第５章　物理

力学データベース。

為近和彦先生の授業のエッセンスを 取り入れております。

絵を入れたら、反完成から 本当の完成へ。

このデータベースは 為近和彦先生の 授業の 補習に 使ってください。

以下、目次は、物理のエッセンス、浜島清利。河合出版を 真似しました。

目次

１．速度と加速度

「速度と加速度」 「（t、v）グラフ」 「等加速度直線運動」 「落下の運動」 「相対速度、相対化速度」

２．力のつりあい

「力の図示」 「力のつりあい」 「摩擦力」 「弾性力」

３．剛体のつりあい

「力のモーメント」 「剛体のつりあい」 「重心」

４．運動の法則

「作用、反作用の法則」 「運動方程式」 「物体の運動方程式」 「慣性力」

５．エネルギー

「仕事」 「位置エネルギー」 「力学的エネルギー保存則」 「一般的なエネルギー保存則」

６．運動量

「力積と運動量」 「運動量保存則」 「保存則の威力」

７．いろいろな運動

「等速円運動」 「鉛直面内の円運動」 「単振動の特徴」 「単振動の物理」 「万有引力」 「ケプラーの法則」 「力学の理論構成」

１．速度と加速度

「速度と加速度」

「（t、v）グラフ」

「等加速度直線運動」

「落下の運動」

「相対速度、相対化速度」

２．力のつりあい

「力の図示」

物理において 独学は 禁物。物理を ちゃんと 理解している人から、ちゃんとした イメージの 描き方を 教わって はじめて 正確な 定式ができるようになります。

じゃあ 、私が 為近和彦師匠に 教わったことを 全部 お伝えします。

（と ここで 絵を 下のほうに 入れます。８月初旬まで 待っててね）

絵の作法。力学 「 F→a 」系

（ということは 絵の作法は すべての分野で それぞれ あるってことです。）

１．全体から 部分へ 絵を すべて 「分ける」。という感覚。

１．１．全体の絵を描く。

１．１．１．その現象が 多くの物体で 成立している場合、それぞれの物体を 書いていく。

１．１．２．そこに すべての 力を書き込んでいく。

まず、全部の絵に、力の種類ごとに ↓ 矢印を 書いていく。

力学なら、１．重力 ２．接触力 （３．慣性力）

＊慣性力は 部分にのみ 書いてください。全体の絵では 書かないように。

１．１．３．はじめに 動き始める方向を 正にして 軸を 設定する。

この軸の方向と「同じ」方向に 加速度の 正を 設定してください。

この加速度の方向を 基準にして、運動方程式で 力を 定式します。

１．２．全体が 終わったら、部分の物体を 全部書く。

１．１．で やった 手順で すべての物体について 面倒でもちゃんと 書いてください。

ただし、加速している物体の上で 動いている場合、３の慣性力を付け加えてください。

こうして、部分も書く必要があるのは、３物体以上になって、しかも 慣性力が 出てきたときに 絵が ぐちゃぐちゃにならないようにするためです。

ひとつひとつ 書いていけば、すっきり きれいな絵になって、安心して 運動方程式を 定式で来ます。

１．３．部分物体が 傾いている場合、傾いている斜面方向に ｘ軸。 斜面に垂直方向に ｙ軸を 設定して、x軸 と ｙ軸の 専門の絵を 描く。

絶対に 絶対に 絶対に、ｘ軸と ｙ軸の 力の絵を ひとつの絵に 混ぜないでください。絵が 汚くなるだけじゃなくて、定式を ミスする原因になります。

私の独自の統計によると、実に 物理ビギナーの８８％が 最初につまづくのは この 力の ｘ と ｙ 軸の 分解のときです。 もう 一緒くたにするのは やめてね。

１．３．１． 斜面の角度は 必ず、３０度か ６０度にする

超町長超大事です。絶対に ４５度に しないでください。

どうしてかっていうと、絵と定式の 二元性が 失われるからです。

ちゃんと 「コサイン３０だと 大きいな。サイン３０だと 小さいな」っていう 感覚で 定式してください。

１．４．円運動の場合、円の中心を 通るような 軸を かならず設定する。

これは ずううううううえったい です。これ以外の 軸を設定して 円運動を解析することはありません。

２．物体の絵の描きかた。

２．１．「四角 うすーく 斜線」→「かならず 台、斜面から 浮かせる」

円で 物体を書かないでください。円だと 角モーメントが 転がるとき 発生しますから 残念。

また、かならず、四角い物体と 斜面は 離して 書いてください。でないと

摩擦力、垂直抗力が 見にくくなる。

２．２．力 → の 描きかた。

重力、慣性力、空気抵抗力は 物体の 中心から 出す。

接触力は 振れている場所から 出す。

空気の圧力は 空間から 壁へ 矢印を 突き刺す。 →｜ この描きかただけ、異常なので 注意してください。

３．力のかかる方向が わからなくなりそうな 接触力は 「たとえて へこませる」

もし、この物体が 「スポンジだったら」「木村拓哉だったら」「ぎざぎざの スパイクだったら」「堂本光一だったら」「豆腐だったら」「藤木直人だったら」と たとえることで、力のかかる方向が イメージできるようになります。

たとえた物質が へこむ方向に 力がかかっているんです。

３．１．張力は かならず 糸の方向に T

３．２．ちょうつがい は 張力の方向とは かぎらない。

よって Fx と Fy に 分解して考える。

「力のつりあい」

「摩擦力」

「弾性力」

３．剛体のつりあい

「力のモーメント」

Moment というか Torque です。

これからは トルクと 呼んでください。

１．トルク定式。

ｆ × （うでの長さ）

なんですけど、図では、 力を分解するのではなくて、腕の長さを力に合わせて変化させてください。

下図参照。どうしてかっていうと、力を分解すると、図が 汚くなるからです。

ｆ × Rcos (f cos × R の定式はやめましょう。）

２．支点の決め方データベース。

１．未知のｆ が かかっている点に 刺す。

２．ｆが いっぱい存在する点に 刺す。

３．重心に 刺す。

４。円の場合、接点に刺す。

３．左トルクと 右トルクの つりあい式。

トルクがつりあったときに 「回らない」

ｘｙ 方向につりあったとき、「動かない」

４。平面の重心Gの場所定式。

ｘ と ｙ 軸を 設定する。

図参照。

ｘ軸で 重心Gを支点に トルクつりあい式。

y軸で トルクつりあい式。

この ２式から Gｘ、Gｙ の座標を 手に入れる。

「剛体のつりあい」

「重心」

４．運動の法則

「作用、反作用の法則」

「運動方程式」

「物体の運動方程式」

「慣性力」

５．エネルギー

「仕事」

「位置エネルギー」

「力学的エネルギー保存則」

「一般的なエネルギー保存則」

６．運動量

「力積と運動量」

衝突

為近和彦師匠の 参考書を 見てください。

１．最初に動く方向を 正方向と 設定する。

２．衝突 前ｖｓ後 絵 を描く

３．速度の置換は 正方向に 設定する。

これは 速度は Vector ですから、正負があります。正方向に ｖ を 置換しておけば、あとは 定式が 勝手に 正負を教えてくれる。

だから、正負を いちいち 気にする必要がないんです。ただ、正の方向の基準に合わせて、ｖを 設定するだけ。

４．余弦定理で 運動量保存則を 定式。

図参照。

５．相対速度は Uで あらわし、絶対速度は Vで 表す。

U ＝V（あなた）－V（私）

Uは ベクトルなので、正負がある。

実は、反発e式というのは 右辺が 相対速度の 商だったんですねー。

だから 左辺を －eにすることを 強調したんです。

無限に跳ね返る問題で 相対速度と 考えれば、定式が きれいになるからです。

くわしくは、絵で 説明します。

反発e 式。

必ず、こういうイメージで 定式してください。

以下、速度は 絶対速度。

• e = (衝突前の Aの速度 マイナス Bの速度）/ （衝突後の Aの速度 マイナス Bの速度）

マイナス イー を 左辺に もっていくのが ポイント。

いつも 同じ型で 定式することが 大切なんです。

斜衝突。

直線状衝突ｖｓ 斜衝突。

Straight-line collisions ｖｓ Off-center central collisions

直線状の衝突は、簡単です。距離関係をとくときは、(t.v)graphを 書いてください。また、こんど 書きます。

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ぼくの持ってる知識、知恵、全部書いてます,

Just because NO JOB is finished, until the PAPERWORK is done.（書かなきゃ意味ないよ。伝えて残さなきゃ意味ないよ。誰でも読めるようにしなきゃ意味ないよ。英語にしなくちゃ意味ないよ。世界中の人が読めないと意味ないよ。日本人しか読めないのは意味ないよ。）

だからです。二郎ラーメンでいうところの、全マシです。

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追記おわり。

１．内力の方向式。

１．１．球ｖｓ球なら かならず 中心を結んだ軸上に 内力が 生まれる。

１．２．球ｖｓ糸なら かならず ピーンと張っている張力方向。

１．３．球ｖｓ棒なら 棒の方向。

（糸や棒の先に ついている質点の問題の場合、e=1 完全弾性になる。）

ちなみに elastic modulus の略が e 反発定数。

elastic collisions e=1 vs inelastic collisions e<1 , totally inelastic collisions e=0

