【目次】
☆数学の参考書概論
☆正確な計算を 実行する方法。「先枠」という新しい言葉。
☆共感覚を 利用して、数学を 感じる。
☆関数というのは 「インプット」→変換→「アウトプット」の変換のこと。
☆元数と 次数の説明。言葉をちゃんと 使い分けましょう。
☆式変形の基礎。「もとに戻せる自信」
☆知識が少ないほど、テスト本番中に いろんな解法を 発明してしまうという逆説。
数学の参考書概論。
参考書には 役割によって ２種類あります。
１．理解し、覚えるための参考書。
２．問題の種類を 調べるための参考書。
１は その名のとおり、理解しやすくて、覚えやすい参考書のことです。数学は 理解ｖｓ記憶する 学問です。その両輪が 機能してこそ、数学で 点数が取れるようになります。
また 問題ごと 覚えるというか 「イメージできる」ように なってはじめて 数学を 使いこなせるようになります。
ですから 記憶の土台になる、英語で言ったら、単語集にあたる参考書を 用意する必要があります。
２は １で 補い切れない 数多くの問題を 調べるための参考書です。１の参考書で 土台を作った後に、これを 使うことで、１のデータを 立体的に学習できます。
つまり、これも 英語の学び方と 同じ、「縦、横、奥の学習」です。
横方向は 「法則」でした。
これを １ で 学びます。
縦 は 「種類」でした。
これは １と２ を 両方使って学ぶ。１だけでは 全種類を 学べないからです。
奥 は 「具体例」でした。
これは ２を 使う。１の具体例だけでは 少なすぎる。多くの問題を 解かずに、「経験する」ことによって 記憶することを 助けるのです。
この考え方は、数学ⅠA、ⅡB、化学、物理、生物でも 同様です。実は 国語も です。
二元論的学び方、勉強法は 普遍的です。
ですから すべての教科について 同じように学べるのです。
一度、学び方を 身につければ、すべての科目に 使えるのですから、すべての科目が 得意になっていくのです。
もちろん、大学に入って、専門を 学ぶときも、まったく同様に学ぶことが できます。
「参考書」は、「論文」「実験データ」「ジャーナル」「専門書」「電子ジャーナル」などに 名前を変えるだけです。
問題は 自分で作って、自分で解答を作る。
やっていることは かわりません。ですから 「お勉強」も「お研究」も 名前が違ってもやってることは 同じなのです。
正確な計算を 実行する方法。「先枠」という新しい言葉。
計算を正確に行うための最終奥義。数学、物理、化学で 「先枠を保存する」とは？
先に 枠を 作ってから 埋めていく という思考の流れを 「先枠を保存する」 と いいます。
計算を正確にする最終奥義。「 先に 枠を作る。」
１．今までの 計算方法。「前から ひとつひとつ 書いていく」
さて、今までは、１のやりかたで 高校教師、中学教師から 教わったはずです。
たとえば、
－３ｘｇ（ｆ－ｓ－ｔ－ｘ－５４ｑ）
を 展開する場合、
＝－３ｘｇｆ＋３ｘｇｓ＋・・・・
のように ひとつひとつ 左から 埋めていく。
これの悪いところは、
１．１、左ほど 正確に計算できるが、右に行くほど、あいまいになっていく。
１．２．金魚の糞みたいに ながーーーくなって、式そのものの形が悪いので、ミスをしたとしても、それに 気づけない。
２．これからの計算方法。「先に枠を作ってから、埋めていく。」
たとえば、
－３ｘｇ（ｆ－ｓ－ｔ－ｘ－５４ｑ）
を 展開する場合、
＝ （ ） ｆ （ ） －ｓ （ ） －ｔ （ ） －ｘ（ ） －５４ｑ
のように 先に、（ ｆ－ｓ－ｔ－ｘ－５４ｑ）の中身を 書き出す。「コピぺ」
そして、（ ）の空欄の部分に －３ｘｇ を入れていく。「代入ＬＥＴ」
＝ －３ｘｇｆ ＋３ｘｇｓ ＋３ｘｇｔ ＋ ３ｘｇｘ＋ ３ｘｇ・５４ｑ
↑ ここに 書いてから、
３・５４＝１６２を 付け加える。
大切なのは、上下で 項の位置を 「保存する」こと。
こうすることで、整理された式を 維持することができる。
１の方法だと、ぐちゃぐちゃした式を 書いているから、ミスに気づけなかった。
２のように エクセルシートのように きっちり 式が 整理されていれば、正確に 式を処理できる。
ちょっとした 工夫で、みちがえるように計算が正確になる。
【追記】
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ぼくの持ってる知識、知恵、全部書いてます,
Just because NO JOB is finished, until the PAPERWORK is done.（書かなきゃ意味ないよ。伝えて残さなきゃ意味ないよ。誰でも読めるようにしなきゃ意味ないよ。英語にしなくちゃ意味ないよ。世界中の人が読めないと意味ないよ。日本人しか読めないのは意味ないよ。）
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追記おわり。
共感覚を 利用して、数学を 感じる。
数学の 文字や記号に対して 感覚を 与える。
それが 共感覚。
具体的に どういうことかっていうと
たとえば 変数 x , y , z vs 定数 a , b ,c
変数に対しては ダイナミックな 赤色。
定数に対しては スタティックな 青色。
という 刺激を あらたに 増やす。
数学以外にも 化学だったら 臭素 Br は 臭いにおい の感覚を 共感覚する。
無味乾燥に 思われがちな 数学の記号に対して もっと 愛着を もつためにも それぞれの 記号について ちゃんと 知って、記号に 自分の感覚を 伸ばすのだ。
シグマΣ も インテグラル∫も Sum の ｓ から来ている とかね。
じゃあ 数学 記号について データベース。
１．図形の点 の 名前規則
点O おー Origine 原点 （ふつうは ゼロと 見間違いやすいので オーのなかに 一本たてに 線を入れる。図参照）
点A、B、C、D 静的な点
点P、Q 動的な点
点S、T 接点
点H、I 垂足
２．図形の 記号
円C Circle
曲線C Curve
直線 ｌ Line
３．数の 種類。
実数 R Real Number
複素数 C Complex Number 複素数というのは 数の中に 二つの 変数が入っている ということ。つまり ベクトル ということ。ベクトルを 数っぽく 扱う。
有理数 Q Quotient だっけ？忘れた。互いに素な 数字の 分数で表現できるという意味。
無理数
自然数 N Natural Number
整数 Z ドイツ語なので どうでもいい
それぞれの
大文字アルファベットに 縦線を 入れてください。図を参照。
【ChatGPT】
はい、以下にそれぞれの数について詳しく説明します。
実数 R (Real Number):
実数は、数のうち、有理数と無理数を含めたすべての数のことを指します。つまり、実数は実数軸上に存在する数のことで、負の数や小数も含みます。実数は、数直線という図形を用いて視覚的に表現することができます。例えば、1や-3.14などは実数です。
複素数 C (Complex Number):
複素数は、実数と虚数の和で表される数のことです。ここで、虚数とは、-1の平方根をiとしたときに、iを含む形の数のことを指します。つまり、複素数は、a + bi (ただし、aとbは実数で、iは虚数単位)という形で表現されます。複素数は、平面直角座標系を用いて、実数軸と虚数軸に沿ってプロットすることができます。例えば、2 + 3iや-1 - 4iなどは複素数です。
有理数 Q (Rational Number):
有理数は、互いに素な整数pとqを用いて、p/qの形で表される数のことです。ここで、qが0でないとします。例えば、1/2や-3/4などは有理数です。有理数は、分数として表現されるため、分数の性質を持ちます。
無理数 (Irrational Number):
無理数は、有理数で表現できない数のことです。つまり、小数点以下が無限に続くような数や、平方根や円周率などが無理数に含まれます。無理数は、数直線上で有理数との間に隙間があるような位置に存在します。例えば、√2やπなどは無理数です。
自然数 N (Natural Number):
自然数は、1, 2, 3, 4, ...という数のことです。つまり、0よりも大きく、かつ整数である数のことを指します。自然数は、加算や乗算などの基本的な演算を行うことができます。
整数 Z (Integer):
整数は、正の整数、負の整数、および0の集合です。つまり、自然数に加えて、負の数も含まれます。整数は、数直線上で自然数に対して、正の方向と負の方向の両方に存在します。例えば、-5や0、10などは整数です。整数は、自然数と同様に加算や乗算などの基本的な演算を行うことができます。
以上が、数学における代表的な数の種類になります。これらの数は、数学の基礎となる概念であり、幅広い分野で応用されます。例えば、実数は微積分や解析学、物理学などで重要な役割を持ち、複素数は電気工学や量子力学などで利用されます。また、有理数や整数は数論や代数学などで扱われます。数学を学ぶ上で、これらの数の概念を理解することは非常に重要です。
３．集合記号。
実は
数学というのは この集合記号だけで すべてを 表現できます。
つまり 「よって 」とか 「というのは 」とか 「下図より」とか 日本語の 気持ち悪い用語を つかわなくても 数学は 記号だけで 論理的に 記述できるのです。
（おーーー どうやって 数学記号を 出すのか いまいち わかんない。どーしよー。しかたないので 図を参照。）
４．演算記号。
-は そのまんま。自由に使ってください。
は 小学校と違って、高校からは ・ くろぽっちん で 表現します。Xと ×が 似ているからです。
/は使いますが、÷は つかいません。
たいていは －－－－－－－と 線を 引いて 分母、分子で表現します。
＝は 数字のイコールが 「ひとつの点」として 成立しているイメージです。
一方、
= は 「すべての 点」において 成立しているイメージです。
三本線 イコールは 「代入のとき」「文字を置換するとき」「恒等式」のときに 使います。
≒ Nearly Equal これは 化学でよくつかう。
Σ シグマ sigmaは 離散的 数字を 足すときに使う。
∫ インテグラル integralは 連続的数字を 。
dx differential これは 「小さい幅」
dt これは 「小さい時間」
d/dx で ｘで 微分する
