積で閉じている.}$$
$${したがって,\frak{g}_Jは線型\rm{Lie}代数である. \Box}$$
$${以下,\mathbb{F}の標数は2でないとする.}$$
$${続いて,シンプレクティック\rm{Lie}代数を定義しよう.}$$
$${\mathbf{Def\,2.4\,}(シンプレクティック\rm{Lie}代数)}$$
$${J:=\begin{pmatrix} O&I_{n}\\-I_{n}&O \end{pmatrix}とおく.}$$
$${\frak{sp}_{2n}(\mathbb{F}):=\set{X\in\frak{gl}_{2n}(\mathbb{F})|\,\raisebox{0.5em}{$t$}XJ+JX=0}}$$
$${をシンプレクティック\rm{Lie}代数という}$$
$${\mathbf{Prop\,2.1}より,\frak{sp}_{2n} (\mathbb{F})は線型\rm{Lie}代数である.}$$
$${\raisebox{0.5em}{$t$}XJ+JX=0はXをブロック分割することで}$$
$${次のように言い換えられる}$$
$${\bf{Remark\,2.3}}$$
$${X=\begin{pmatrix}X_{11}&X_{12}\\X_{21}&X_{22}\end{pmatrix},\,X_{ij}\in\frak{gl}_n(\mathbb{F})\,とブロック分割する.}$$
$${このとき,}$$
$${\raisebox{0.5em}{$t$}XJ+JX=0\Longleftrightarrow \,\raisebox{0.5em}{$t$}X_{11}=-X_{22},\raisebox{0.5em}{$t$}X_{12}=X_{12},\raisebox{0.5em}{$t$}X_{21}=X_{21}}$$
$${\lt proof\gt}$$
$${\raisebox{0.5em}{$t$}XJ=\begin{pmatrix}-{\raisebox{0.5em}{$t$}X_{21}}&{\raisebox{0.5em}{$t$}X_{11}}\\-{\raisebox{0.5em}{$t$}X_{22}}&{\raisebox{0.5em}{$t$}X_{12}}\end{pmatrix},JX=\begin{pmatrix}X_{21}&X_{22}\\-X_{11}&-X_{12}\end{pmatrix}より,}$$
$${\raisebox{0.5em}{$t$}X_{11}=-X_{22},\raisebox{0.5em}{$t$}X_{12}=X_{12},\raisebox{0.5em}{$t$}X_{21}=X_{21}\qquad\Box}$$
$${\mathbf{Remark\,2.3}より、\frak{sp}_{2n}(\mathbb{F})の標準的な基底がとして次が分かる.}$$
$${\raisebox{0.5em}{$t$}X_{11}=-X_{22}より,\set{E_{ij}-E_{n+j\,n+i}|1\leq i,j\leq n}(全部でn^2本)}$$
$${\raisebox{0.5em}{$t$}X_{12}=X_{12}より,}$$
$${\set{E_{i\,n+j}+E_{j\,n+i}|1\leq i\lt j\leq n}\cup\set{E_{i\,n+i}|1\leq i\leq n}}$$
$${(全部で\dfrac{1}{2}n(n+1)本)}$$
$${\raisebox{0.5em}{$t$}X_{21}=X_{21}より,}$$
$${\set{E_{n+i\,j}+E_{n+j\,i}|1\leq i\lt j\leq n}\cup\set{E_{n+i\,i}|1\leq i\leq n}}$$
$${(同様に,全部で{1\over2}n(n+1)本)}$$
$${したがって,\dim \frak{sp}_{2n}(\mathbb{F})=2n^2 +n\,とわかる.}$$
$${特に,\frak{sp}_{2n} (\mathbb{F})(n\geq1)を\mathrm{C}_n型\rm{Lie}代数という.}$$
$${次は,直交\rm{Lie}代数を定義します.}$$
$${\mathbf{Def\,2.5}\,(直交\rm{Lie}代数)}$$
$${\,n\geq1とする.}$$
$${(1)\,J:=\begin{pmatrix} 1&O&O\\O&O&I_{n}\\O&I_{n}&O \end{pmatrix}とおく.}$$
$${\kern3em\frak{o}_{2n+1}(\mathbb{F}):=\set{X\in\frak{gl}_{2n}(\mathbb{F})|\,\raisebox{0.5em}{$t$}XJ+JX=0}}$$
$${を\mathrm{B}_n型\rm{Lie}代数という}$$
$${(2)\,J:=\begin{pmatrix} O&I_{n}\\I_{n}&O \end{pmatrix}とおく.}$$