これを 直訳するから、

「弾性衝突」と 「完全弾性衝突」は 「e=1」なのだ。ああああああ 紛らわしい。

それに比べて、英語（国際語）は わかりやすいですよね。

訳すなら イラスティック衝突と 訳してほしかった。

２．球ｖｓ球の 斜衝突。

E保存式

ｐ保存式

elastic式

以上。

「運動量保存則」

「保存則の威力」

７．いろいろな運動

「等速円運動」

１．円運動している 軌道円の中心と 物体を結んだ直線を ｘ 軸。円盤に垂直は方向を ｙ軸に 設定する。

これは 向心力が １．張力 ２．垂直抗力 ３．ローレンツ力 でも 同じこと。

２．力学１ と 力学２の 直線運動と円運動の違い は ただひとつ。

「加速度が （ｖの二乗）/(半径） と 書ける」ことのみ。

これ以外の 定式方法は 何一つ変わりません。

つまり、必ず

ma=Σ ｆ

a=v*v/r

というように ２式を 並べて書いてください。絶対に １式に まとめないように！

だって、単に、「円運動したときは、速度と半径から 加速度がわかる」ってだけなんですから。

運動方程式の中に、 mv*v/r を いれることに なんの意味も 見出せません。

「運動方程式というのは 日本語を 数式に 変える」というのが わかっている人の 定式の仕方です。

（これは 力学１のほうで、詳しく 説明します）

たとえば、

質量ｍ の物体が 加速度aで 動いているよ 。 その物体は ｆ１ ｆ２ ｆ３ の力を受けている。

これを 数式に直したものが

ｍ ＊ a = f1 + f2 - f3

なんです。

そういう わけで、

ぜええええええええええええええええええええええええええええええええええええええええええええええええええええええったいに 遠心力とかいう よくわからない言葉を 持ち出さないでください。

円運動している物体に乗った状態の物体を 観察するような 大学入試問題が 出されることはありません。ですから、慣性力である遠心力を、つかって 解答しないでください。

以上。

これ以外に やることはない。あたらしいことなんて 実は、加速度と軸設定以外ないんですね。

でも いちおう、円に まつわる定式が 増えます。これは 単なるオマケです。

覚えるというより、導き出せるように 経験記憶をつくりましょう。

１．周期 T定式

１．１． ３６０度を 角速度で 割る。 ３６０/ω

１．２． 円周を 接線方向の速度で 割る。 ２πｒ/ ｖ

２．接線方向の速度 ｖ 式

ｖ＝（半径の長さ）＊（角速度）

これは イメージすれば すぐに わかる。

長いサオを 振り回したほうが、短いよりも 移動距離が 大きいですよ。

３．円運動の加速度の 特殊式。

これは 式の証明を 覚える必要なし。とりあえず、覚えてください。

ｖ を 微分すると a だから、ωを 微分すると 、ωの二乗になるってだけです。

つまり

ｒ= (半径）（ωの一乗） こいつを 微分して 次の式がでる。

a=（半径）（ωの二乗） こいつに、 ２の式で ωを 消せば、

a=（接線方向の速さの二乗）/(半径） の 式になります。何回も 書いていれば、そのうち覚えます。

簡単な覚え方は

「加速度は M*M/S の単位だから、(M/S)(M/S)/M の形になることは 簡単に想像できる」

これで 円運動は かるーく 合格点が取れます。

出たらラッキー。簡単なものしか出ません。浮き上がるかどうかの問題も、結局、垂直抗力＝０定式を するだけですから、やはり 簡単です。

水平面 上の 円運動。

鉛直運動の やり方と 同様にやってください。

ただし、軸の方向は 円の中心を 指すように！以上。

ちなみに、加速度運動している乗り物の中で

おもりたらして ぐるぐるやっていると、円錐が傾きます。

ちゃんと 円運動を キープしてます。

「鉛直面内の円運動」

円運動。鉛直方向系。

０．新しい力は 円運動になったからって ない！

１．加速度を ｖとｒを 利用して 定式可能。

２．下円上の ｙ方向変位ｈ式。

ｈ=r (1-cos)

「高さは 半径の いちまこす」と 覚える。あまりに良く使うので、「いちまこす」だけ 覚えましょう。定式速度が １０秒 速くなります。

＊上円上の ｙ変位ｈ式。

こっちの場合、「いちまこす」する必要もなく、ｒsin が そのままつかえる。ただし、角度を 新しく 置換する必要がある。

３．問題の種類。と その 特徴的問題の定式。

３．１．糸ぐるぐる 「たるまない」T式。

３．２．ジェットコースター 「浮かない」N式

３．３．棒くるりんぱ 「頂上で 止まらない」V式。

「単振動の特徴」

物理１の力学でやった バネの ポテンシャルエネルギーと

物理２の力学でやる バネの単振動のポテンシャルエネルギーは 違います。

両者を ちゃーんと 区別して使ってください。

じゃあ 区別しますよ。

１．ばねのポテンシャルエネルギーは 「自然長から どれくらい伸びているか ｘ によって、ばねに蓄えられる エネルギー」

定式は （二分の一）ｋ・ｘ・ｘ （すべて 小文字で 書いてください）

ｖｓ

２．ばねの単振動のポテンシャルエネルギーは 「つりあいの位置から、どれくらい離れているかXによって ばねとその他の力によって 蓄えられる総合されたエネルギー」

定式は （二分の一）K・X・X （すべて 大文字で 書いてください）

ここでいう 「ほかの力」というのは、主に、重力です。（摩擦力のときもあります。）

バネに 吊り下げられた おもりの単振動を 考えるときに、重力の ポテンシャルエネルギーって 無視されてますよね。あれって、実は、単振動のポテンシャルエネルギーのなかに 重力のポテンシャルエネルギーが 含まれているからなんです。

一般に、バネ定数は 小文字のｋ ｖｓ 単振動の定数は 大文字のK で 区別します。

さて、周期 T＝（２π）√ （特殊条件元）/(定数） の 定式。

これは 覚えちゃってください。 運動方程式とωの関係から 導く必要なし。

Tの 覚え方。 定数の部分は K です。ｋは 暗い の ｋ。分母は下のほうにあるから 暗いのです。

たいてい、特殊条件元の値は ｍ です。

ちなみに、単振り子 だと 定数は ｇ で 特殊条件元は ? つまり、振り子の半径の長さ。

「単振動の物理」

微小振動定式。

微小振動問題の パターンは 決まっています。

１．二つの 直線状 相対する方向の 力が つりあう。

１．１．バネｖｓ重力

１．２．電磁気力ｖｓ電磁気力

１．３．クーロン力ｖｓクーロン力

１．４．圧力ｖｓ圧力

１．５．圧力ｖｓ重力＋圧力 （ちなみに、圧力の微小変化系は 断熱変化。）

１．６．重力ｖｓ浮力

他にもあるかな。

２．つりあいの位置 Zeroから 微小に X ずらして、振動させる。

ずらすことにより、運動方程式を定式する。すると、Xの２次式あるいは、ｎ次式ができる。

そこで

２．１．「二次近似る」ことによって、定式上の Xの二乗項を 消す。

２．２．「１＋ちょび の ｎ 乗 近似る」により、 Xの ｎ乗項を Xの １乗にする。

こうすることで

ma＝－KX が 定式できる。

３．Kの 値から、Tを 出す

これは おまけ。上の定式を 作れれば、どうだっていい。

摩擦の入った 振動運動。

摩擦が入っても、ちゃーんと 振動運動として 対称性を持ちます。

ただし、半周期ごとに 周期が終わります。四半周期では ちゃんと 対称なんです。

これは 定式をすれば 簡単にわかる。

ma= -kx + μmg

=-k/m(x- μmg /k)

つまーり

=-K(x - C )

毎回、Cだけ ずれる。これは プラスマイナスCだから、自然長から Cずつずれたところに 振動中心がずれるってこと。

そのうち、動摩擦力のほうが バネの力より 強くなって、

バネの力と 静止摩擦力が つりあったときに 止まる。

しゃくとり虫型連結バネ運動の定式。

しゃくとり虫のように 二つの質点が バネにつながって 動いていく運動。

○～～～～～～～～～○

むぎゅ ○～～～～～～○

のび ○～～～～～～～～～～～～～～～～○

こんなやつです。

タイプは ２種類。

１．片方の球のみ P の運動量を与える。

２．両方の球に 同時に 同じ Pの運動量を 与える。

それで どっちのタイプでも 定式は 決まってるので、理解して 覚えてください。出たらラッキー。みーんな 解けないけど 自分だけ 解ける。

１．固定端重心G点 設定式。

１．１．バネを分割したときの、バネ定数定式。

二つの質点の 重心Gは 等速運動するので、この点の乗ってみれば、二つの質点は 単なる単振動をしているようにみえる。

よって、重心Gからみて、自然長のときの、ひだりのバネと 右のバネの バネ定数を 手意識する必要がある。

ちなみに、このｋの定式は、回路のコンデンサーCの合成定式 と まったく同じ感覚で 定式します。直列すると、びよーーん となり、並列すると、ぎちぎちになる。

１．２．重心Gの速度式 Vg

位置ベクトルで それぞれ、重心G Xｇ で質量Ma＋Mb 、左質点A Xaで Ma 、右質点B Xbで Mb 、とすると

重心は どこにあるか わかりますか？

ここで 実は、モーメント（トルク）を 使うことになります。

（Ma+Mb ）・ Xg ＝ Ma・ Xa＋ Mb・ Xb

支店カンチョーは どこでもいいです。同一直線状に置いてください。

それで 「両辺微分する」と Xｇ は Vｇ つまり 速度になります。

微分というのは 演算子（＋－ × ÷ など）と 同じ扱いができるんでした。数学の記事を 参照してください。「両辺に ３９を かける」と 同様の感覚で 「両辺に ｄ/dt を かけてください」 そうすると、速度になります。