∫dxで ｘで 積分する
【ChatGPT】
数学とは、自然界の現象や抽象的な考えを分析し、論理的に解明するための学問です。そして、その解明には数式や記号が欠かせません。
まずは、集合記号を用いた表現について説明します。集合とは、同じ特性を持つものをグループ化したものです。例えば、「全ての自然数」という集合は、1, 2, 3, 4, ...といった数の集まりです。数学では、このような集合を記号で表現します。そして、それぞれの集合には演算が定義されており、その演算を記号で表現することができます。
次に、演算記号について説明します。最も一般的な演算である加算や減算は、それぞれ「＋」「－」の記号を用います。掛け算は、「×」ではなく、「・」や「＊」が一般的です。割り算は、「/」を使用しますが、「÷」は使われません。割り算の分子と分母を表現する際には、線を引いて表現します。
等号の記号「＝」については、数字のイコールが「ひとつの点」として成立しているイメージを持っています。つまり、左右の式が同じであることを表します。一方、「＝」は、「すべての点」において成立しているイメージを持っています。この記号は、恒等式を表現する場合や、代入の際に使用されます。また、「≒」は、ほぼ等しいことを表します。これは化学の式などでよく使われます。
シグマ「Σ」は、離散的数字の総和を表現する際に使用されます。例えば、「Σn」と書くと、nが1から始まり、2、3、4と増えていく間の数値を全て足した値を表します。
インテグラル「∫」は、連続的な数字の総和を表現する際に使用されます。例えば、「∫f(x)dx」と書くと、f(x)という関数を微小区間dxで積分することを表します。dxは微小な幅を表します。
微分については、「d/dx」で表現します。これは、xで微分することを意味します。また、積分については、「∫dx」と表現します。これは、xで積分することを意味します。dtは微小な時間を表し、微分や積分の式にdtは微小な時間を表し、微分や積分の式に用いられます。例えば、「dx/dt」と書くと、xがtに対してどのように変化するかを表します。
また、微分や積分においては、微小な量を表現するdifferentialやdifferential elementが重要な役割を果たします。differentialは、微小な変化を表す数学的な表現であり、例えば「dx」や「dy」などと表現されます。微小な変化を積分する場合には、積分記号の後ろに微小な変化を示す「dx」や「dy」を付け加えます。
数学には、多様な表現方法がありますが、それらの表現はすべて記号によって行われます。数学の記号や表現方法には、学問的な正確さや効率性が求められます。しかし、その背後にある考え方や論理を理解することができれば、数学が持つ美しさや洗練された論理構造を楽しむことができます。
５．ベクトル
安心して → マークを つかってください。正式な記号です。
私は 一筆書きするのが 好きで、 －を かいてから みぎー ひだりうえーに かきます。
大学に入ると、やたらと 小文字のアルファべトに たてに一本線を入れて 記号で 表したがるひとが いますが 私は 字が汚くなるので あんまり いい記号だとはおもってません。
大文字に 一本線をいれるのは いいんですけど 小文字だと 字がつぶれる。
まあ わかればいいので テキトーに いきましょう。
好みの問題ですので、どっちを 使っても かまいません。だれも それで減点することはないですから。
【ChatGPT】
ベクトルとは、大きさと向きを持つ量を表すために使われる概念です。一般に、ベクトルは矢印で表現されます。この矢印の長さは、量の大きさを表し、矢印の向きは、量の向きを表します。また、始点と終点がある矢印の場合、始点を原点とし、終点の座標で表すことができます。
数学では、ベクトルは様々な場面で使われます。たとえば、物理学では力や速度を表現するのに使われ、コンピュータグラフィックスでは、オブジェクトの位置や向きを表現するのに使われます。また、機械学習やデータ分析の分野でも、データを表現するのに使われます。
ベクトルの表現方法は、さまざまです。たとえば、縦ベクトルと横ベクトルの2つの形式があります。縦ベクトルは、複数の要素を縦に並べたもので、横ベクトルは、複数の要素を横に並べたものです。また、ベクトルの要素は、数値だけでなく、文字や記号、関数なども含むことができます。
ベクトルの演算には、加算、減算、スカラー倍、内積、外積などがあります。加算や減算は、同じ形式のベクトル同士で行われ、要素ごとに足し引きされます。スカラー倍は、ベクトルの全ての要素に、スカラー（数値）をかける操作です。内積は、2つのベクトルから1つの数値を得る演算であり、外積は、2つのベクトルから1つのベクトルを得る演算です。
ベクトルの性質には、大きさ、向き、ノルム、単位ベクトル、直交などがあります。大きさと向きは、ベクトルの基本的な性質であり、ノルムは、ベクトルの大きさを表す値です。単位ベクトルは、大きさが1で向きが同じであるベクトルのことであり、直交は、2つのベクトルが90度で交わることを表します。
ベクトルは、数学のみならず、物理学や工学、コンピュュータ科学、経済学、社会学など、様々な分野で活用されています。たとえば、物理学では、力や速度を表すベクトルを使って運動方程式を表現し、工学では、力やモーメントを表すベクトルを使って機械の挙動を解析します。また、コンピュータグラフィックスでは、ベクトルを使ってオブジェクトの位置や向きを表現し、機械学習やデータ分析では、データをベクトルとして扱うことが多いです。
ベクトルは、幾何学的にも扱われます。たとえば、平面上の2次元ベクトルは、x軸とy軸に沿った座標で表現されます。また、空間上の3次元ベクトルは、x軸、y軸、z軸に沿った座標で表現されます。これらのベクトルの幾何学的な性質を理解することで、物理学や工学、コンピュータグラフィックスの分野での応用が容易になります。
ベクトルは、微積分や線形代数の分野でも重要な役割を担います。たとえば、微分方程式を解く際には、ベクトル場を用いた方法があります。また、線形代数では、行列とベクトルを使って線形方程式を解いたり、固有値や固有ベクトルを求めたりします。
最後に、ベクトルは、数学の中でも重要な概念の1つです。ベクトルの理解は、数学を学ぶ上での基礎となるため、しっかりと学ぶことが大切です。
関数というのは 「インプット」→変換→「アウトプット」の変換のこと。
この インターネットも 関数で できてます。
たとえば
「戻る」ボタンを インプットして 「 コンピューターが 計算し 」 「前の画面が表示」されて アウトプット完了。
この コンピューターの計算 ｆ を 「変換」：「Function」 と 呼びます。
（ちなみに Funcitonつまり 変換のこと 自体も 「関数」と 呼びますし、 「インプット、変換、アウトプットの流れ」も 「関数」と 呼びます。
だから 言葉が 重なっていて なんか いやなのです。ですから 、関数という曖昧な言葉を使わずに、
私は ｆ のことを 「変換」と 呼びます。「流れ」のほうは Mapping と 呼びます。そっちのほうが しっくりくる。 Mapping というのは 写像のことです。）
Functionの ｆ を とって y=f (x) と 表現するのです。
ここでは ｘ が インプットで ｆ（ ）が 変換 ｙ が アウトプットです。
もともと
「関」は ファンの当て字に 「函」 が 使われて 関数 というのは 函数 と 呼ばれていました。
函 には 箱という 意味があります。つまり 箱数です。
ｆ（ ）という 箱の中に Xを すぽっと いれると Y が ポンッと 出てくる イメージだからです。
それが 「関」という 当て字が 使われるようになって、言葉の意味がなくなってしまいました。つまり 誤訳です。
これが 関数のイメージ。
X の 部分に 点っぽい数字を 入れたり、 ベクトルを 入れたり、 集合を 入れたりして、楽しむ。
つまり これが 数学です。（New Desigｎ パラダイス 谷原章介 参照）
くわしくは 清史弘の 行列 を 読んでください。
【ChatGPT】
関数は、数学において非常に重要な概念の一つであり、多くの数学分野で使用されています。関数は、一つの集合から別の集合への写像であり、入力と出力の間の対応を表します。
具体的には、関数は「入力」と呼ばれる数値やオブジェクトを受け取り、それを特定の方法で変換して「出力」を生成します。関数は、数学的な式やグラフとして表現されることが一般的で、一般に「f(x)」という形式で表されます。ここで、xは入力であり、f(x)は出力です。
例えば、f(x) = 2xという関数を考えてみましょう。この関数は、入力された値を2倍にして出力するものです。例えば、x=3の場合、f(3) = 2×3 = 6となります。
関数は、数学的な概念だけでなく、現実世界でも広く使われています。例えば、インターネットの戻るボタンのような機能も、関数として表現できます。戻るボタンを押すと、コンピューターが前の画面を表示するために必要な処理を行います。この処理は、入力されたボタンを受け取り、前の画面を表示するための出力を生成する関数として表現されます。
関数は、数学的な問題や現実世界の問題を解決するために使用される有用なツールです。関数は、多くの分野で使用されており、数学、物理学、統計学、コンピューターサイエンスなどの分野で重要な役割を果たしています。
元数と 次数の説明。言葉をちゃんと 使い分けましょう。
「元（げん）」とは 「変数」のことです。英語で Variable（ｓ）
たとえば、２元連立方程式とか ３元連立方程式とか、中学のときからやってますよね。
このとき 元というのは 「変数」という意味で使うのに、その後、使わなくなります。
日本語というのは 本当に あやしい言語ですね。
そこで 私は しっかり 変数という意味を 使いたいときは、「元」と 書きますのでよろしくお願いします。
多変数関数で はなく 多元関数です。
英語で、１元は Single variable。
２ Double variables
３ Triple
４ クアドゥルップル などなど
つぎに 次数。英語で Power。
次数というのは 「乗」「べき」「冪」 つまり、 「何回同じものを かけたか」を あらわす単位です。
ｎ ・ ｎ ・ ｎ ・ ｎ ＝ｎ＾４は ｎ の ４乗。英語で The forth power n かな。