$${\kern3em\frak{o}_{2n}(\mathbb{F}):=\set{X\in\frak{gl}_{2n}(\mathbb{F})|\,\raisebox{0.5em}{$t$}XJ+JX=0}}$$
$${を\mathrm{D}_n型\rm{Lie}代数という}$$
$${m\geq2に対し,\frak{o}_{m}(\mathbb{F})を直交\rm{Lie}代数という.}$$
$${\mathbf{Prop\,2.1}より,\frak{o}_{2n} (\mathbb{F})は線型\rm{Lie}代数である.}$$
$${\frak{o}_{n}(\mathbb{F}):=\set{X\in\frak{gl}_{n}(\mathbb{F})|\,\raisebox{0.5em}{$t$}X+X=0}\,を直交\rm{Lie}代数というのが一般的な}$$
$${気がするが,上のように定義したのは,mの偶奇で直交\rm{Lie}代数の様相が}$$
$${異なる(型が違う)ことを分かりやすくするためである.}$$
$${\bf{Remark\,2.4}}$$
$${(1)\,X:=\begin{pmatrix} X_{11}&X_{12}&X_{13}\\X_{21}&X_{22}&X_{23}\\X_{31}&X_{32}&X_{33} \end{pmatrix}とブロック分割する.}$$
$${X\in\frak{o}_{2n+1}(\mathbb{F})\Longleftrightarrow X_{11}=0,X_{12}=-\raisebox{0.5em}{$t$}X_{31},X_{13}=-\raisebox{0.5em}{$t$}X_{21},}$$
$${X_{22}=-\raisebox{0.5em}{$t$}X_{33},X_{23}=-\raisebox{0.5em}{$t$}X_{23},X_{32}=-\raisebox{0.5em}{$t$}X_{32}}$$
$${(2)\,X:=\begin{pmatrix} X_{11}&X_{12}\\X_{21}&X_{22} \end{pmatrix}とブロック分割する.}$$
$${X\in\frak{o}_{2n}(\mathbb{F})\Longleftrightarrow X_{11}=-\raisebox{0.5em}{$t$}X_{22},X_{12}=-\raisebox{0.5em}{$t$}X_{12},X_{21}=-\raisebox{0.5em}{$t$}X_{21}}$$
$${\mathbf{Remark\,2.4}より、\frak{o}_{2n+1}(\mathbb{F}),\frak{o}_{2n}(\mathbb{F})の標準的な基底がとして次が分かる.}$$
$${\frak{o}_{2n+1}(\mathbb{F})の場合}$$
$${\set{E_{1\,1+i}-E_{1+n+i\,1},E_{1\,1+n+i}-E_{1+i\,1}|1\leq i\leq n}}$$
$${\set{E_{1+i\,1+j}-E_{1+n+i\,1+n+j}|1\leq i,j\leq n}}$$
$${\set{E_{1+i\,1+n+j}-E_{1+j\,1+n+i}|1\leq i\lt j\leq n}}$$
$${\set{E_{1+n+i\,1+j}-E_{1+n+j\,1+i}|1\leq i\lt j\leq n}}$$
$${基底は全部で,n+n+n^2+n(n-1)=2n^2+n\,本となる.}$$
$${\frak{o}_{2n}(\mathbb{F})の場合}$$
$${\set{E_{ij}-E_{n+i\,n+j}|1\leq i,j\leq n}}$$
$${\set{E_{i\,n+j}-E_{j\,n+i}|1\leq i\lt j\leq n}}$$
$${\set{E_{n+i\,j}-E_{n+j\,i}|1\leq i\lt j\leq n}}$$
$${基底は全部で,n^2+n(n-1)=2n^2-n\,本となる.}$$
$${\bf{Remark\,2.5}}$$
$${\dim\frak{o}_{2n+1}(\mathbb{F})=2n^2+n,\,\dim\frak{o}_{2n}(\mathbb{F})=2n^2-n}$$
$${\mathbf{Def\,2.6}\,(古典型\rm{Lie}代数)}$$
$${\mathrm{A}_n,\mathrm{B}_n,\mathrm{C}_n,\mathrm{D}_n型の\rm{Lie}代数を古典型\rm{Lie}代数という.}$$
3.その他の線型Lie代数の例
$${\mathbf{Def\,2.7}\,(\frak{t}_{n}(\mathbb{F}),\frak{n}_{n}(\mathbb{F}),\frak{d}_{n}(\mathbb{F}))}$$
$${\frak{t}_{n}(\mathbb{F}):=\set{X\in \frak{g}_{n}(\mathbb{F})|i\gt jのとき,x_{ij}=0}\,(上三角行列の全体)}$$