これで Vg がでました

２．動く 重心G点に 乗り込んでから 、質点Aと質点B を 観測する。

２．１．周期T式。

質点から見て、周期を AとBを それぞれ 求めればいい。このとき、１．１．の定式により、ｋ が 変わっていることを注意。

２．２．バネが Maｘ ｖｓ minの ときの長さA 式。

Max のときも、Min とのときも バネ全体の振幅は A です。

また、このとき、両方の質点は Gで乗車している人にとっては、止まって見えます。

つまり、両方の質点が Vg（const.） になっているってこと。

だから、Aが 求まるんです。

定式は もちろん E保存式。

以上。

「万有引力」

「ケプラーの法則」

力学、宇宙問題データベース。

宇宙問題は、３つの形に 場合分けしてください。これ以外出ません。だから、出たら、前門正解できます。

１．円運動。Circular Movement

２．楕円運動。

３．無軌道運動。

じゃあ、それぞれの定式をデータベースします。

１．円運動。Circular Movement

１．１．V円式。一定。

１．２．T円式。一定。

２．楕円運動。

２．１．V近、V遠式 （E保存式。と S保存式により導出）

２．２．楕円の長半径式

２．３．けぷらー３ の T式 （中心の惑星が 同じなら、いつでも成立する。数学的証明は、曲座標で 運動方程式を表して、中心方向に 力がかからないことから、導出する。）

３．無軌道運動。

３．１．V無 式 （E保存式 と S 保存式）

あとは、V（近、遠、無）において ロケット噴射による ｐ保存式を 使うことがある。これは あんまり 出ないかな。

ケプラーの法則。

Planetary motion

Kepler's laws.

1.Kepler's 1st law

All planets move in elliptic orbits,with the Sun at one focal point.

*In our solor sysytem,the planetary orbits are very close to circles.そうしないと、とっくに 衝突してますよ。互いの重力の影響を、なるべく受けない形をとろうとして、今の太陽系の 平面的な 同心円状の 配置になっているわけですから。

Perihelion ｖｓ Aphelion = 最小ｖｓ最大

それに、楕円だからっていって、冬が 暖冬になったり、夏が、寒くなったりすることはない。地軸がずれているから、春夏秋冬となる。

やっぱり、地球の軌道は、楕円というより、ものすごく 円に近い楕円ということになる。

２．第二法則。

導き方は、楕円軌道の 焦点Fを 原点として、楕円を極座標表示する。

このとき 楕円状の質点（a mass point）を ベクトルR とすると、vecR＝（ｒcos ,rsin )

そんで 点Fと 点Rを 結ぶ直線上のみに 万有引力が存在し、

「直線FR以外から力が加えられない」とする。

「他から力が加えられない」という条件は、どっかで 聞いたことありませんか？ふっふっふ。運動量保存則の「外力が 加えられない」という条件と 似てるでしょ。

運動量保存則は 外力０、つまり 内力相殺から 導き出したわけですが、

この 面積速度保存則は 「直線FR以外から 力が加えられないこと」から、導き出すのです。

つまり、楕円上の点Rの接線方向を シータ方向とすると、このθ方向上には 力が 存在しない。

これを このシータ方向の力を 極表示すると、面積速度保存則が でてきちゃうんですねー。

まあ、試験に出ませんが、どうやって 出しているのか 気になった人のために書いておきました。

宇宙問題定式データベースで 説明したとおり、楕円軌道、無軌道と 面積速度保存則は 使えます。通称 「S保存則」です。

＊運動量保存則が「ｐ保存則」 エネルギー保存則が 「E保存則」。第三の保存則に 入れておいてください。

３．第三法則。

これは 実験値から 出た真。 と おもってください。

（第一法則、第二法則の定式を 第三法則に入れると、定数だけになるので、どの惑星でも成立すると、証明することができます。でも、なんで それを 思いついたか？はどうでもいい。だって、実験値から 出てきたものだから。）

覚えちゃえばいい。「手に乗る Aさん」と 覚えてください。

T 二乗 A三乗 Tが 上か下かは どうでもいいです。

惑星同士の 比例関係なので。

ちなみに、Aは 楕円の長半径です。（惑星が円軌道のときは Aは単なる半径です。）

第三法則とは、 円軌道と 楕円軌道の ふたつを 比べたときに、楕円のTを 簡単に出す方法。

問題の締めくくりに、おまけ として 出されることが多い。

「力学の理論構成」

波動データベース。

このデータベースは 為近和彦先生の 授業の 補習に 使ってください。

以下、目次は、物理のエッセンス、浜島清利。河合出版を 真似しました。

目次

１．波の性質。

「波の性質」 「横波と縦波」 「波の式」 「波の反射」

２．定常波

「定常波」 「弦の振動」 「気柱の共鳴」 「うなり」

３．ドップラー効果

「ドップラー効果の原理と公式」

４．屈折と反射

「ホイヘンスの原理」 「反射、屈折の法則」 「光波」 「光の屈折」 「レンズ」

５．波の干渉

「波の干渉」 「ヤングの実験」 「回折格子」 「光が反射するときの位相変化」 「薄膜による干渉」 「くさび型薄膜による干渉」 「ニュートンリング」 「波面で考える干渉」

１．波の性質。

「波の性質」

波だったら かならず 成立しているのが、「波の基本式」

ｖ＝ｆλ

波が １秒間に進む距離 ＝ 波長を １秒間に振動する回数分 足した距離

「ヴい いこーる えふらむだ」あまりに 利用回数が 多いので 自然に覚えてしまう式です。

波の性質のことを 波動性といったりします。量子力学では 粒子性ｖｓ波動性の二元論が成り立ちます。

波動性は ５つの性質がある。

１．干渉

波同士が 重ね合わさって、強めあったり、弱めあったりすること。

定式は 「ｙ＋Y」

２．屈折

伝わる媒質が 変わるとき、波が 曲がること。

定式は「スネル式」

３．透過

特に、電磁波や重力波は どんな物質でも 通過してしまう。これは 電磁波や重力波が 空間を 振動させているから。

定式は「☆Δ＝ｎ・Δ」

４．反射

屈折するとき、曲がりすぎると、その媒質に入らずに 戻ってくる。反射には 自由端反射と 固定端反射がある。

自由端は やさしい Soft な 反射。固定端は 痛い、Hardな反射。固定端は痛いので、位相が πずれる。

５．回折

穴からもれ出た光は、直進せずに、部屋全体を 照らし出す。波は 広がる。

「横波と縦波」

波の進行方向と 同じ方向に変位するのが、縦波。音。

波の進行方向と 違う方向に変位するのが、横波。光。水。

波の進行方向と 同じ方向に変位するのが、縦波というか 疎密波 ともいえる。空気の密度が 高くなったり、低くなったりすることで、音を伝える。鼓膜は 空気の密度高くなると、押されて、密度が低くなると、引っ張られる。鼓膜が 周期的に振動することで、私たちは音楽を楽しめる。

ちなみに、私たちは 音を音として認識できるｖｓ音を雑音として 認識する。

この違いは 疎密波に周期が ある ｖｓ ない の違いがある。

一定の時間に、疎密波が 周期的に 振動することで、「意味のある音」として 脳は認識するのだ。

「波の式」

波形の定式は 新しい教育課程では なくなったらしい。

私は 旧課程を 習ったので、ここが 除外された理由がよくわかりません。

わかっている人と、わかっていない人の 差が ものすごく出る分野だったのに。

でも 一応。書いておきます。

（x、ｙ）グラフ 。これは 海における波の写真。だから 連射することで、つまり ２枚の写真で 速度がわかる。速度がわかれば波長と 波の基本式から 周期と 振動数がわかる。

（ｔ、ｙ）グラフ。 これは 波をつくった縄に リボンを くっつけて、その軌道を グラフしたもの。このグラフは 上と違って、二枚もいらない。一枚あれば、周期がわかる。周期から、波の基本式から、速度、振動数がわかる。

ｙ＝Asinωｔ この時間を 距離的効果の分だけ、ずらす。

ｙ＝Asinω（ｔ－ｘ/ｖ）

これだけ。

「波の反射」

反射は 固定端反射と 自由端反射の二種類。

固定は ロープを 柱に縛り付けて くねくね。定式は 「Yin＝－Yout」

自由は お風呂で 波を起こして ぴしゃぴしゃ。定式は 「Yin＝＋Yout」

波の式 の定式は 範囲外ということですが、

自由端は 位相が ずれない

固定端は 位相が 半波長分であるπずれる。

絵の描き方。

１．仮想波を 壁のおくまで 描く。

２．仮想波を 壁から ぱったんと 折り紙のように 折り返す。

２．１．自由端の場合、「Yin＝＋Yout」だから、そのままで OK

２．２．固定端の場合、「Yin＝－Yout」だから、折り返した波を今度は、ｘ軸にそって ぱらり と 折り紙のようにひっくり返す。

そういうわけで、自由端は 「ぱったん」。固定端は 「ぱったん ぱらり」

どうして こうなるのかは、波の式を 定式することで すっきりわかります。

波の式を 立てるとき、「そこにある波」は 波源を いつ発射した波か？が 大切なんです。そのとき 調べるのに 役に立つのが、速度。波は等速運動ですから 波が伝わった距離がわかれば、速度から、何分前に 発射された波なのか 正確にわかります。