どうして こんな わかりきったことを 書くかっていうと、
「次元」という よくわかんない言葉があるからです。
次数と 元数が くっついたような 変な言葉。
これは Dimention の 誤訳です。
「次元」は 忘れていい単語です。無視してください。
ふつう 「３D空間」つまり「３次元空間」という 言葉は、ちゃんとした 数学言葉に直すと 「３元空間」です。
x、y、ｚの 三つの元で なりたっているからです。
ところで ２元論 の 元は Element 、要素 という意味で 、 ここでの 変数、 Variableという意味から 離れます。
【ChatGPT】
「元」とは数学で変数を表す言葉であり、英語でいうところのVariable（複数形はVariables）に相当します。たとえば、2元連立方程式とは2つの変数がある連立方程式を表し、3元連立方程式とは3つの変数がある連立方程式を表します。このように、「元」という言葉は変数の意味で使われます。
また、「次数」とは、「乗」「べき」「冪」といった意味の単位で、同じ数値を何度か掛け合わせることを表します。たとえば、n×n×n×n＝n＾４は、「n」の4乗を表します。英語で言えば、The fourth power of n と表現されます。
そして、「次元」という言葉は、しばしば誤解されがちな言葉であり、正確には「元の数」という意味を持ちます。たとえば、「３次元空間」とは、「３元空間」と言い換えることができます。これは、x、y、zの3つの元で表されているためです。
最後に、「２元論」という用語について説明します。これは、集合論における要素を扱う理論であり、「元」という言葉はここで要素を表す言葉として用いられます。また、「Variable（変数）」という意味からは少し離れますが、「要素」という意味での「元」という言葉もしばしば使用されます。
式変形の基礎。「もとに戻せる自信」。
式変形というのは、同値変形のことです。
たとえば
両辺を 二分の一乗して、できた式を、
両辺を 二乗して もとの式に 戻せるか
両辺 微分して 、
両辺 積分 戻せるか
両辺 ｌｏｇる 、
両辺 ｅｘｐる 戻せるか
そういうこと。
ちなみに
「両辺 ○○ する」というのは
「右辺 と 左辺を 別々に 関数Ｘの 中に入れて、Ｙに 変換する」ってこと。
こうして、「両辺 ○○する」という定量的変換に
グラフの中に入れて 定性的 絵的イメージを 与えてください。
ぐっと 式変形に 対して 自信が もてるようになります。
ちなみに、
式変形するとき、同値変形だからって ⇔マークを 書きまくるのは やめてください。
⇔ であることは 当たり前だから、毎回書く必要はないんです。
知識が少ないほど、テスト本番中に いろんな解法を 発明してしまうという逆説。
数学のテストで やってはいけないのは 「自由な発想」です。
そのテストのときに 初めて 見出した解法で 絶対に 解かないでください。新しい解法を 思いついてしまうということは はっきりいって、不勉強であったことの 証明です。
もし、すでに 解法が わかっている問題だったら、なにも迷わずに、解答までの経路を 予想し、そこまでいけるはずです。
でも、解法がすぐに 思いつかないと、いろいろな方法を 思いついてしまう。
数学を 正確に解くコツは、すでに わかっている方法を 演繹することです。
その場で はじめて 気づいた 新しい解法を 帰納的に実験するのは とっても 危険な行為です。
そういうのは 普段の勉強のときにやっておくべきで、受験の本番では やってはいけない。
よーするに いいたいことは
「できるかぎり 多くの解法をデータベースに することが 最高の 受験対策だ」ってことです。
＊テスト本番で みなさんが その解法を選択したとき、一度、胸に手を当てて、考えてください。その解法は みなさんの データベースのどこに 載っていましたか？もし 載っていないなら 試さないでください。
【要約】
数学のテストでは、初めて見つけた解法を使わず、既にわかっている解法を使うことが大切です。テストの前に、いろいろな問題に対して解法を練習しておくことで、自分のデータベースを増やすことができます。そして、テストの時に新しい解法を思いついても、データベースにない場合は試してはいけません。正確に解くためには、すでに知っている方法を使って、解答までの経路を予想することが大切です。
数学Ⅰデータベース。
場合の数、確率のデータベースは 改めて、くわしいバージョンを作ります。
論理と集合に関しては、
大村平の 上の本を 読んでください。わかりやすいです。私は 思わず この本を読んで鼻血がでました。それくらい 名著です。
論理と集合を 理解したいなら、wikihikagle と この本を 熟読してください。数学が 好きになります。
というわけで、
私のデータベースは 細野真宏、馬場敬之、清 史弘、大学への数学の著者群、西岡康夫、チャートの著者群 などなど によって 成り立っています。
物理、化学と違って、このひとこそ という人が いないというのが 特徴です。
数学Aは 数研出版の問題集の目次をまねしたんですけど、気に入らないので、チャートの目次を 利用することにします。
目次
１．数と式
「整式の加法、減法、乗法」 「因数分解」 「整式の割り算」 「実数」 「平方根の計算」
２．２次関数
「関数とグラフ」 「２次関数のグラフ」 「グラフの移動」 「２次関数の決定」 「２次関数の最大最小」 「いろいろな関数」 「２次関数のグラフと方程式」 「２次関数のグラフと不等式」 「２次方程式の解の存在範囲」
３．三角比
「三角比」 「三角比の性質」 「三角形と三角比」 「三角形の面積」 「空間図形と三角比」
４．式と証明
「恒等式」 「等式の証明」 「不等式の証明」 「整数の問題」 「条件と集合」 「必要条件、十分条件」 「命題と証明」
１．数と式
「整式の加法、減法、乗法」
１．整式の整理。整式の表現方法。「＜＞法」
整式というのは
（係数 というか 定数）×（変数）を ひとつの単位とした和の塊です。
変数の 次数によって、分類されます。
（３次）＋（２次）＋（１次）＋（０次）
整式の計算では、毎回、毎回、ｘｘｘｘ＋ ｘｘｘ ＋ｘｘ とか ｘを書くのは面倒なので、ｘを 省略して、以下のように 表現するほうがラクです。でも、フォーマルな 描き方ではないので、試験の答案では 書かないほうがいいです。下書きや センター試験のときは、この描き方をしたほうが、思考も、計算も高速化します。
以下、ｘの３次を ｘｘｘ 、ｘの２次を ｘｘ 、ｘの１次を ｘ 、で表現します。（ｈｔｍｌだと 表現するのが面倒なのでこうすることにします。わかりゃ 記号なんて なんだっていいんです）
３９ｘｘｘｘ＋２３ｘｘｘ＋ ５ｘ＋５１
＝＜３９、 ２３、 ０、 ５、 ５１＞
こうやって 係数だけを 抽出して書きます。これを 「係数抽出＜＞表現」と 私は 呼びます。だれも こういう表現を教えてくれませんが、誰もがこういう表現を やっています。
上の、ｘｘの係数は０なので、ｘｘで表現するときは、ちょっと 空白を入れるのが味噌です。
こうすることで、計算ミスが防げます。
＝＜３９、２３、 ０、５、 ５１＞こうして ｘを 書かないだけでも、すっきりして 速くかけていいんですが、整式同士の積でも 割り算でも、和でも 差でも 効果覿面です。
たとえば 上の式に ｘ＋１を かける とします。
（３９ｘｘｘｘ＋２３ｘｘｘ＋ ５ｘ＋５１）（ｘ＋１）は 面倒ですよね。
＜３９、２３、 ０、５、 ５１＞×＜１、１＞は カンタンです。計算も簡単です。
＝＜３９、２３、 ０、 ５、 ５１
３９、２３、 ０、 ５ 、 ５１＞
＝＜３９、６２、２３、５、 ５６、 ５１＞
あぁ カンタン。よかったですね。NDT hikaruがあって。私は この方法を 高校時代に教えてもらえませんでした。いちいち、ｘを書いて、計算していたんです。発狂しますよね。
割り算の場合も、同様です。
＜３９、２３、 ０、５、 ５１＞÷＜１、１＞
３９、－１６ １６ 、－１１
＜１、１＞ ） ＜３９、２３ 、 ０ 、５、 ５１＞
３９、３９
－１６
－１６、－１６
１６、５
１６、１６、
－１１ 、 ５１
－１１、 －１１
６２
ｘを 書かないだけでも、こんなにカンタンです。
＊＊＊＊＊＊もし、ｘｙ＋７ｘｘｙｙ＋２３ｘｘｘｙのように 変数が 二つの場合、ひとつの変数にのみ 注目し、その他の変数を 定数の文字扱いして、上と同様に表現します。
ｘｙ＋７ｘｘｙｙ＋２３ｘｘｘｙ を ｘ の変数とすると
＜２３ｙ、７ｙｙ、ｙ、０＞
一方、ｙの変数とすると、
＜７ｘｘ、ｘ＋２３ｘｘｘ、０＞
となるわけ。変数がいっぱいあることを 多変数と呼びます。多変数のときは、こうして 「１変数化する」のが 常識。
２．乗法の公式。
これは 使い慣れてください。たすきがけについても 説明不要でしょ。特別な方法は ありません。計算を練習すればするほど、得意になれる。１００mass計算の後は、１００乗法計算を お願いします。
「因数分解」
因数分解して 何がうれしいかって言うと、「次数が下げられる」ことがうれしい。
たとえば 方程式。
（ｘの４次式）＝０ このままだと ｘの解を求められない。
そこで 因数分解して 次数を下げる
（２次式）（二次式）＝０に すれば ｘ の解をもとめることができる。
（ｘ と ｙの４次式）＝ ０ の場合でも 同様。これを因数分解して 次数を下げることで、ｙとｘの関係式を求めることができる。
あるいは、整式＝０ で 整式の解の答えが 整数のとき、積の形にすることで、会を絞ることができる。
２次以下の 因数分解は、教科書に載っている通り。簡単にできます。
But、
３次、４次は 工夫しないと、因数分解できない。
１．「３，４次の因数分解技術。」
１．２変数のとき、１変数注目。で コウベキ順にする。たすきがけ。
２．ｘｘ＝ｔ のように 置換できるか 試す。
３．３変数のとき、一番小さい変数で くくる。
４．一番高次の係数と 定数 を比べる。因数定理。
５．多変数で 整式が 対象式のとき a＋b＋c abc, ab＋bc＋caで くくりだせる。（交代式の場合、二変数なら a-b でくくりだせるんだけど、これを 使わずとも、上の １、つまり １変数注目で たすきがけすることで 求めることができるの）