$${\frak{n}_{n}(\mathbb{F}):=\set{X\in \frak{g}_{n}(\mathbb{F})|i\ge jのとき,x_{ij}=0}\,(狭義上三角行列の全体)}$$
$${\frak{d}_{n}(\mathbb{F}):=\set{X\in \frak{g}_{n}(\mathbb{F})|i\neq jのとき,x_{ij}=0}\,(対角行列の全体)}$$
$${と定める.}$$
$${(狭義)上三角行列は積で閉じているので,かっこ積でも閉じていて,}$$
$${対角行列は可換なので次が分かる.}$$
$${\bf{Remark\,2.6}}$$
$${\frak{t}_{n}(\mathbb{F}),\frak{n}_{n}(\mathbb{F}),\frak{d}_{n}(\mathbb{F})は線型\rm{Lie}代数である.}$$
$${\frak{t}_{n}(\mathbb{F})の標準的な基底として,\set{E_{ij}|1\le i\le j\le n}}$$
$${\frak{n}_{n}(\mathbb{F})の標準的な基底として,\set{E_{ij}|1\le i\lt j\le n}}$$
$${\frak{d}_{n}(\mathbb{F})の標準的な基底として,\set{E_{ii}|1\le i\le n}がとれる.}$$
$${\bf{Remark\,2.7}}$$
$${\dim\frak{t}_{n}(\mathbb{F})=\dfrac{1}{2}n(n+1),\dim\frak{n}_{n}(\mathbb{F})=\dfrac{1}{2}n(n-1)}$$
$${\dim\frak{d}_{n}(\mathbb{F})=n}$$
$${さらに,線型空間の直和として,\,\frak{t}_{n}(\mathbb{F})=\frak{n}_{n}(\mathbb{F})\oplus\frak{d}_{n}(\mathbb{F})}$$
$${\mathbf{Def\,2.7}\,(かっこ積で生成される空間)}$$
$${\frak{g}を\rm{Lie}代数とし,\frak{h,k}を\frak{g}の部分\rm{Lie}代数とする.}$$
$${このとき,[\frak{h,k}]:=\mathrm{Span}(\set{[x,y]|x\in\frak{h},y\in\frak{k}})と定め,}$$
$${[\frak{h,k}]をかっこ積で生成される部分空間という.}$$
$${[\frak{h,k}]が\rm{Lie}代数になるとは限らないことに気を付けよう.}$$
$${\bf{Remark\,2.8}}$$
$${[\frak{d}_{n}(\mathbb{F}),\frak{n}_{n}(\mathbb{F})]=\frak{n}_{n}(\mathbb{F}),\,[\frak{t}_{n}(\mathbb{F}),\frak{t}_{n}(\mathbb{F})]=\frak{n}_{n}(\mathbb{F})}$$
$${\lt proof\gt\,まず,対角行列と狭義上三角行列の積は,}$$
$${狭義上三角行列となるので,[\frak{d}_{n}(\mathbb{F}),\frak{n}_{n}(\mathbb{F})]\sub\frak{n}_{n}(\mathbb{F})}$$
$${また,i\ne jのとき,[E_{ii},E_{ij}]=E_{ij}より,\frak{n}_{n}(\mathbb{F})\sub[\frak{d}_{n}(\mathbb{F}),\frak{n}_{n}(\mathbb{F})]}$$
$${よって,[\frak{d}_{n}(\mathbb{F}),\frak{n}_{n}(\mathbb{F})]=\frak{n}_{n}(\mathbb{F})}$$
$${次に,上三角行列どうしの積は上三角であり,}$$
$${X,Yを上三角行列とすると,}$$
$${([X,Y])_{ii}=(XY-YX)_{ii}=(XY)_{ii}-(YX)_{ii}=x_{i}y_{i}-y_{i}x_{i}=0}$$
$${より,対角成分はすべて0であることがわかる.}$$
$${よって,[\frak{t}_{n}(\mathbb{F}),\frak{t}_{n}(\mathbb{F})]\sub\frak{n}_{n}(\mathbb{F})}$$
$${また,i\ne jのとき,[E_{ii},E_{ij}]=E_{ij}より,\frak{n}_{n}(\mathbb{F})\sub[\frak{t}_{n}(\mathbb{F}),\frak{t}_{n}(\mathbb{F})]}$$
$${よって,[\frak{t}_{n}(\mathbb{F}),\frak{t}_{n}(\mathbb{F})]=\frak{n}_{n}(\mathbb{F})\kern3em\Box}$$