これは 地震の計測と まったく同じです。ｐ波が 着いて、ｓ波が 着く時間から、地震の震源を計測するのと まったく同じ原理。

距離から ｔ秒前に波源を 発射した波だとわかれば、波源の式から 時間を巻き戻して、その時間に発射した波の位相や変位を 調べることができる。

だから、「そこにある波」の位相や変位が わかる。

自由端反射した波を この波の式で 定式するときは 反射したことを 無視して、「そこにある波」の位相や変位を 調べることができる。「Yin＝＋Yout」だと、位相や変位の式に影響を与えないんです。

でも 固定端反射した 波は 無視できない。「Yin＝－Yout」だから、固定端反射した回数で 位相が πずれるから。そして、変位が 真逆になるから。

２．定常波

「定常波」

定常波は その名の通り、定まって、常に動かないように見える波のこと。

動かないように見えるだけに、節と 腹によって 構成されています。私は 原節子の呼んでいます。

腹が おなかのように膨らんだ へその部分の名前。

節が まったく動かない部分の名前。

定常波の製造方法。

ふたつの波が 重なり合うと、「定常波」か 「進行波」ができます。

定常波は 同じ２つの波が 逆方向に進んで重なると生まれます。

進行波は 同じ２つの波が 同じ方向に進んで重なると生まれます。進行波は 普通の波と同じ定式なので、あんまり面白くないので テストで でません。

この二つを 式にすると （S）が Source 、つまり 波源

← ｙ－ ← （S） → ｙ＋ →｜壁で

← Y－ ← ← ← ←Y- ← ｜ぶつかって 反射

↑進行波 ↑定常波

進行波 は ｙ－ ＋ Y-

定常波 は ｙ＋ ＋ Y-

＋ は →方向に 動くことを

－ は ←方向に 動くことを 示している。

小さいｙ は 波源から 出た波、大きいYは 壁を 反射した波を 表している。

定常波の問題は

１．弦

２．気柱

２．１．片方開放気柱。

２．２．両方開放気柱

の ３つしか出ません。簡単です。

「弦の振動」

１．定常波の写真から λ定式

この問題では、「写真を ２枚とって、透かして重ねた絵」

を 使って、λを定式する。

１枚目の写真が 実線。

２枚目の写真が 点線。

この二つの 写真は、最大に変位が ずれたときを 表していて、周期は T/２ずれている。

定常波の周期も 波源から出ている波の周期と 一致する。

この写真から わかるのは、

１．「波長」

２．「開放端補正距離」（弦では 必要ない）

さて、弦の場合、弦は 両端が 固定端反射する。弦の定常波を 理解すれば、なんで ギブソンのギターから いい音が出るのかわかります。

「芋型 λ定式」

写真の中には、芋が つねに 整数個、入っている。芋の長さは 半波長λ/２

（弦の長さ）＝（芋の長さ）×（整数）

たいていは、弦の長さと 整数ｎが 与えられることで、芋の長さがわかる。

整数ｎ は ｎ倍振動 と 呼ばれる。

１．１．弦が ２種類混ざっている問題での 芋式。

途中までナイロンの弦だったのに、馬のシッポの毛になるようなものです。

この場合、弦どうしのつなぎ目が かならず 節になるので、弦の種類ごとに 「芋λ式」を 定式します。

（ナイロン弦の長さ） ＝（ナイロン芋の長さ ）×（整数ｍ）

（馬のしっぽ弦の長さ）＝（馬のしっぽ芋の長さ）×（整数ｎ）

これだけじゃ、変数が多くて 求まりません。そこで 必要になるのが、「波の基本式」

この２式に 加えて

（ナイロン弦の速度） ＝（ナイロン芋の波長 ）×（ナイロン芋の 振動数）

（馬のしっぽ弦の速度）＝（馬のしっぽ芋の波長 ）×（馬のしっぽ芋の振動数 ）

の２式を 加えると、４元４式で すべての変数が求まる。

２．波なら 常に成立する波の基本式。もちろん 定常波でも 成立する。

定常波と 重なる前の波は 波の速度、波の波長、波の振動数、波の周期 すべてが 一致します。

違うのは、変位だけです。

そんなわけで、波の基本式 ｖ＝ｆλ は 定常波になる前と まったく同じなので、定常波でも 定式することができる。

３．弦の波の速度式。

ｖ＝√（張力ぴーーーーんT）/（弦の密度 ρ）

T＝Mg と 定式されることが多い。

√が つくのは 単位計算すれば わかる 「ｋｇ ・ｍ/ｓ・ｓ」÷「ｋｇ/ｍ」＝「ｍ・ｍ/s・ｓ」だからです。

張力が 強ければ強いほど、速度が伝わりやすい感覚。

そして 密度が ぎっしり詰まっているほど、 鈍い感覚 があればいい。

「気柱の共鳴」

弦と まったく 同じ定式の流れで 求めることができます。

１．定常波の写真から λ定式。

弦では 基本のユニットが 芋だったんですけど、

１．１．半開放気柱では 肉まん。

肉まんの長さ＝四半波長＝λ/４

そういうわけで

（気柱の長さ）＝（肉まんの長さ）×（奇数ｄ）

これが ｄ 倍振動のλ定式

この場合、ｄ は かならず 奇数になります。

１．２．両方開放気柱 では ちょうちょ

ちょうちょの長さ＝半波長＝λ/２

（気柱の長さ）＝（ちょうちょの長さ）×（整数ｎ）

ｎは 整数。というか 自然数。

１．３．開放端補正距離定式。

両方の場合で、開放端は 腹の位置は 開放している口が 外に ずれているのです。

だから、弦と違って、ｎ倍数振動と 言われただけでは、波長の長さを 求めることができません。

「管の長さを 伸ばすことによって、」 ｎ倍振動から ｎ＋１倍振動にすることで、そのときの 波長の長さを求めることができる。

半開放端振動の例。

開放端補正距離Δ式

Δ＋L１＝λ/４

L2－L1 ＝（λ/４）・２

絵で書けば 一発ですから、後日、絵で 説明します。

２．波の基本式。

もちろん、気柱でも成立。

３．音速式

ｖ＝３３３＋０．６T

上の式は 与えられているので、覚える必要なし。

４．疎密の判別式。

気柱の写真は 弦と違って、縦波なので、変位をｙ軸にとって、可視化したものです。

ｙ軸の上に変位すると、ｘ軸の前に変位し

ｙ軸の下に変位すると、ｘ軸の後ろに変位している。

これによって 写真から、空気が 高圧になっている部分つまり、密と、低圧になっている部分つまり 疎を 判別する。イメージは 以下の通り。

→ 密 ← ← 疎 →

ｙ軸の変位の正負 ＋ － － ＋

以上。

「うなり」

うなりの定式。

二つの音源から 周波数の ちょこっと 違う ｆ(a)と ｆ(b)が 干渉しあって、Cohereして

ぶおおおおおん ぶおおおおおおおん と 聞こえる現象のことです。

じゃあ イメージを つくりましょう。

～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～

この波の 山の部分を 下のように、 一本の線で表す。波を 上から俯瞰してみたイメージだ。

ｆ（a）：｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ちょこっと 少なめの振動数

ｆ（b）：！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！ 多めの

○ ○ ○ ○ ○

ぶおぉおぶ ぉぉおぶおぉ お ぶおぉぉおぶおぉぉおぶ

この ｆ（a）の位相の山のてっぺんと

ｆ（b）の が

重なったときに、強め合って、山が大きくなることにより、「ぶ」という音が鳴る。

逆に、

山と谷が 重なり合うと、打ち消しあって、弱めあい 「ぉ」という音が鳴る。

この原理は 荒川静香が オリンピック中にしていた Bose社の クワイエットコンフォートという ヘッドフォンでも 使われている技術だ。

じゃあ お楽しみの定式。

｜ ｜ ｜ ｜ ここに 山は ４個ある。つまり、３個分の波長。

！！！！！ ここに 山は ５戸ある。 ４ 。

↑ ↑

ココから ココまでの 時間を T とする。

こうして 帰納的に実験してわかっちゃったかな。

そうです。ご明察。

うなり って、「 f（a）T －f（b）T ≒ １ 」

なんです。

つまり 「うなりの１周期」の間に、 「波長一個分ずれる」ってこと

これが うなりの定式。

これを 加工すると、よく 参考書とかで、なぐり書きされている

「 f (a) - f (b)= F（うなり） 」

になる。これは 両辺 T で 割れば、 １/T ＝F でしょ。

これが 為近和彦流。

自分流で 覚えようと 語呂合わせで 公式を覚えるのが ばかばかしくなるほど 物理というのは 単純な科目なのだ。

わかっているひとから ひとことアドバイスをもらうだけで すぅうううううっと 頭にイメージが できて、定式することが可能になる。

３．ドップラー効果

「ドップラー効果の原理と公式」

ドップラーさんは これを調べるために、汽車に 鐘を 乗せて、絶対音感のあるひとに 鐘の音が どう変化するか 聞き分けてもらうことで、この法則を 見つけ出したらしいです。

物理の先生は 絶対に、全国津々浦々、すべての高校の教師は、ドップラー効果の例を、救急車で 例えます。たとえたくて 仕方ないようです。脳がありません。私なら F-１を 例に しますね。