＊＊。問題の製作者が 普通、因数分解を 考えるとき、積の形を あらかじめ作っておいて、それを 展開して、受験生に「 展開した式を 積の形のしろ」と 言ってくる。だから、ときどき、普通 思いつかないような 式変形が 解法の中ででてくるときがある。
でも 良心的な問題を 作る大学なら、そういう変形を つかわないと 答えられないような 問題は作りません。
「整式の割り算」
１．整式の割り算は かならず 上で紹介した「＜係数＞簡易式」で やる
センター試験で かならず出される整式の割り算。もし あなたが 時間が足りなくなるとしたら、変数を 書いてるから。計算スピードは そのものは 速くならないけど、（そろばん暗算チャンピョンでもない限り） 工夫することで 書く文字を減らすことで、迷いがなくなることで、全体の解答スピードは 上げられる。
「実数」
１．無限小数の分数化。
差分して、繰り返しを打ち消すイメージ。
２．絶対値を くっつける 心理は 「計算の結果 正負どっちでもいいから 結果は正として扱いますよ記号」
たとえば物理で ｜FoーF｜＝ｆ どっちが大きい力か わからないけど、ちからの大きさが ほしいとき、絶対値をつける。
だから 方程式に わざわざ ｜ｘ－３｜＝６ のように 絶対値を つける気にはなりません。これは 計算記号を むやみに いじってるだけです。絶対値で 遊んでいるだけ。
絶対値で 遊ぶためにも、「絶対値を消す」
２．１．「絶対値を消す方法」
絶対値の中身が 正のときと 負のときで 場合わけする
以上。
だから 式の中に、絶対値が ２個あったら、４回場合わけする。このとき グラフを利用しながら、場合分けするのが 二元論。
「平方根の計算」
１．√に 対して 気持ちわるさを抱くのは、絵を描けないから。
二元論を 数学で 使うというのは 「 定式ｖｓグラフを 常に ペアにする」ということです。
√ のグラフは なぜか √を 習ったときに グラフを 見せてもらえないから、気持ち悪いんです。
２．「両辺、平方根をとる」ｖｓ「両辺、二乗する」の 恐ろしさ 、図がないと 同値性を 保てない。だからこそ、絵を書く必要がある。
「ｘｘ＝A を 解くと、ｘ＝＋√A 、－√A 」という 呪文を 唱えさせられるのが 「中学校のお勉強」でした。
こういうことをやるから、数学を 嫌いになるんです。
「方程式を解く」というよくわからない演算を 強制的にさせられるのが 中学までの 数学のお勉強です。
「解く」って なんですか？
「解く」じゃなくて、「関数の中に入れる」というが 正しい感覚です。
ｙ＝ｘｘ の 二次曲線を 、放物線を 思い浮かべてください。（絵は 後日 入れます。）
A＝ｘｘ ですから、ｙ＝Aです。今、ｙ軸上のAから ｙ＝ｘｘ 曲線に 二つの方向へ
☆ ←A→ ☆ 飛び出して、曲線にあたって
↓ ↓
★ ★ ｘ 軸上 に 落としてください。
－√A ＋√A
これが 「解く」ではなく、「ｙ＝ｘｘの逆関数の中に入れる」という感覚です。
これを 逆関数といいます。普通は、ｘ軸から 飛び出して、ｙ軸へ という流れしか １，２年では 習わないんですけど、本当におかしい。３年になってやっと学ぶ逆関数。文部科学省は いったい何を考えてるんでしょうか。
これと 同様の感覚が log でもあります。
「両辺に log を とる」=「両辺 logる 」という言葉がある。これも 「ｙ＝log ｘ の関数の中に入れる」 という 感覚です。
というわけで、√を 考えるときは、つねに ｙ＝ｘｘ と ｙ軸上の点を 思い浮かべてください。
３．有利化。有理化。
√定数を 有利化するのは 対して、大切じゃないんです。
√変数を 有理化するのが 大切なんです。
積分計算や 極限計算をするとき、√変数の形で、計算できないときがある。それを 有理化することで、計算可能にする。それが 有理化の役割。
定数の有利化は 単なる 数字遊びです。
２．「２次関数」
「関数とグラフ」
１．ｆ（ｘ）＝（ｘ の式）というグラフ。
今まで、整式を やってきましたけど、整式も グラフの形にして はじめて 生命として 呼吸し始める。グラフが 描けない 数式は 死んでいるようなものです。
だから 、みなさんは 整式の展開や 因数分解が 嫌いになるんです。何のために やっているのかわからないから。数と文字で 遊んでいるようにしかみえないのが、グラフのない整式計算です。
整式の 展開や、因数分解は 結局、グラフを書くための 道具でしかない。展開で、グラフを 書いて、因数分解で 交点を求める。
じゃあ、今までの 整式を、グラフしてみましょう。
２．ｙ＝ｆ（ｘ）という 写像。Mapping。Image。
ｘ∈X →function → ｙ∈Y
Xという定義域（Domain）の要素ｘ が Yという値域（Range）の要素ｙ へ 変換する。
たとえば 缶ジュースを買いたい。
「１１０円を 入れて、スイッチを押す」（Input）→変換→「缶ジュースが 出てくる。」（Output）
自動販売機で ジュースが 買える皆さんは 、すでに この変換作業を うまく 使いこなせているんです。
Function とは 「変換」であり 「関数」です。
ｘ と ｙ の関係を （x、ｙ）空間で 描いたものが ｙ＝ｆ（ｘ）グラフです。
Graph とは Graphic Formulaを 短縮したもの。Graph の意味は、「描いた絵」です。
あるｘ に 対して、どんな ｙ の値をとるかを 一目瞭然に 絵にしたものが グラフです。
「２次関数のグラフ」
１．「２次関数の絵の描き方。」
１．１．「２次関数の 形」基本は 「３変数」
３つの変数が 決まると、２次関数は ひとつに決まる。
１．１．１．ノーマル
ｙ＝axx+bx+c
１．１．２．頂点型
ｙ＝a（x - p)（x - p)+ q T (p,q)
これが 一番よく使う。
この形にしてはじめて、具体的な グラフの位置がわかる。
平行移動の問題は この形で移動させる。
１．１．３． 解型
y=a(x-α)(x-β)
(x-α)(x-β)＝０ にして ｘ軸との交点を 求める。
「グラフの移動」
１．１．２．頂点型
ｙ＝a（x - p)（x - p)+ q T (p,q)を 移動させるだけ。
「２次関数の決定」
１．「２次関数の３変数を 等式条件から 求める」
「３変数」＝「３つの等式条件」
変数の数と 等式の数が 一致しているとき、かならず 変数を 求めることができる。
たしかに いろんな 等式条件があるんですけど、データベースに するまでもなく カンタンです。
結局、値を代入して、等式条件を だすだけ。
イメージは
（条件）→（等式条件 ｆ（a,b,c,）=0 ）（等式条件 ｆ（a,b,c,）=0 ）（等式条件 ｆ（a,b,c,）=0 ）、合計三つ。→ 変数a,b,c が求まる。
＊＊ コメントで リクエストを いただければ、等式条件の データベースを 紹介します。
「２次関数の最大最小」
１．動かない ２次関数の ｍ＆M を 定量
minimum and Maximum ｍ は 小さいので、小文字。M は 大きいので 大文字。
１．１．「２次関数」の曲線を描く。
定義域から 値域を 求める。値域のｍ と M を 求める。カンタン。
つまり 「グラフを書くこと」と 「ｍ＆M を もとめる」は 同値です。
２．動く２次関数の ｍ＆M を 定量
２次関数が動く場合、必ず、定義域は 定数です。
２次関数の位置によって、ｍ＆Mが 変化するのを楽しみましょう。
U型 の２次関数で データベース。
２．１．M ｍ型
頂点が 左に飛び出てる。
２．２．M ｍφ型
頂点が 中に入ってるけど、左側に頂点がある。φは 端の点が Mでないってこと。ファイ。空ってこと。
２．３．M m M型
ちょうど 頂点が 定義域の中間にある。
２．４．φｍ M型
２．２．と 同様に、右側に偏ってる。
２．５．mM 型
２．１．と 同様に 右に 頂点が飛び出てる。
この場合わけをすれば、すべての ｍ ＆M を とられることができる。
３．止まった２次関数と 動く定義域の ｍ＆M 定量
主語と 目的語は 違うけど、うえの ２ とまったく同様の 場合わけをすることになる。
定義域の 動き方は、
３．１．片方 びよーん型
０＜ｘ＜a のようなタイプ。
３．２．カニ歩き型
a＜ｘ＜a＋１ のようなタイプ。
幅一定で、カニ歩きするように 定義域が 動く。
「いろいろな関数」
上下に動ける２次関数と 動く定義域の ｍの関数。
動かす変数は a で 共通。
ｍ を a で 表現して、（a,f(a) ）の平面でグラフする。
「２次関数のグラフと方程式」
１．「２次方程式を解く」という言葉は 忘れてください。
これからは
「２次関数のｘ軸の交点を 定量する」と 行ってください。上の言葉は 百害あって０．１利もありません。
グラフという命を 式に与えてあげれば、
「判別式Dの正負 は 頂点の位置を表している」と わかります。
２．「解の個数問題」というか「交点の個数問題」
「解」という言葉は、グラフが 頭にない人が 作った言葉です。
たとえば 普通の数学の問題は
「2xx-8x+a=0 の解の個数をもとめよ」と書かれています。
でも グラフで 考える人は、
「ｙ＝2xx-8x+a と ｙ＝０ との交点の 個数をもとめよ」と 解釈します。
「２次関数のグラフと不等式」
１．「２次方程式」という よくわからない言葉から、「２次関数のグラフとｘ軸との交点」という生きたイメージを 捉えられるようになったら、今度は、「２次不等式」を・・・
「２次不等式」を「２次関数のグラフと、ｘ軸との関係」という生きたイメージへ。
判別D式だけで 定式できます。
２．動く２次関数（１変数入り）の 不等式を満たす条件定式。
定義域によって、定式が変化するのが、動く２次関数の不等式の特徴。
２．１．不等式を満たすような 定義域の範囲データベース。
２．１．１．直線型定義域。
ｘ∈R、定義域は ｘ軸 すべての直線。
－∞ ーーーーーーーーーーーーーーーー→＋∞
上の １は、この場合のみを 考えてます。
２．１．２．半直線型定義域。
＋ーーーーーーーーー→＋∞
たとえば －３９から ＋∞までの定義域
２．１．３．線分型定義域。
＋ーーーーーーーーーー+
たとえば -29 ＋５１
２．２．動く２次関数と 線分の位置関係定式データベース。
U と ＋ーーーーーーーーーー+が どういう位置関係になるか。
これは 絵で 説明します。
今まで、なんとかく 行き当たり、ばったりで こういう問題を解いていたから、数学がよくわからないんです。こういうのは トリビアですけど、しっかりと体系的に、データベースになった 知識を 手に入れれば、どれも 同じ問題に見えてくる。