１．OS振動数式。

これは 橋本淳一郎の本を 参考にしています。それに アレンジを加えています。

OはObseverつまり 観測者。SはSourceつまり 波源。

ドップラー効果のイメージは

出した波にソースが 追いつこうとすると、波長が短くなり、ばばばばばばばばばばばば と 強力になる。

出した波にソースが 離れようとすると、 波長が 長くなり、ぱ～～んぱ～～んぱ～～んぱ～～んぱ～～んぱ～～んぱ～～んぱ～～んぱ～～んぱ～～んぱ～～んぱ～～んぱ～～んぱ～～ん と 弱くなる。

でも、いちいちイメージしなくても、簡単に 式が教えてくれる。

ｆ’＝（ｃ＋Von/c＋Vsita）fo

foが ソースが 出している振動数。ｃが 音速。Vonが Vobseber 観測者の速度。Vsitaが Vsource ソースの速度。

これだけ。あとは 風の速度ｗが 入ったり、壁に反射とか 、斜め方向の反射とか 斜め方向のドップラーとか いろいろ 増えますけど、やっていることは 上の式を 改造しているだけ。

上の式が どうやってでてくるかというと、波の基本式の ソースと 観測者で ２種類作って、その式同士を 割り算すれば 出てくる。

さて

ｆ’＝（ｃ＋Von/c＋Vsita）fo

の Vの正負について。４種類です。

ソースと 観測者が 同一直線状に 並んだとき、

ｃ←（O）→Von ＝ｃ＋Von

ｃ←（S）→Vsita ＝ｃ＋Vsita

（O）→Von ＝ｃ－Von

→ →ｃ

（S）→Vsita ＝ｃ－Vsita

→ →ｃ

くわしくは 絵で 書きます。

２．音の到達時間式。

音は 等速なので、幾何学で 距離をだせばいいだけ。

３．観測者のｆ’の グラフ。

ｆ’を ｘ のグラフで 表現する。

４．屈折と反射

「ホイヘンスの原理」

１．スネルの兄弟式。

スネ夫兄弟。

空気中で 入射してくる 二つの光線。兄弟が 長い棒の端と端を 持ちながら歩いている。

この長い棒の名前を 「ホイヘンス辺」と呼ぶ。長さｄとする。

アスファルトルの上を歩いている兄弟は、まっすぐ進む。

アスファルトでは 絶対屈折率ｎ、波長λ 、速度ｖ で 兄弟は 歩く。

一方

砂浜では 絶対屈折率ｎ’、波長λ’ 、速度ｖ’で兄弟は歩く。

兄弟が 入射角θで、アスファルトから 砂浜へ 入っていく。兄弟は まっすぐにしか進めない。

弟が 先に 砂浜に入ると、進む速度が遅くなり、棒に力が入る。それでも 兄貴のほうが 力が強いので、兄貴が 砂浜に入るまで 棒がきしみながら、砂浜を歩き続ける弟。

兄貴が 砂浜に入ると、兄弟の速度が一緒になるので、棒のきしみがなくなって、屈折して 歩き出す。 屈折角φ。

これが 入射、屈折のイメージ。

これを この兄弟の歩いた道を 幾何学的に 定量する。

弟が 砂浜に入ってから、兄貴が 砂浜に入るまでの時間と ｔ とする。ホイヘンス辺が ｄ なので、

兄の ｔ 秒間に 進む距離。 ｄ sinθ＝ｖｔ

弟の ｔ 秒間に 進む距離。 ｄ sinφ＝ｖ’ｔ

この２式を 割り算しあうと、ｔ とdが 消えて、スネルの式が 出来上がる。

覚え方は 「積で覚える」「 一つ出てくれば、波の基本式から 全部でてくる。」

ｎsinθ＝ｎ’sinφ

ｎ・ｖ ＝ｎ’・ｖ’

ｎ・λ ＝ｎ’・λ’

２．絶対屈折率と 相対屈折率 の定式

絶対屈折率というのは 真空を n＝１という基準にして 空気や水は どのくらいなのかを 調べた実験値。

ふつう、屈折率といったら、絶対屈折率のことを示す。

真空が 一番 なにもないんだから、これを 基準にするのは当たり前。

ちなみに 空気も 真空と ほぼ おなじ ｎ＝１ とする。

絶対屈折率どうしを 割り算したのが 相対屈折率。はっきりいって あんまり 使いません。

ｎ空気→水＝ｎ水/ｎ空気

３．ホイヘンスtan による 角度の辺長化式。

θが ０に 近いとき

θ＝tanθ＝sinθ と近似できる。

tanθ＝（高さ）/（ホイヘンス辺）＝θ

つまり

高さ＝（ホイヘンス辺）θ

この定式を使って、水の中にあるコインが 見かけ上、どの深さにあるのか定量できる。

たいていは ２元２式。

真上からみたコインの見かけの深さ＝（実際の深さ）/水の絶対屈折率

は トリビア。

「反射、屈折の法則」

１．反射θ式

θin= θout

２。屈折式

スネルの三式。

３．全反射の臨界角度θ式。

１・sinθo＝ｎ・sin９０

ぎりぎり すべての 光が水の中に入らない。イメージ。

「光波」

光は 電磁波の一部の波長。

人間が たまたま 目で認識できる電磁波の波長を 光と 呼んでいるだけ。

なぜ、人間は この電磁波の波長を 選んだのかというと、太陽が もっとも大量の光子を 吐き出している波長が たまたま 光の波長だったから。

そりゃ 明るい波長を よく見えるようにしたほうが、生存競争には 向きますよね。

「光の屈折」

すねる式を 連立するだけ。

「レンズ」

レンズ を 扱った分野は 「幾何光学」という分野です。

これは 教科書を読むと 逆にわかりにくいので

「カメラレンズ入門」という受験や、物理学に関係ない 一般書を 立ち読みするのが一番です。

これを 読めば、光が伝わる様子を イメージできるように なります。

じゃあ レンズ系の 定式を データベース。

１．逆数和 ｓ→ｐ式。

１．１ 「1/s + 1/p =1/f 」

s は source 、 pは picture、ｆは Forcus の意味。

Sourceは 光源、Pictureは 像 、Forcusは 焦点。

ｓは 図のように レンズから左方向に 軸が 向いている。

ｐは 右 。

こうすることで 単なる数値計算として レンズ問題を 捉えることができる。

レンズ問題は 幾何ではなく、数値代入問題です。

１．２「証明は 幾何で 三角形の相似を ２連発。ちょうちょ ２匹」「相似式」

２．倍率式 ｍ式

ｍ＝-p/s 覚え方は 「レンズは まぶしい」

－ ｐ / s

これで 倍率がわかる。ダブルレンズの場合、

ｍ（前）×ｍ（後ろ） ＝ｍ（合計）

のように 掛け算になる。

３．正立倒立 判別式 Dm式

この まぶしい倍率式を

そのまま つかえる。Dm=-p/s

で 正と負の どっちが 正立で 倒立だとか言うのは 覚える必要なし！

だって、帰納的に、例示すれば、どっちだったか 導き出せる。

一番書きなれている 凸レンズで Forcus、焦点よりも 遠い Sorce と Picture の場合、

実像で 倒立だからだ。つまり、 Dmが マイナスで 倒立になる。

４．実虚像 判別式。 Dｐ 式

Dp=ｐ

これも 正負 どっちが 実虚か わからなくていい。３と 同様に 導く。

ｐが 正で 実像だから、ｐが 負で 虚像。

５．実虚光源 判別式。Ds式。

Ds＝ｓ

これまた どっちが 正負で どっちが 実虚かは すぐに 導けるから 覚える必要なし。

ｓが 正で 実光源ｖｓ sが 負で 虚光源。

この 虚光源というのが あたらしい概念だと思う。

じゃあ

虚光源 と 虚像 ｖｓ 実光源 と 実像 の違いデータベース。虚ｖｓ実の 順で書いていくと、

虚 実

１．光がそこに ない ある

光の有無により

２．映像がスクリーンに 映らない 映る

そういうわけで 虚光源、虚像というのは スクリーンに うつりません。

そのかわり、人間の目には、レンズの中だけで 虚像が 映って見えるのです。

レンズの中にしか 存在しないから 「虚」なんです。

（ちなみに 鏡に 映っている自分の顔は 虚像です。鏡の中にしか 自分の顔は映りませんよね）

じゃあ 改めて 定義すると、

虚像とは ？ 光が集まっていないのに、人間の目からすると、レンズの中に 像が見えること。（あるいは 鏡の中に 像がみえること）

虚光源とは？レンズが ２枚以上になったとき、１枚目のレンズの虚像が ２枚目のレンズの立場からすると、光源扱いできて、その虚像を 「二枚目のレンズの虚光源」と 呼ぶ。

レンズの中を のぞき見る という作業は 「虚像を見る」という作業なんですね。

一方、スクリーンに映った絵をみる という作業は 「実像を見る」という作業です。

これで ９８％以上のレンズ問題に 答えることができます。

レンズそのものの性質は スネルの法則とか、「ホイヘンス辺による 角度＆辺式」の範囲なので、そっちに 譲ります。

これ以外の レアな定式。

６．光源が かくされたときの定式。

７．レンズと 光源の位置関係がずれたときの、像の動き式。

８．S光源とT光源の 光線の交点定式。

９．ピンボケの定式。

さて 試験に ６．７．８．でません！出たら、運がなかったということで。

５．波の干渉

「波の干渉」

ここで はじめて 波紋グラフが でてきます。

今までの 波は

横から断面図で見た「断面グラフ」と （波の定式、定常波グラフで御用達）

光線のように まっすぐビームによる「光線グラフ」（レンズ、ドップラー、屈折率、ホイヘンス辺、波の干渉で 御用達）

の二つを使ってきたわけです。

今度は、波を

上から 静かな湖畔に 水滴を落とす 「波紋グラフ」を 使います。

干渉というのは、２つ以上の波源から出た波が 重なりあって、強くなったり、弱くなったりすること。

これは 定常波と 同じ現象。強めあうところが 腹。弱めあって、波が起こらない部分が節。

特に 光の場合、強め合う腹の部分では 明るくなり、波が起こらない節の部分は 暗くなる。（まったく 光がなくなるわけではない）

１．二つの波源からでる波の 腹曲線と 節曲線の グラフ。

これは センター試験が 好きなグラフです。

波源の種類は

「同じ位相の波源」ｖｓ「逆位相どうしの波源」

違いは、２点の垂直地等分線が

「腹曲線になる ｖｓ「節曲線になる」

の 違いだけです。

曲線が 入れ替わりますが、曲線のでき方は 同じ。

曲線を描くのは 適当でいい。

定量を求められるのは、ふたつの波源を結ぶ線分上だけ。

１．１．ふたつの波源を結ぶ線分上の 腹と節の位置を定式

「同じ位相の波源」ｖｓ「逆位相どうしの波源」

２点の中点が

「腹になる」 ｖｓ「節になる」

腹の点から 腹の点までの距離は、「定常波のちょうちょ型の写真」と まったく同様だから、

ちょうちょの長さ＝λ/２

とやって 絵を描けば どこに どのくらいの腹が存在するか 帰納的に求めることができる。

「ヤングの実験」

干渉系の問題では

明るい線：☆Δ＝ｍλ

暗い線：☆Δ＝ｍλ＋λ/２

という形を定式することが 求められる。全パターンを データベースすれば 簡単に 答えられるので 得点しやすい。

これは 何を 定式しているかというと

「光路差」です。記号で書くと「☆Δ」☆マークは デルタの右上に書いてください。私のオリジナルの記号です。

一方、「行路差」は 単に 「 Δ 」と 書いてください。

行路差と 光路差の違い？

行路差は ものさしで 測った距離の違い。ｖｓ 光路差は 行路差を屈折率ｎ で かけて、 真空での波長の長さだと 何個分か換算しやすくした長さ。

基本的に光路差しか つかいません。

定式すると 「☆Δ＝ｎ・Δ」です。

これを 「☆Δ化 式」と 名づけます。

さて なぜ☆Δが 生まれるか。それは ホイヘンスの時に考えた 兄弟の寓話によって 説明できます。

ひかりは ホイヘンス辺という棒をもった 兄弟と 仮定してください。

兄弟が 波動性による２種類の現象によって、引き裂かれます。兄弟が 離れ離れになって、再開したときに 位相が ずれることによって、干渉が起こり、腹と節が スクリーンに映し出される。

そのふたつの現象とは「回折」と 「反射」です。ちなみに前回 ホイヘンス辺で でてきた屈折という現象では、兄弟は 離れ離れにならず、一緒に 乗り越えましたよね。あれでは 干渉が起こりません。回折と 反射では 散り散りになるから 干渉しあうんです。兄弟ケンカです。

「回折系干渉」は ２種類。ヤング型 と 回折格子型。

「反射系干渉」は ４種類。薄膜型 と ニュートンリング型 と クサビ型と マイケル型 です。

じゃあ、まずは ヤング型。

☆Δ＝ｄsinθ

どうして ｄsinθか？は 絵で 説明します。後日。参考書の参考書では もうすでに 紹介してます。

カンタンにいうと、スクリーン上の点Xと 兄Aスリットと弟Oスリットを 結んだ三角形に XAと 同じ長さの点Bを 辺OX上に 作る。すると、XABは 二等辺三角形になる。しかも、近似的に、ABO は 直角三角形に なるので、OBはｄsinθ と 定式できる。

そして OBこそ ☆Δというわけ。ここに 波長が 自然数個 入れば、ちょうど 同位相の波が スクリーン上のX で 出会って、強め合う。

☆Δ＝ｄsinθの式を、ｘ とL で 表現すると、

θ＝０のとき 近似できて θ＝sinθ＝tanθ＝ｘ/L より

☆Δ＝ｄ（ｘ/L）

これは 三平方の定理を 近似して求めるよりも、上のように 三角関数の近似によって、求めてください。圧倒的にラクです。

同じ波源を 出た兄弟が、二つのスリットで ばらばらになり、スクリーン上で 再開するというわけ。

スクリーンと スリットは ｄ 対 L＝１対１０００００くらい 離れてますから、近似が できる。

「回折格子」

回折格子は 上の ヤング型が 大量に 起こると 思ってください。

ガラスの上に スリットがいっぱい存在しているってこと。

だから ヤング型と 同じ定式をする。

☆Δ＝ｄsinθ

「光が反射するときの位相変化」

自由端反射は ずれない。

固定端反射は πずれる。

πずれるということは、半分波長ずれるということ。

つまり、☆Δ＝ｍλのとき 暗い線の条件となり、弱めあうってこと。

単純に考えましょう。固定端反射の数が 大切。偶数回反射したら、もとにもどる。

「薄膜による干渉」

ここから 「反射系干渉」

ホイヘンス兄弟が 反射する兄と

屈折して 中に入って、反射してもどってくる弟 とに 別れる。

これは 幾何学の作業。

薄膜の厚さをδとすると

☆Δ＝ｎΔ

＝ｎ（２δcosφ）

スネル式より φは θによって 表現できる。

「くさび型薄膜による干渉」

上の 薄膜型に 対して かなり単純な 反射。

ふたつのガラスがある。兄弟が 上のガラスを透過して 入って、

兄貴が 上のガラスと空気で 反射する。

弟は 空気に 入って、下のガラスに 反射して

鉛直上向きに 戻っていく。

ふたつのガラスの隙間を δとすると

☆Δ＝ｎ・２δ

２枚のガラスの角度θと ガラスの重なった点からの距離ｘで

δ＝ｘ・tanθ＝ｘ・θ と 近似できる。

「ニュートンリング」

これも クサビ型と まったく同じ。ただ δの定式が 変化するだけ。

☆Δ＝ｎ・２δ

今回は三平方式

これは 絵で やります。

「マイケル型干渉」

実は、くさび形を そのまま 利用しているだけ。

☆Δ＝ｎ・２δ

半分、透過して 半分反射する鏡を 利用して、☆Δをつくる。

あんまりでません。

「波面で考える干渉」

平面波。

これは 津波だと 思えば想像しやすい。

津波が 斜めに防波堤にぶつかる場合、津波の防波堤に波しぶきをあげる見かけの速さは 津波の速度を 超えます。

これは 絵で 紹介します。

「フーコー車で 光の速さを定量」

「鏡をθずらすと、光は ２θずれて 反射する式」

熱力学データベース。

以下、目次は、物理のエッセンス、浜島清利。河合出版を 真似しました。

目次

１．固体と液体

「比熱」 「状態変化」

２．気体の熱力学

「状態方程式」 「分子運動」 「気体の内部エネルギー」 「気体の仕事」 「熱力学の第一法則」 「気体の比熱」 「断熱変化」 「代表的変化のまとめ」 「仕事と熱量の求め方のまとめ」 「熱効率」 「気体の混合」

１．固体と液体

「比熱」

化学と同じ。化学のデータベース参照。

「むくっと」

エネルギー保存則は はじめ 反応量 反応後 。

「状態変化」

「むくっと」から「と」が 抜けて「むく」になります。

つまり、質量の分だけポテンシャルエネルギーを 持っているってこと。

この定式を エネルギー保存則に いれるだけ。

２．気体の熱力学

「状態方程式」

これも化学のデータベースを参照。

気体のデータを求める定式は ３つ。

１．状態方程式（状態方程式は Joutai Eq.だから J4式と わたしは勝手に呼んでいます。）

なんで こういうダサい名前なのかというと、Equation of state という英語名を 直訳したからです。

PV=ｎRT

Rは Universal gas constant です。物理では 化学と違って、ほとんど 数値計算しないので Pa系の R＝８．３１J/mol・Kはあんまり 出てこない。

Pは １N/（１平方メートル）＝１Pa 単位。１気圧＝１００ｋPa。ヘクトは 使いたくない。

２．ボイルシャルル式（実は、拡大解釈すると、ボイルシャルルの式は ８つの変数があります。だから BolyleのBから B8式と 勝手に呼んでいます。Charlesは 忘れて下さい。）

PV/ｎT＝PV/ｎT

３．ポアソンの断熱式（これは 上の２つの定式と まったく同様の価値を持っています。「断熱なんて 高度な ことは 試験にでないし、この式は 与えられている」とか思わないでください。ちなみにわたしは ポア４式と呼んでます。Poisson）