「２次方程式の解の存在範囲」
１．解の存在は 「ちょうちょ図形」で 定式。
ｘ軸上の線分と ２次関数グラフが 交わったことを示す定式。
ちょうちょ図形で 成立している定式は３種類。
ｘ軸上の線分の端の点の座標を、ｐ、ｑ とすると、
１．１． ｆ（ｐ）とｆ（q）の正負式
１．２．頂点が軸より上下式。
これは 判別式Dの正負によって 定式。
１．３．頂点が 線分よりも 左中右式。
２次関数の頂点のｘ座標が ｐ や ｑ と どういう関係の場所にあるか定式。
２．固定した２次関数と 動く直線との交点の個数 定式。
「固定した２次関数と 動く直線との交点の個数」の解釈を 変えて、「動く２次関数と ｘ軸との交点の個数」 扱いできる。
たとえば、
ｙ＝xx＋ｘ＋１ と ｙ＝aｘ+２の交点を 求める。ｙを消して、
xx＋ｘ＋１ ＝aｘ+２ として 整理すると、
「xx＋（－a＋１）ｘ－１ ＝０ の 式のｘ軸との交点の個数」
このように 解釈を 変えることで、「直線と曲線の交点の存在性 」を、「ｘ軸との交点の存在性 」という身近な存在に買えることができる。
というわけで、後日、絵を 入れます。
３．三角比
「三角比」
「三角関数ではなく 円関数である」とは 西岡康夫の言葉である。
１．sin、cos、tan の定義式は 円関数。
ｘ、ｙ平面上の、原点中心の 半径１ の 円を 「単位円」と 呼んで、特別扱いする。
この円の上の ある点を 点P（X,Y ）とする。
この単位円を ぐるぐる回るグラフが 円関数。
円関数の定式は （X、Y）＝（cosθ、sinθ）
P は Point のｐ。
原点O（オー）（Origine の O）と 点P を 結んだ線分OP のことを 「動径」と呼ぶ。動く半径という意味。
ｘ軸を 始線と 呼び、ｘ軸と動径との左回りのなす角度を θとする。Theta。シータ。（左回りを 正とする。右回りを負とする。ふたつの方向があるベクトル的な シータという変数。通称、媒介変数。パラメーター。Parameter 。ぱらぁ↑メター。XとY は 独立な変数であるθに 従属している。）
このP から ｘ軸と ｙ軸に、直交するような 線分を 垂らす。
ｘ軸との直交点を C、ｙ軸との直交点を Sとする。
それぞれの 交点の座標は、
C（X、０）＝（cosθ、０）
S（０、Y）＝（０ 、sinθ）
と 置換する。これが cosθ と sinθの 定義。
ちなみに、tanθの定義は、「OPの傾き」です。
tanθ＝Y/X ＝sinθ/cosθ
ここでまとめます。
「OPのX成分のおおきさが cosθ」
「OPのY成分のおおきさが sinθ」
「OPの傾きのおおきさが tanθ」
どこにも 三角形が 出てきませんよね。だから 三角比とか 三角関数とか 言わないで、円関数って いったんです。
たしかに 直角三角形で 幾何学的に、定義するのは cos ＝ｘ/ｒ 、sin＝ｙ/ｒ を 覚えるためには 有効なんですが、それ以上の 効果はありません。
２．θは つねに３０度か ６０度の絵を描く。
絵を描くときは、常に具体的な θ＝３０ とか ６０ にする。４５ 度だと、わかりにくくなる。
３．９０－θ、９０＋θ、１８０－θ、１８０＋θの変換式。
（cosθ、sinθ、tanθ）＝（ｃ、ｓ、ｔ）と 置換する。
θの値が すべての式で 一定の問題中では、θを 書くのが めんどうなので、よく置換します。そちらのほうが、計算が楽だし、計算ミスしにくくなる。
また 置換することによって、見やすくなる。
３．１．θのplus→minus変換。
さっそく 見やすくやりましょう。
（円関数 －θ系）→（円関数 θ系）
ｃ →ｃ 、ｓ→－ｓ、ｔ →－ｔ
３．２．「９０度系変換。」
９０度系変換をしたら、ｃがｓに ｓが ｃ に とりあえずなる と覚える。正負は 変換後に あわせる。
ｃ →ｓ 、ｓ→ｃ、ｔ →１/ｔ
じゃあ 正負を 考える。やることは カンタン。３０度の絵 と １２０度の絵と６０度の絵と－３０度の絵 と －１２０度の絵と－６０度の絵 のように ５枚用意する。
１２０度→３０度
たとえば cos１２０を sin３０で 表現すると どうなるか？
cos１２０＝－ sin３０
↑負 ↑正 だから minusを くっつける。
他も同様。
３．３．「１８０度系変換」
１８０度系変換をしたら、正負は 変換後に あわせる。
ｃ →ｃ 、ｓ→ｓ、ｔ →ｔ
これも５枚の絵。３０度の絵 と ２１０度の絵と１５０度の絵と－２１０度の絵と－１５０度の絵 のように ５枚用意する。
たとえば cos２１０を cos３０で 表現すると どうなるか？
cos２１０＝ cos３０（×－１）
↑負 ↑正 だから minusを くっつける。
他も同様。
大切なのは、暗記ではなく、具体化して 導き、思い出すこと。
「三角比の性質」
１．円関数方程式。
あくまで 三角関数とは 呼びません。指導要領に そむきます。
だって、２次関数は 二次曲線を 表現するのだから
円関数は 円 を 表現する という 当たり前なことが 「三角関数」という言葉だと 伝わりませんから。
円関数は 解釈の違いによって、２種類のグラフを用意できます。
ひとつな θによる ｘ、ｙ平面の 円のグラフ。円グラフ。
もう片方は ｙ＝cos ｘ によるｘ、ｙ平面 の くねくねグラフ。
この両方を駆使して、sin、cos、tanを 二元論的に 理解していきましょう。
１．円グラフと 直線の交点 定式。
たとえば、sinθ＝１/２
○ と Y＝１/２ の ２つの交点。sinθは Y軸に おろした点S の ｙ軸の大きさでしたね。だから Y＝１/２ なんです。
同様に、cosθ＝１/２なら X＝１/２ と ○ との交点。
同様に、tanθ＝１/２ なら ｍ＝１/２と○との交点。
tanθ＝ｍ （傾きは 普通、小文字 ｍ で 象徴させる）
特に、tanの傾きｍの値は、円の点（１．０）の接線上のｙ座標と 一致するのを 利用する。
ところで 傾きというのは
θは 有名角 なので 求めることができる。
これを 「有名角の θ定式」と 呼ぶ。有名角は ０、３０、４５、６０、９０ と その他。
１．２．くねくねグラフと 線分との交点。
たとえば、sinｘ＝１/２
ｙ＝sinｘ＝１/２ は サインカーブと ｙ＝１/２ との交点。
１の円関数と違って、交点が いっぱいあるというイメージが広がる。
実は、１の円関数でも 交点が いっぱいあるイメージは 広げる必要があるんですが、それは 数学Ⅱで やります。
３．円関数と 不等式。
上の２と 同様に、二つのグラフを使う。
円関数のほうが、わかりやすい。
４．sin、cosの 入った方程式を解く。
たとえば
３ｃｃ－ｓｓ＝２
ｃ と ｓ は 結局、範囲が －１から １の変数でしかない。
だから ｙ＝（２次関数）＝０ で 「２次関数とｘ軸との交点定式」と まったく同じイメージで、この方程式を解けばいい。別に新しいことは何もないのだ。
でも、小手先の変換に 新しいものがある。
ｃとｓの関係において、成り立つ式があるからだ。「２次関数とｘ軸との交点定式」と まったく同じイメージを 利用するために、この成り立つ式で変換作業をする必要がある。
ｃ と sは このままだと、２変数なので、ｃｃ＋ｓｓ＝１ という等式条件で 変数を減らす。
このデータベースは 数学Ⅱで まとめてやります。それは すべての変換は 数学Ⅱで 出揃うからです。すべての変換を 利用することで、方程式がはじめて 解ける。
というわけで 数学Ⅱのデータベース参照。
「三角形と三角比」
１．平面幾何学に cos、sinを 利用して、辺の長さや 角度を求める。
平面幾何学において 一番大切なのは、「三角形の成立条件を 満たしているか 先に調べること」でした。
その三角形が SSS、SAS、ASA（SSAも）の どれに当てはまっているかわかれば、正弦定理を 使うべきか、余弦定理を使うべきかわかります。
また、円の中の 二つの三角形（一個の四角形）の場合、 SSS、SAS、ASA（SSAも）のどれにも当てはまらないにもかかわらず、ひとつの三角形に決定することができる という特殊条件もあります。それは 「○と□データベース」で 紹介します。
２．正弦定理。というか sin定理
sinのことを 明治時代のひとは 正弦という名前をつけたらしい。余弦は cos。
だから サイン定理という名前のほうがぴんとくる。
２．１．正弦定理の特徴は？
２．１．１．三角形の中で、ひとつの角とその対辺の長さがわかっているなら、S→A。もうひとつのわかっている辺の長さから 、角の大きさがわかる。
A→S。もうひとつのわかっている角の大きさから 、辺のの大きさがわかる。
この言葉の意味を理解してください。
SASあるいは、ASAによって、三角形が ひとつに決まるからこそ、上の定式が 可能なんです。
定式は A、Bが 角度で、a,bが対辺の長さとすると
a：b＝sinA：sinB
あるいは
a÷b＝sinA÷sinB
あるいは
a：sinA＝ｂ：sinB
あるいは
a÷sinA＝ｂ÷sinB
（A対Bの 「対」につかう ： コロンマークは もともと ÷ と 同じ意味ですから！印刷ミス防止のために ：が÷に なっただけですから！ざんねん）
２．１．２．外心の 半径がわかっているなら、
S→A。もうひとつのわかっている辺の長さから 、角の大きさがわかる。
A→S。もうひとつのわかっている角の大きさから 、辺のの大きさがわかる。
この 言葉の意味を 理解してください。
これが 外心円○とその△の 三角形の成立条件です。三角形の形は ひとつに決まりませんが、円周角と その対辺の関係は 常に一定というわけです。
定式は
（直径の長さ）sin（ある円周角の大きさ）＝（その円周角の対辺の長さ）
３．余弦定理というか cos定理。
３．１．SSSでAを出す。あるいは、SASで Sを出す。
cos定理は 常に同じ式で書きましょう。私は
（ある角の対辺の長さの２乗）＝（ある角の左隣の辺の長さの２乗）＋（ある角の右隣の辺の長さの２乗）－２（ある角の左隣の辺の長さ）（ある角の右隣の辺の長さ）cos（ある角の大きさ）
の形で いつも書いています。なれないうちは、この形のみで書きましょう。
式は、三平方の定理を 改造したものと思ってください。
正確にデータを 上の式に 代入するコツは 注目する角のとなりに 辺の長さ ｂ とｃ を 書いて、そのｂ とｃ の両方を ひとつの ○で 結ぶことです。