P・（V＾５/３）＝P・（V＾５/３）

あるいは

T・（V＾２/３）＝T・（V＾２/３）

それぞれの式の解説。

状態方程式は 「点のイメージ」４つの変数のうち３つが わかっていれば、残りのひとつを 求めることができる。

どんな気体の状態だろうが 必ず 成立する。

次、ボイルシャルル式は 「２点間の移動のイメージ」前と後で 定式。８個中７個がわかる、あるいは、変化しなかった場合、ひとつの変数を 求めることができる。

やっていることは ふたつの状態方程式を R＝R で つなげているだけ。

次ぎ、ポアソン式。「一様な気体が 瞬間的に 断熱変化したときの、２点間の 移動イメージ。Poisson」ボイルシャルルに 毛が生えたようなもの。

Vのγ乗。γ＝Cp/Cv＝５/３

なんで Vの５/３かっていうと、証明すれば わかるんだけど、証明がわかっても、５/３を 思い出すきっかけにはならない。そこで ごろあわせ。

PV×（V＾２/３） 「BoAさんのPVのVが ３分の２以上、断絶。」

うーん。 ポアソン Vの３分の２乗 断熱変化。

PVは Promotion Video で Vは VTRのVです。

というわけで 気体に起こる変化を 「上の３つ の式」と、「エネルギー保存則」と 「気体分子のmol数 保存式」を 使えば、すべての問題が 解けます。グラフとテーブルを書きながら解きましょう。

ピストンにおもりがある場合は、力学の力のつりあいを使って、定式します。

「分子運動」

分子運動を ナノスケールで 捉えることで、「気体の温度を 気体分子の運動エネルギーで 定式」したり、「気体の持っているポテンシャルエネルギーである内部エネルギー定式」します。

先に 全体像を 紹介します。

気体分子１個ずつで 考える系

「壁への力積と運動量保存式」→「１秒間に 壁に当たる回数ν式」→「ずらーっと１秒間の平均力積＝ポンポンっとν回力積」

気体分子N個ごとで 考える系

「ずらーっと１秒間の平均力積＝ポンポンっとν回力積を N倍して N個化する」→「三平方で平均速度式」→「力と圧力の関係式」→「状態方程式と得られた圧力式の比較」→「Tを 運動エネルギーで定式」→「一個の気体分子のエネルギーをT で定式」→「N個の気体分子のエネルギーを Tで定式」＝「内部エネルギー定式」

ここまで 一連の流れを 覚えてください。イメージが あれば、ちゃんと 導き出せるようになります。

ここは 絵がないと きついので、後日、絵を 入れます。

一応、参考書の参考書で すでに 紹介しています。

「気体の内部エネルギー」

internal energy

気体の内部エネルギー式 これは 一応、気体のポテンシャルエネルギー扱いしてください。

この式は ３つの捉え方があります。ｋ は ボルツマン定数。Boltzmann Constant です。

U＝N×（ｍｖ・ｖ/２） ＝N・KineticEnergy

＝N×（RT３/２Na） ＝N・（ｋT３/２）＝N・u

＝ｎRT３/２

共通しているのは、

「ひとつの気体分子が 持っている運動エネルギーをN個 足し合わせたものが 内部エネルギー」ということ。

ひとつの分子がもっている運動エネルギーは

u=１・K =（ｍｖ・ｖ/２） =（RT３/２Na） ＝（ｋT３/２）

U＝N・K＝ｎRT３/２

それで 結局のところ、使う式は

U＝N・K＝ｎRT３/２ ばっかりです。u の式は、Uを N分の１ したと考えれば 導けます。

覚え方。ｎRTは 状態方程式と一致しているから すぐに 覚えられます。問題は 係数です。

この係数は Cｖと一致します。Cv は Constant なのが Volume だからCv。定積mol 比熱。

Specific heat at constant volume：Cv

一致するのは 深い意味はありません。そういうわけで

「渋い兄さん」と 覚えてください。

Cv＋R＝Cp になることからも、３/２Rであることがわかります。

Cp＝５/２Rですから。しかも、γ＝５/３＝Cp/Cv です。

Specific heat at constant pressure：Cp

これらの係数の関係からも、３/２ であることは 事実どうしの構造の中で 導くことができる。

「気体の仕事」

気体のする仕事。

W＝P × V

＝（F/S）×（S・L）

＝F×L

Wに 関しては（V,P）グラフを 書くことによって、理解することができます。

（V,P）グラフの データベース。

１．V切片と点Aから 点Bを結ぶ曲線と V切片への垂直に降ろした射影がつくるカーテンの面積が Wを 表す。

この面積は ベクトルです。方向がある。

右に動くと、気体は 外に 仕事をしている。（つまり 気体がダイエットエクササイズをしている）

左に動くと、気体は 外から 仕事をされている。（つまり、エクササイズをさぼる。）

２．V軸とP軸の中間の ４５度方向に T軸があると 仮定する。

これは あくまで 目安です。（V、P）グラフ上で 同じ温度の場所は、直角双曲線というか

ｙ＝１/ｘ

の形をしています。

でも、この 直感的な グラフの見方は 強力です。覚えておいてください。

「熱力学の第一法則」

The first law of thermodynamics

熱力学の第一法則というか

「気体の エネルギー保存式」です。

定式の仕方は もうおなじみですね。「はじめ、反応量、反応後で 分析して定式」です

はじめ 反応量 反応後

↓ ↓ ↓

（はじめの気体のポテンシャルE）＋（エクササイズをサボるW）＝（後のPE）

－（エクササイズするW）

＋（給食食べるQ）

－（げろっきゅーQ）

ポテンシャルエネルギーは U＝ｎRT３/２

変化には 「気体混合系」ｖｓ「気体非混合系」がある

「気体混合系」のうち

「はじめ→後」で どういう変化があるかというと ４種類。データベース。

Isothermal change isovolumetric change isobaric change, adiabatic change.

cf. http://www.saburchill.com/physics/chapters/0119.html

エネルギー保存の特徴 使える式

等T温変化 ΔU＝０ よって ｜W｜ ＝｜Q｜ 、 J４ B8

等V積変化 W＝０ よって ｜ΔU｜ ＝｜Q｜ 、 J４ B8

等P圧変化 W＝PΔV よって ｜CｐｎRΔT｜＝｜Q｜ 、 J４ B8

断熱Q変化 Q＝０ よって ｜ΔU｜ ＝｜W｜ 、 J４ ポアソン

具体的にどういう「テーブル」（あたら得られた条件を テーブルの形にして 整理した表）にして データを 整理するかは、wikihikagleの物理まとめページを参照。

下図サンプル。

状態１ → 状態２

P １００ｋ ５０ｋ

V ５ １０

T ３００ 等温 ３００

このテーブルを ズらーっと 並べればいい。このとき どういう変化なのか を しっかり対象化して、状態のJ4 B8 ポアソンで 求められないなら、エネルギー保存式を 定式する。

ちなみに Wは （V,P）グラフから 求めることができます。

単純に面積を求めればいいだけです。積分をすれば、どんな形でも、その関数がわかれば、積分で計算することができる。

でも、普通の良心的な大学は、つまり 東大後期以外は、物理で積分をさせることは ありません。だから 面積を求めるのはたいてい、四角形か 台形のみになります。

四角形は、等圧変化。台形は バネのついたピストンによる変化です。この変化は、隠された 第５番目の変化です。まあ、特別視する必要もないんですが。

「気体の比熱」

U＝N・K＝ｎ R T３/２ の式より、

１molの気体を １Kあげるのに必要な Joule は？

この式の場合は、U＝ １・R・１・３/２ ＝３R/２ ジュール

です。これを mol比熱 : heat capacity といいます。（「むくっと」の場合は、１ｇ の物質を １K上げるのに 必要なジュールでした。今回は 「えぬくっと」というわけ）

３R/２は Cｖと一致します。Cv は Constant なのが Volume だからCv。定積mol 比熱。

一致するのは、エネルギー保存式を 定積変化において 定式すると １molのガスで １度上げればいいんだから、

１・R・T・３/２＋Q＝１・R・（T＋１）・３/２

Q ＝ １・R・１・３/２ ＝３R/２ ジュール＝Cv

さて もうひとつのmol比熱。Cｐ。定圧mol 比熱。

Cv＋R＝Cp 。

Cp＝５/２R、γ＝５/３＝Cp/Cv

エネルギー保存式を 定圧力変化において 定式すると １molのガスで １度上げればいいんだから、

１・R・T・３/２＋Q＋ｐΔV＝１・R・（T＋１）・３/２

ところで 状態方程式より ｐΔV＝１・RΔT

このときΔT＝１だから ＝R

Q ＝ １・R・１・３/２ ＋R＝５R/２ ジュール＝Cp

Cv ＋R＝Cp

＊＊ちなみに Qは ヴェクトルです。プラスマイナスの方向がある。だから、すべてplusで 置換しています。

「断熱変化」

なぜか この変化だけ、特別扱いされていますが、他の変化と 同等に扱ってください。

ポアソン式の証明は 東大なら でます。

証明は 参考書の参考書で 書きます。

断熱変化が起こるのは、

１．変化が急に起こる。

２．断熱素材で 容器を覆う

３．他の空気の流入がない。

この条件が起こったときです。たいていは ポアソンと エネルギー保存式で すべての変数を だすことができる。

あと、よく出されるのが、断熱変化と 単振動。

振動は すばやく起こるので、断熱変化扱いできる。

ma=－KX の形を 断熱変化の式を使って、表現してください。

「代表的変化のまとめ」

（V,P）グラフにおいて 等T、P、T、Q変化 が どういう曲線になるか データベースしましょう。

「仕事と熱量の求め方のまとめ」

「気体の エネルギー保存式」において エネルギーは 体重 と 例えます。

定式の仕方は もうおなじみですね。「はじめ、反応量、反応後で 分析して定式」です

はじめ 反応量 反応後

↓ ↓ ↓

（はじめの気体のポテンシャルE）＋（エクササイズをサボるW）＝（後のPE）

－（エクササイズするW）

＋（給食食べるQ）

－（げろっきゅQ）

ポテンシャルエネルギーは U＝ｎRT３/２

げろりと 吐けば やせられる。

中の気体が 仕事をすれば、 やせられる。

仕事を さぼれば、体重が増える。

「熱効率」

efficiency=(中の気体分子が 外へ エクササイズしたW）/（食べた給食Q）

これが Carnot cycle

エンジンの効率は ？これで 日本車の燃費がいいわけが わかる。

「気体の混合」

今までは、非混合系の問題だけを 考えてきました。

これからは 新しく気体が混ざる場合を 考えます。

１．新しく出てくる式は ３つ

１．１．mol保存式

容器 A の n mol と 容器B の N mol は 混ざった後でも ｎ＋N mol

１．２．容器がつながっていると かならず 圧力が一致。でも、容器同士で 温度が 異なることがある。気体というのは 断熱的で、温度が伝わる速度が 遅いのだ。

１．３ 真空に 空気が 拡散しても、それは 断熱変化ではなく、たんなる拡散。

温度T というのは、気体分子の 運動エネルギーの和でしたよね。

ということは 真空に 気体分子が 広がっても、気体分子の速度が 変化することはないので、温度が 変化することはない。

これは エネルギー保存式を 定式すれば すぐにわかる。

「気球問題」

気球問題は あんまり でないんですけど、一応、データベースしておきましょう。

０．「ｋｇ式」

物理では ｋｇを 使って 状態方程式を利用するので、mol 質量M を M [ｋｇ/mol ] として 置換する。

よって 気体の質量は ｎmolで ｗ＝M・ｎ

１．「密度ρ式」

ρ＝ｗ/V [ｋｇ/Litter]＝M・ｎ/V

２．「密度の状態方程式 」

↑の式と 気体の状態方程式 で V を 消す。

PV＝ｎRT と V＝Mn/ρ より

P（Mn/ρ)＝ｎRT

右に 定数項を 集めると、

P/ρT＝R/M ＝定数。

つまり、地球上の どこにあろうが、空気であれば、↑の「密度の状態方程式」は 成立する。

だから、気球の中でも、気球の外でも、上の式が成立するので、ボイルシャルル８式と 同様に、

P/ρT＝P/ρT

が 成立する。

この式を 特によく使います。

「ぺー パー ローティーン式」と 覚えてください。

林家ペー と 林家パー子 が ローティーン であった時代を 思い浮かべてください。

そして ふたりが 気球にのって どこまでも 笑いながら、飛んでいくさまを 思い浮かべてください。

P / ρ T

ぺー パー ロー ティーン です。

使い方はカンタン。

（気体の内側の気体のデータ ）＝ （気体の外の 外気のデータ）

２．気体の力学

２．１．アルキメデスより 浮力定式

ｆ＝（ρV）ｇ

ρ は その気体の温度での 気体の密度。V は 熱気球のバルーンの体積。

このρを求めるために ρが 上の ペーパーローティーン式が 必要になる。

２．２．つりあい式

熱気球が 空中で 静止するには、？

浮力＝空気の重力＋かご、バルーン、人間の重力

空気の重力を ちゃんと いれることに 気をつけて。忘れがちです。

だって、空気の重さの違いによって、浮力が 生まれるわけですから、無視できるわけないんです。

電磁気データベース

以下、目次は、物理のエッセンス、浜島清利。河合出版を 真似しました。
目次
１．電界と電位 「電気」 「クーロンの法則」 「電界」 「電気力線」 「ガウスの法則」 「電位」 「電界と電位の関係」 「導体の性質」
２．コンデンサー 「コンデンサーの基本」 「電気量の保存」 「合成容量」 「極板間への挿入」 「電位による簡易計算」 「コンデンサーの充電と放電」 「エネルギー保存則」 「極板間の引力」
３．直流回路 「オームの法則」 「直列と並列」 「電圧降下と等電位の判定」 「キルヒホッフの法則」 「電流計と電圧計」 「ジュール熱」 「特性を持った部品」 「理想的なダイオードを含む回路」 「直流回路とコンデンサー」
４．電流と磁界 「磁界」 「電流が作る磁界」 「電流が磁界から受ける力。電磁力」 「ローレンツ力」
５．電磁誘導 「電磁誘導」 「相互誘導」 「自己誘導」 「コイル・コンデンサーの過渡現象」
６．交流 「交流のまとめ」 「電気振動」
７．電磁界中の荷電粒子の運動 「電界中の荷電粒子の運動」 「電界による荷電粒子の加速・減速」 「磁界中の荷電粒子の運動」 「電磁界中での荷電粒子の運動のまとめ」

１．電界と電位

「電気」

すべての物質は、電気的に plusと minusで できています。もっとも 外の電子が くっついたり、離れたりすることによって、電荷の移動が起こります。これが電流です。

別に、電子だけが 電流を生むわけではなく、荷電イオンだって 電流を生みます。

でも、物理に関しては、電子の移動しか扱いません。それが化学の電気化学と違うところです。

また、電子を 数字のように 理想化して扱いますので、やっていることは、現象を見るというよりは 決められたルールの中で 数学を解いているようなものなんです。

その最たるものが、「点電荷」「試験電荷」という考え方です。

実在の世界では、電荷したイオンや 電子が そこに存在するのですから、大きさや重さが あるわけですけど、数学化する物理では、荷電粒子の運動を考えるとき以外は、考えません。

理想化された点としての 電子なのです。また、そこから 陽電子という考え方も出てきます。陽電子が 実際に 存在できるかどうかとかは どーでもいいんです。数学化してるだけですから。

一個の電子は －１．６×１０の－１９乗[C]を持っていますが、陽電子は ＋１．６×１０の－１９乗[C]の電気量をもっています。

この陽電子を ある程度の数を集めて、ひとまとまりにした大きさを持たない ＋１[C]の電気量を持つ陽電子の塊を 「点電荷」「試験電荷」と呼びます。電子を持ったお荷物。

これを 整数倍したものが ＋Qクーロンの電荷 です。これが すべての基本。

ところで、電気という言葉は 日常よく使いますが、あまりにも あいまいな言葉なので、物理の世界ではあんまり 使いません。

じゃあ、あいまいになりがちな 電磁気学の言葉を しっかり 定義しておきましょう。

電気：電気現象の原因となるもの。

電荷：電気の構成元。つまり 体積を持たない 電子、陽電子の塊と 思ってください。

帯電：電荷が存在すること

静電気が発生する：帯電する

分布電荷：点電荷が ２次元、３次元に ばらばらに 存在すること。

導体：電荷が 動く

絶縁体：電荷が 動かない

導体の接地、アース、Earth：すべての 電荷を吸収して、０にする。中性にする。あるいは、絶対電位を ０Vにする。

中性：電荷がない

誘導：導体で plusの電荷が minusの電荷をひきよせ、逆もまた 真。静電誘導とか よく言われますが、静電という言葉は 要りません。

分極：絶縁体の ひとつひとつの分子を 誘導させる。

CRT、陰極線管、ブラウン管：Cathode Ray Tube

陽極：Anode

陰極：Cathode

「クーロンの法則」

上の点電荷の考え方を 利用して、力を 発見します。私たちは 力が存在して はじめて その存在を観測することができる。力を 生まない場は 仮に存在していたとしても、気づくことができない。

この世の中には、「実際に さわることで 伝わる力」ｖｓ「離れた場所から、空間を変形させて、伝わる力」の 二種類が存在します。

前者は 接触力、摩擦力、垂直抗力。

後者は クーロン力、電磁気力（ローレンツ力)、重力、強い力、弱い力。

空間を 歪ませることで 伝達するので、伝えるために 媒介するメディアは 必要ありません。

また、空間を 歪ませるスピードは アインシュタインちゃんよると 光速です。重力が伝わる速度も、クーロン力が 伝わる速度も、電磁波が伝わる速度も 光速です。

じゃあ

クーロン力。

これは 重力と アナロジーさせてください。万有引力の定式と まったく同じです。

違うのは、引力以外にも、斥力があること。他は同じ。

定式するときの注意は、

方向を決めること。

と

大きさを決めること。

を 別々にやること。一緒にやろうとするから、みなさんの頭のCPUは フリーズしてしまう。

以下、図参照。

A。ベクトルの合成は 解析幾何学

ちからと ちからを 足し合わせるのは、要するに、幾何学で 辺の長さを定式するのと まったく同じです。

つまり、辺の角度を 決めるのが、クーロン力の方向。

そして、辺の大きさを決めるのが、クーロン力のおおきさ。

ってこと。

こうなっちゃうと もう 物理ではなくて、数学ですよ。単純に、辺の長さが、クーロン力定式の 書くのが面倒な文字式になるだけで 数学Ⅰの問題と 何も 変わらない。

ベクトルの足し算は 「平行四辺形」にするのを やめてください。これは 中学生の考え方。高校生は、高校で習った ベクトルの足し算をやってください。

こういうふうに ベクトルを 動かして、つなげて三角形を 作るイメージ。

また 辺の長さを求める定式は ３種類。

A1. 直線状の 引き算、足し算

A2. 有名角度の 直角三角の比定式

A3. 余弦定理。

どうして 「平行四辺形」を かくな と 言ったかというと、余弦定理を 使いたいからです。ベクトル同士の和は 余弦定理ですべて 解くことができる。