とくに 右辺の最後の項は ５つの要素によって成り立っています。５つを指差し確認しながら、代入しましょう。
（－１）（２倍）（左の辺）（右の辺）（cos 注目角）
さて、
センター用に、速く計算するコツを 紹介します。
SSS型の三角から、cosAを 求めたいなら、まず、ｂｂ－ｃｃ－aa を計算して、2bcを ÷する必要がある。
まず ｂｂ－ｃｃ－aaについて。
最初から ノートするとき、
ｂｂ
－）ｃｃ
？？
－）aa
★★ ÷２ｂｃ
のように 縦書きで 計算すると、効率がいいです。これ、私のオリジナルの速算。
４．センター試験の 数学ⅠA特有の ○と□ の定式
これは 絵を交えてやります。
「三角形の面積」
１、三角形のS式。
Space 定量。これはSAS型。
S＝（ｂｃsinA）/２
この式が 数学の△を求める定式のなかで 最もよく使います。
ヘロンは 屁論です。絶対に使いません。
２．三角形面積から 内接円の半径定式。
S＝（ｂｃsinA）/２＝（a+b+c）r/２
このように 面積の式によって、辺の長さを求める定式は 「明示されない定式」として 有名です。
名前がつかない定式 とでも 言いましょうか。知っていないと、絶対に テストで 答えられない定式なのに、教科書、教師は 絶対に この定式に 名前をつけません。
どうしたことでしょうか。「ヘロンの公式」などという 一度も使わない定式には 立派な名前がついているのに、
S＝（ｂｃsinA）/２＝（a+b+c）r/２
には 名前がない。名前がないから 対象化できない。覚えられない。整理できない。定式できないの 悪循環が 起こってしまう。
じゃあ、どぞ。「三角形面積から 内接円の半径定式。」こういう名前で どうでしょうか。
「空間図形と三角比」
空間図形も 包丁で切ってしまえば、平面図形と まったく同じですから、新しいことは 何もないんです。
４．式と証明
「恒等式」
１．恒等式のイメージ。
方程式は 二元論的に、絵にすると、「ｙ＝ｆ（x）のグラフとｘ軸との交点」という解釈ができました。
恒等式は どうなるでしょうか？
答えは、二元論的に、絵にすると、「ｙ＝ｆ（x）のグラフとｙ＝ｇ（ｘ）グラフが 寄り添うように くっつきながら グラフが 一本になる。」です。
どのｘ を とってみても、ｆ（x）とｇ（x）は 同じ値になる。
all ｘ∈R で、ｆ（x）＝ｇ（x）が 成り立つとき、この＝は ＝ という 三本線の イコールに変わります。つまり
ｆ（x）＝ｇ（x）
これが 恒等式のイメージ。
上の式は、
ｆ（x）－ｇ（x）＝ ０ としても 同じです。
恒等式は、別名 「置換」です。
たとえば 「ｘ＋１ を ｔ で 置換する」と言った場合、
ｘ＋１＝ ｔ ｘとｔの 恒等式なんです。
あるいは 「代入する」という言葉も 恒等式です。
たとえば ｘ＝ ３９ を ｙ＝ｘｘ＋ｘに 代入する というのは 恒等式を 入れているってことになる。
たとえば、整式の割り算の基本関係式。これも 恒等式。置換してるだけだから。
２．方程式と 恒等式の比較。
方程式は 点。Some。∃
恒等式は 線。 All 。 ∀
ALL のA を ひっくりかえした∀ 記号は よく使います。
「すべての実数ｘ で 」という言葉を 記号で 表現すると
「∀ｘ∈R」
シンプルで カンタンに かけますよね。慣れると、こっちの描き方が 楽になります。書きたくなります。
「ある実数ｙ で」なら
「∃ｙ∈R」
「よ」のカタカナ に そっくりな ヨ と∃。実際 区別はつきませんが、 たしか ExistのEを ひっくり返した文字だったような。たぶん。
じゃあ、ふたつを並べて、明示します。
方程式は 「∃ｘ∈R」で ｘｘ－ｘ－２＝０
恒等式は、 「∀ｘ∈R」で ｘｘ－ｘ－２＝０
つまり
方程式の答えは、ｘ＝２、－１
恒等式の答えは 「∀ｘ∈R」で は ｘｘ－ｘ－２＝０ が 成立しない が 答え。
たとえば、
「∀ｘ∈R」で、「∃ｓ、ｔ、u∈R」 は sｘｘ－tｘ－２＋u＝０
の場合、上の恒等式が 成り立つには、s=t=0,u=2 が 必要であるとなる。
恒等式は、∀ｘ∈Rの ｘ の次数の数だけ、等式条件が 作れる。
さて
ALL の ｘのすべてで ずらーーーーーーっと条件を満たす イメージ。
そして
Some の ｘが ぽつ ぽつ と 条件を満たすイメージ。
が お分かりいただけたと思います。
これで
すべてのｘ のとき あるｙ では ｙ＝ax＋ｂ＜０ が成り立つような aと bの定式をもとめろ とかいう問題でも 怖くないですよね。
（ちなみに、あるｙのとき、すべてのｘ では ｙ＝ax＋ｂ＜０ が成り立つような aと bの定式をもとめろ という問題と 上の問題は まったく別の条件だということが わかりますか？ふっふっふ。絵で 紹介します。アフィリエイトしてくれたらね。）
「等式の証明」
等式とは ＝ です。でも たとえば
「a+b+c=0のとき aaa+bbb+ccc=3abc となることを 証明しろ」
という問題での = は 恒等式です。方程式ではないので注意。（まあ、そんなことは テストで 出ませんけどね。一応、方程式の＝ なのか 恒等式の＝なのか 区別してくれませんから、敏感になってください）
１．A＝Bの等式の証明方法は ３種類。A→B、A→T←B、A←B
右辺から 左辺の形にするか、または その逆。
左辺をいじって、右辺をいじって 同じ形にするか の ３種類。
どっちにしても
A－B→０ の形にするのが、一番ラクかな。どうせ 同じになるんだ と 思って、変形していけば、その通り、同じになります。
等式条件が ある場合、等式条件の使い方データベース。
１．変数を ひとつ減らす。
２．形を保存したまま、対称式の要素を くくりだす。
３．連比なら 第３の変数で すべての変数を表現する。
ここらへんは 一般的に、どの参考書も、データベースが あまり 作られていない分野です。
私の細かいデータベースは 後日。お楽しみに。
「不等式の証明」
１．A＜B の証明。
１．１．「０＜B－A」 を 証明する。
０よりも 大きいことを 証明する方法は いろいろあるので、片方ゼロにしたほうが 証明しやすいのです。
私は この形を 「うさじい」と 呼んでいます。「左右 ジロー」「うさ じろー」「うさじい」NHK のマスコットは どーもくんと うさじい ですから。
また 両辺をあらかじめ、２乗して
０＜BB－AA を 証明することを 「うさじじい」と 呼びます。
これ以外の パターンは あんまりない。logを 使うときもありますけど 出ません。
１．１．１．「０より大きい」の 証明データベース。
A。２乗を作る。
強制平方完成。対称式の平方完成。
B。条件から 正のみで 表現する。
C。相加相乗絶対不等式をつかう
D。シュワルツ絶対不等式を つかう
「整数の問題」
1.mod の使い方に慣れる。
modulus モデュラス こと モッド。
感覚は、すべての整数を mod 5 なら、５列に 分類する イメージ。
２．積の形を作ることで、絞る。「セキボ」
３．連続した数は Combination
４．整数解をもつ 方程式という条件で 変数を 絞る。
５．素数系問題。
「条件と集合」
数学Aのデータベースで どうぞ。
「必要条件、十分条件」
数学Aのデータベースで どうぞ。
「命題と証明」
数学Aのデータベースで どうぞ。
数学Aデータベース
場合の数、確率のデータベースは 改めて、くわしいバージョンを作ります。
論理と集合に関しては、
大村平の 上の本を 読んでください。チョーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーわかりやすいです。私は 思わず この本を読んで鼻血がでました。それくらい 名著です。
論理と集合を 理解したいなら、wikihikagle と この本を 熟読してください。数学が 好きになります。
というわけで、
私のデータベースは 細野真宏、馬場敬之、清 史弘、大学への数学の著者群、西岡康夫、チャートの著者群 などなど によって 成り立っています。
物理、化学と違って、このひとこそ という人が いないというのが 特徴です。
本編の前に 今日のコラムを どうぞ。
「独学で 数学を 得意になるコツ。わかっている人に、イメージを 教えてもらうのが 最短の近道。」
数学が得意な人と、不得意な人の違いは、データベースにおいて 「条件→定式」が 整理されているｖｓされていないの違いであるということが 私の主張することです。
数学は 科学ですので、誰にだって 理解し、使いこなすことができます。
科学は、一般的なものです。一般的な頭の持ち主が 利用できなきゃ、一般的じゃないでしょ。
不得意レッテルを はがして、くちゃくちゃにして ゴミ箱に捨てて、利用可能レッテルを 貼ってください。
「条件→定式」を 練習すれば、誰にでも 「利用可能」なんです。
数学は 骨董品のように 並べて、遠くから鑑賞して 「エレガントやねぇ」と感想を 漏らすものではなく、単なる道具です。
先人の築いた そういう陳腐なエレガント主義は いいかげん 科学に持ち込むのはやめましょう。
だって、
たとえば 化学を学んでいて、酸素を吸い込んで、二酸化炭素を 吐くという行為に対して、「エンレガントやねぇ」と は 思いませんよね。
たとえば、Ti チタンよりも、フッ化水素のほうが 強くて かっこいいんだ！なんて 思いもよりません。
化学に えらいも えらくないも エレガントも エレガントじゃないも 存在しない。同様に、数学に 正弦定理より チョビチェフ関数のほうが かっこいい という思想は やっぱり 変なんです。
そういう 自分が 張ってしまっているレッテルを ちゃんと 対象化して、リセットすることを オススメします。
前置きが 長くなりました。とりあえず、場合の数と確率から やっつけてしまいましょう。
目次
１．場合の数と確率
「集合」 「集合の要素の個数」 「場合の数」 「順列」 「円順列・重複順列」 「組み合わせ」 「二項定理」 「事象と確率」 「確率の基本性質」 「独立な試行の確率」 「反復試行の確率」 「期待値」
２．論理と集合
「命題と条件」 「必要条件・十分条件」 「逆、裏、対偶」
３．平面図形
「三角形の辺と角」 「三角形の外心、内心、重心」 「円周角」 「円に内接する四角形」 「円と直線」 「方べきの定理」 「２つの円の位置関係」
１．場合の数と確率
「集合」
１．集合。Set。における 記号に なれる。
元。要素。Element.
集合の例。Kat-tun。Smap。 Kat-tun を K 、Smap を S と 象徴させる。
元は カットゥーンだと 亀梨和也、田口淳之介、田中聖、中丸雄一、赤西仁、上田竜也。
集合記号で 書くと、
亀梨和也、田口淳之介、田中聖、中丸雄一、赤西仁、上田竜也∈K
たとえば カットゥーンのメンバーの中で、新しく ユニットを つくったとする。ユニット名「たんぽぽ」。これは 集合T とする。たんぽぽのメンバーは 田口淳之介、田中聖。
つまり
田口淳之介、田中聖∈T
このとき 集合同士の関係を T⊂K
∈ の描き方は、C を 書いて、←棒を 加える。
∈の記号は ドイツ語の Enthalten ：「含まれる」の Eに 由来している。
⊂は C と 同じ描き方。大小記号の ＜ と 同じ起源をもった 記号。
右に 大きいものを 書く。
数学一般に言えることだけど、
小さい→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→大きい
という 順序で 書いてください。こうしないと、記号に対して イメージを 描きにくい。
田口淳之介∈Kat-tun Kat-tun のほうが 大きいというイメージ。集合に 含まれている 要素のイメージ。
たんぽぽ ⊂ Kat-tun のほうが 大きい集合というイメージ。
K⊂T、T⊂K の場合、K=T 、つまり、たんぽぽのメンバーである田口淳之介、田中聖 以外は カットゥーンを 脱退してしまって、二人で カッテゥーンを やっている場合、K と T が 一致する集合なので イコールで 結ぶ。
数でも、集合でも、結局、大小の感覚は 同じってこと。
集合における ゼロは φ。ファイ 。空集合 と 呼ばれる。
描き方は、丸 かいて、１ を 突き刺す。表記によっては、ゼロに 斜線とか Φ のようにかかれるので、見慣れないと、 きもちわるい記号のひとつです。
集合の表現には、
K＝{変数の宣言｜左の変数の特徴}
↑ 縦棒。
というのもあります。
たとえば
{Kut-tun メンバーの名前｜１９８３年生まれ}＝A
という 集合があったとする。
Wikipedia によると
A＝{上田、中丸}
というわけ。
２．ベン図。Venn's figure。John Venn という人が 考えたから、ベンズ。
○ と○ と □ によって 表現される。
全体集合を U 。ゆー。Universeのユー という 記号で 表したり、? 。オーム で あらわしたりする。普通、? は □で 表現する。
芸能界で 例えるなら、U は ジャニーズ事務所。あるいは ハロプロでも いいですね。
U の 中に、スマップやら News やら いろいろ な 集合がある。
互いに 掛け持ちしているメンバーがいない集合同士を 「K∩S ＝φ」。「K と S は 互いに 排反である 」という。
補集合。集合記号の 上に、バー を つけて 表現する。コンピューターだと 「￢A 」で 表現する。
まあ、表現しづらいので、
ここらへんは 図で 解説します。
「部分集合 の考え方。」
SMAP という集合の中に、x、y、ｚ という 要素が あったとする。
Smap の 部分集合は ？
{x、y、ｚ} {x、y}{y、ｚ}{x、ｚ}{x、}{y、}{ｚ} { φ }
の 計８種類。＝２の３乗。ｘと ｙ とｚ に 入るかｖｓ入らないか 聞いていくと、部分集合の数になる。
大切なのは、{φ} の 空集合お 部分集合に かぞえるということ。
３．集合を 整数で 考える。
上の例で、ジャニーズで 考えましたけど、普通は 数字で 考えます。
数の集合記号データベース。
Z は 整数。N は自然数。（大学受験では １からはじまる。正の整数。) Cは 複素数。
Q は 有理数。R は 実数。
互いの集合の関係は、
N⊂Z⊂Q⊂R⊂C
「集合の要素の個数」
１．集合に 含まれる 要素の個数を あらわす記号
ｎ（KAT-TUN）＝６
ｎ（SMAP)=5
ｎ （集合名）＝ メンバーの数。
ｎ は Numberの ｎ。 ｎ の代わりに ♯ を 使ってもいい。日本では 圧倒的に ｎ を 使う。
たとえば
ｎ（K U S)= ｎ（KAT-TUN）＋ｎ（SMAP) －ｎ（K ∩ S)=１１
これも 絵を描けば 一発です。後日 絵を入れます。
「場合の数」
場合の数。これは 英語の直訳だから こんな 変な日本語なんです。
場合の数 と 確率 の 数え方の違いは、
「場合の数は 見た目の数」であるのに対し、「確率は 自然現象である」ということ。
この違いを ちゃんと 対象化しましょう。
たとえば さいころの目に 「１２３４５６」の かわりに 「１２２３３３」としましょう。
さいころを転がしたとき、出る目の種類は 「１」「２」「３」種類。これが 見た目。
自然現象は １ は 出にくい。２ は まあまあ 出やすい。３が もっとも 出やすい 。ということ。
つまり ２ と ２ が 見た目では 区別できなくても、「同一視」することができずに 「２－１」と 「２－２」が あるようなものなんです。
だから ２ が出る確率は 「２－１ が出る確率」と「２－２が 出る確率」の 和 である。
というわけで 結論を 言いますと、「確率を考えるときは、すべての 要素を区別する」ということなんです。（すべてを区別したあとに、すべての
事象を 「等分割する」ことによって、計算を 速くするという方法があります。これは C、コンビネーションを使った数え方です。）
一方、場合の数は 「見た目」ですから、区別がつかない要素 どうしは 区別しない。
イントロダクションは これぐらいにして、とりあえず、
「区別のある要素」ｖｓ 「区別のない要素」を 数える技術を それぞれ マスターしましょう。
数える技術は、「数え漏れ」を 防ぐこと、ｖｓ「数えすぎ」を 防ぐこと を 目標に作られています。
上の両方を 防ぐことに成功したとき、答えが合うわけです。
０．数える技術。「帰納的に数える」ｖｓ「（一度、帰納してから）演繹的に数える。」
０．１帰納的に数える。
ひとつ ひとつの 場合を 実際に イメージすることによって、数えていく方法。
０．１．１．樹形図で 数える。
辞書式で 数えるというのも 樹形図で 数えるのと同じ考え方です。
樹形図といっても、わざわざ 木みたいに 書く必要なくて、今、私が インデントしているように
０－０１－０１１－（０１１１、０１１２、０１１３）
－０２－０１２
－０３
（かっこ）の 中に まとめて書いたり、自由に 書いていい。別に 描き方が決まっているわけではない。与えられた条件によって、形を 自由に変えて、一番 数えやすい方法で この樹形図を 利用する。
樹形図というか インデント図なのだ。形を 保存して書くことによって、数えやすくして、数え漏れを 防ぐ工夫をする。
０．１．２．図形を 描いて 数える。
たとえば 一筆書きの方法が いくつ存在するか という問題の場合、樹形図で 数えようとすると、抽象化してしまって、うまく 数えられない。
そこで、図形を 描いて すべてのパターンの図形を 書き出すことによって、数える。
化学で ベンゼン環の ２置換体の 数を 数えるときも、この方法。
このとき 大切なのは、「基準」を つくること。
形を 保存的に 書くことによって、数え漏れを 防ぐ。
この 絵の描き方だったり、樹形図の利用というのは、問題によって 変化するので、具体的に、ひとつひとつの 数え方を 問題ごと 覚えることによって、数えることに 自信が ついていく。
じゃあ、それぞれ 具体的な 数え方は、絵を 使って、後日。
０．１．３．テーブルを 作って数える。
テーブル化というのは、四角のマス目を 書いて、２次元的に、すべての場合の数を 視覚化すること。
さいころを ２回振って、どの目が出るかというのを 表にしますよね。あれが テーブルです。
０．２．帰納的に 数えてから、演繹的に 数える。
数えるときの基本は、具体的例を 自分で 絵を描いて、ひとつひとつを 明確に イメージすること。
そして、そのイメージを 演繹的に 拡張することで 一気に すべて 数える。これが 演繹的に 数えるということ。
どんなに 簡単な問題でも、かならず、帰納的イメージから 演繹的イメージを 導き出すという 処理を 行うのが 場合の数、確率が 得意になるコツです。
演繹的に 数えるというのは、具体的には、「積の法則」を 使って、数えるということです。
積の法則のイメージは 樹形図が ぱぱっと ひらくイメージ。
これは 清の 受験数学教科書の 確率を 見てください。私が 説明するまでもなく、きれいに説明してくれています。
１．積の法則は ２種類。「ボールを 箱に 一個ずつ、入れるイメージ。」もうひとつは「 部屋の中に、人を 振り分けていくイメージ。」
１．１．ボールを 箱に 入れるイメージ。
１．１．１．P型で 数える。
とりあえず、ボールと、箱に 区別がある場合を例にすると、
積の法則を 使うときは、常に、ボールと それを 入れる箱が イメージされます。たとえば、「トランプを 左から順に４つ並べる」の場合、トランプが 「数えられる番号つきのボール」で 左から順に、「１の箱」「２の箱」「３の箱」「４の箱」が あるイメージ。
このとき ５２まで 番号のついたボールを 箱のなかに １から 順にいれていく。（あるいは、「条件の強い箱から入れていく。」）
積の法則のイメージは 樹形図で ５２の枝が 現れ、そのすべての 枝の先に、今度は、５１の枝があらわれる。そのすべての 枝の先に、今度は、５０の枝があらわれる。そのすべての 枝の先に、今度は、４９の枝があらわれる。
枝の数は いくつ存在するか？
５２×５１×５０×４９
これが 「区別があるボールと 区別がある箱」の 数え方。
このときの 帰納的な 数え方は、
たとえば、
（１，２，３，４、） とか
（９，５，３，４３、）とか
（３，３１，５，５２、）とか
ボールは トランプ型を 抽象化して、１から ５２の番号で 識別しなおしたと 思ってください。
そして
箱は （□a、□b、□c、□d、）
のように 左から、Aの箱、Bの箱、Cの箱、Dの箱、の 区別があるイメージ。
このように、順番が 決まっているときは、（ □、□、）のように 「まるかっこ」で 表現することにしましょう。
これは 私のオリジナルの表記なので、ご了承ください。
なぜ P型か というと Permutaiton のP からです。P型は 順列型と いわれてます。
表記として、５２P4＝５２×５１×５０×４９
ですけど Cほど この表現は 使いません。書き出したほうが速いからです。
じゃあ、これ以外に 数え方は なにがあるか テーブル化しましょう。
このボールと 箱の関係は、４種類ある。
ボール 箱
区別が ある ある →「P型で 数える」
ある ない →「C型で 数える」
ない ある →「神のりんご型で 数える」
ない ない →「神のりんご÷３！型で 数える。」
さて、すべてが 明らかになったところで C型。
１．１．２．「C型で 数える。」
上の例のように、
ボールには、１から ５２の 区別があるんですが、
箱は （□a、□b、□c、□d、）から {□、□、□、□、 } と 表記します。「ちょびっと かっこ」と 私は 呼んでいます。
箱どうしに 区別がないこと。
これが トランプの例だと、
「トランプを 左から順に ４枚ならべる｣から 区別をなくすと「トランプから ４枚選ぶ」です。
１．１．２．１． 脱区別化する
÷４！をすると 脱区別化できます。
たとえば
（１．２．３．４）は ５２×５１×５０×４９ 通り の ひとつ。
（１．２．４．３．）も ５２×５１×５０×４９通りのひとつ。
でも 上のふたつは 「 １ と ２ と ３ と ４ が 選んだ ボールの中に入っている」 という意味では 同じですよね。
（●、●、●、●、）のように １ と ２ と ３ と ４のボールを 並べる方法は ４！通り。
というわけで
{１．２．３．４．} のように、５２個のボールから ４つ 選ぶ方法は
５２×５１×５０×４９÷４！ ＝５２C４
C は Combinaiton のC。
これが C型の 数え方。
この１ と ２ の P 型の数え方 とC型の 数え方を 組み合わせて、演繹的に 数えるんです。
１．１．３． かっこ どうしを 数えるという積の法則。
丸かっこ （ ） と ちょびかっこ { } によって 数えるというイメージを 紹介しました。
この かっこどうしを かぞえる というのも 積の法則なんです。
たとえば （ ） と あとに { }を 数える例。
上の例と同様に、
「５２個のボールを 左から順に４個 並べて」、次に、「残った４８個のボールから ４つ 選ぶ」ときの 場合の数は？
帰納的に書いてから → 演繹的に 計算する。
（１．２．３．４．）×{５．６．７．８．} →（５２×５１×５０×４９） × ４８C4
というわけ。
このように かっこ どうしを 数える場合も 積の法則に 従います。
かっこどうしの場合も、区別の仕方は ２ 種類。
① かっこ どうしが 区別できる。 → 単に かけるだけでいい。
② かっこ どうしを 区別できない。→かけた後、「脱区別化する」
① は 上の問題で 例示しました。
② について。例示します。
「５２個のボールを ４つ選んで」、次に、「残った４８個のボールから ４つ 選んで」、次に、「残った４４個のボールから ３つ 選んだ」ときの 場合の数は？
帰納的に書いてから → 演繹的に 計算する。
{１．２．３．４．}＊{５．６．７．８．}×{９．１０．１１}→５２C4×４８C４×４４C3÷２！
↑これ と ↑これ
の ふたつの かっこ は 区別が つきません。
かっこ どうしが 区別が つかない場合、脱区別化して、数えすぎた分だけ 減らす必要がある。
ここまで 書いて、
（ボール→箱 ） そして それを 包みこむ 「かっこ」 が 存在するというのを イメージできるように なったかな。
丸かっこ （ ） は 互いに 区別のつく かっこ
ちょびかっこ { } は 互いに 区別のつかない かっこ
かっこ は 箱を 入れる大きな 「カーゴ（Cargo）」 つまり、貨物 だと イメージしてください。
なぜ このように 区別がの つく ｖｓつかないが 大切なのかというと
「場合の数は 見た目のどれくらいの ボールの入った箱たちとその貨物の組み合わせが 存在できるか」を 数えているからです。
この ボール、箱、貨物 の 三つの要素からなる構造を 明らかにすることができれば、数える感覚が 身についた証拠です。なんの 不安もなく、場合の数を数えることができるようになります。
２．１．「部屋の中に 人を 入れていくイメージ。」
さて ボールと箱（そして 貨物）の イメージでは うまく イメージできない 数え方もあります。そのときは 「部屋の中に 人を 入れていくイメージ。」を 使うのです。
このボールと 箱の関係は、４種類ある。
ボール 箱
区別が ある ある →「P型で 数える」
ある ない →「C型で 数える」
この 上の 数え方は、うまく 箱と ボール（と 貨物）で 数えられるのですが、
以下の、数え方は、上だと イメージしにくくなるので モデルを 変えます。
ない ある →「神のりんご型で 数える」
ない ない →「神のりんご÷３！型で 数える。」
新しいモデルは 「部屋の中に 人を 入れていくイメージ。」です。
この部屋の中に入れていくイメージで P型と C型を 数えることもできます。
すなわち、モデルが 変わると 数え方も 名前を変えます。
ボール 箱
区別が ある ある →「松竹梅型で 数える。」
ある ない →「松竹梅÷３！で数える。」
ない ある →「神のりんご型で 数える」
ない ない →「神のりんご÷３！型で 数える。」
２．１．２．「松竹梅型で 数える」（整式には 重複順列と呼ぶ。）
ホテルに 松 、竹、 梅の ３つの部屋が あるとイメージしてください。
そこに、上のトランプの例と 同様に、５２個の名前つきボールが 入っていく。
「箱とボールモデル」との大きな違いは、
「箱とボールモデル」では ひとつの箱に ひとつのボールしか 入れられなかったのに対して、
「松竹梅モデル」では ひとつの部屋に いくつボールが 入ってもよくて、空の部屋がある場合と、ない場合がある
ということ。
ボール１は 松竹梅の３つの部屋のうちの ひとつを選ぶ。３通り。
ボール２は 松竹梅の３つの部屋のうちの ひとつを選ぶ。３通り。
ボール３は 松竹梅の３つの部屋のうちの ひとつを選ぶ。３通り。
・
・・
ボール５２は 松竹梅の３つの部屋のうちの ひとつを選ぶ。３通り。
よって、空の部屋が あってもいい場合、部屋の入り方は、３の５２乗通り。
ここまで 読んで 気づくだろうけど、
さっきの 箱とボールの関係は、箱が ボールを 選んでいるという感覚、イメージだったのに対して、
今回のモデルでは ボールが 箱を 選んでいる という感覚、イメージなんです。
主語と 目的語の 関係が 逆転しているんだ。これが 二つのモデルの違い。
みなさんは この違いを イメージしやすいほうで 使えばいい。
ちなみに、空いている部屋を 許さない場合
（３のｎ乗）－３C２（２のｎ乗）－３C1（１のｎ乗） と 表現できる。
２．１．２．松竹梅モデル÷３！型
ボールは １から ５２の背番号が ついているけど
部屋に 名前がない場合の 数え方。
これは 単純に 「区別解除」「脱区別化」 を すればいいだけ。
{（３のｎ乗）－３C２（２のｎ乗）－３C1（１のｎ乗）}÷３！＝ｎS３ （ｎC３のような 表記。）
これを スターリング数 と 呼んで、ｎS3 と 表現します。
このｎS３は
スターリン漸化式 が 成り立ちます。意味は、「ｎ＋１人を ３班に 分ける方法の場合の数」
ｎ＋１S３＝ｎS２＋３×ｎS３
（ｎ＋１ 人を ３班に 分ける。場合の数）＝（私一人の班）×（残りｎ人を ２班に分ける場合の数）＋（私以外のｎ人で ３班を作る場合の数）×（私はその ３つのうち ひとつを 選ぶ）
２．１．３．神とりんご 型。（重複組み合わせ型）
今まで、ボールには 番号が書いてあったんですけど、りんごには かけません。りんごには 区別がない。
このりんごを 奥さんと 父と 息子で わける。その分け方は 何通りあるか。
○○○○○○｜○○○○ ○ ｜○○○○
↑ 奥さん ↑ ↑父 ↑ ↑息子
↑仕切り板 １ ↑仕切り板 その２
区別のつかないものどうしを並べる重複組み合わせは 一般に、ｎ！/ｘ！ｙ！ｚ！通りと定式できます。中学でもやりましたよね。（ｎ＝ｘ＋ｙ＋ｚ です。）
その仕切り板を含めたりんごの重複組み合わせ と、「母、父、息子 に りんごの分け方の個数」が 一致するんです。
このとき、仕切り板を 神の手と 呼びます。「互いに区別のつかない仕切り板を入れる」ことで、母、父、息子に 与えるりんごの数が 区別される。
どうして こういう ことを 思いついたのか とか 考えなくていいです。とにかく 利用すればいい。
りんごが ５２個だとして、母、父、息子に わけると、仕切り版が ２枚だから
（５２＋２）！/５２！・２！
一般的に、記号を使って、ｎH３と 表現できます。
ｎH３＝ｎ＋２C２ です。（３人で分ける場合は、Cで表現できるけど、４人以上の場合は、無理。便利な記号はありません。）
２．１．４． 神のりんご ÷３！型。
りんごを ○さんと ○さんと ○さんに わける。３人とも 匿名なので、区別がつかないイメージ。
区別がつかないボールを 区別がつかない部屋に 入れていく。
こうすると、もはや「部屋に 何個のボールがあるか」で 分けるしかない。
いきなり ｎ個のボールを ３部屋に わける と考えると、さっぱりわからないから、帰納的に 数える。
たとえば ６個のボールを ３部屋にわける。場合わけは ボールの個数の ダブル数。
①同じ個数が ３個ダブル。
{２．２．２．}
のみ
一般化しても、これは ひとつしかない。
②同じ個数が ２個ダブル
{０，０，６}
{１．１．４}
{２．２．２．は 上とかぶるので だめ}← ちゃんと ×と 明示するのが コツ。
{３．３．０}
一般化すると、６÷２＋１－１ これは 数えればわかる。０から ３まで 数えて、{２．２．２．}を引けばいい。
③同じ数が ない。
{１．２．３．}
{０．１．５}・・・・・いろいろがあるが 規則的じゃない。→他に 場合がないので 「余事象で定量する」
余事象を 使うためには、一度 ①と②を すべて 区別してから、「脱区別化」すればいい。区別したときの全体は 上の「神とりんご型」で 数えられる。
{６H２－①－②×３}÷３！ これが 答え。
（なんで ②に ３ を かけるか？３C２ ＝３だから）
①と ②と ③を ６ｍ として 一般化すれば、数えることができる。
一般化すると、
① {２m、２m、２m、} で １ ②{０，０，６ｍ}から {３m、３m、０ }まで、このとき {２m、２m、２m、}を 抜くので、３ｍ＋１ －１ で ３ｍ ③{６ｍH２－①－②×３}÷３！
以上で 積の法則による 数え方の技術を すべて お伝えしました。
これが すべての基本の数え方です。
３．銀杏型の数え方。
たとえば、１３，１４、１５・・・・・・・・・５１、５２まで の数字は 何個ありますか？
これは 数字で 抽象的に考えると、わかりづらい。だから カード に 上の数字が 書いてあると イメージしてください。
１から ５２まで 数字は ５２個あるというのは 直感的に わかりやすいですよね。
じゃあ
１から １２ までの数字は １２個ある というのも わかりしすいですよね。
じゃあ １から ５２までのカードのうち１から １２ までのカードを 銀杏を 串刺しするように、刺して、取り去ってください。
のこった カードは １３から ５２までのカード。
同じ質問をします。１３，１４、１５・・・・・・・・・５１、５２まで の数字は 何個ありますか？
５２－１２＝４０個。というわけ。
具体化すれば、カンタンですよね。
一般に ｋ、ｋ＋１、・・・・・・・ｎ までの数字の個数は ？
↑ ↑
はじまり がｋ 終わりが ｎ
ｎ－（ｋ － １）個 です。
ｋの ひとつしたの数字を 銀杏串刺しにして とりさることで 個数がわかります。
これは 馬場（マセマ）が この数え方を、ギンナンに 例えていたことへの オマージュで 「銀杏型で 数える」と しました。
「順列」
６個の積の法則による 演繹的数え方を 整理して 理解して いれば どれを 使えばいいかわかります。
あとは それぞれの問題について、特殊な 数え方を データベースしていけばいい。
P型。
１．条件の強い箱から 埋めていく。
１．１．数字を選んで、整数を作る。
１．１．１．「０ を 選ぶｖｓ ０を 選ばない。」
０ が 一番先頭に 来てしまうと、桁数が変わってしまうので、０ は 特別に扱う。先に、０以外の数字を 一番上の桁に 入れてから、その他の桁に ボールを入れていくイメージ。
２．隣合う ｖｓ 隣あわない
２．１．隣り合うなら、☆＝（１．２）あるいは （２．１）と 置換する。
新しい ☆というボールを 入れて、箱に入れていくイメージ。
２．２．隣合わないなら、箱と 箱の間に、空白箱を 入れる。
□□□□□という 箱が あるとする。たとえば 男と 女が 隣あわないなら、先に 女が 入る箱を ■と きめておくと、
□■□■□
男は □ の 中に 入ればいい。
３．決まった順番に 並ぶ。
たとえば SEMULATION という 単語を 並び替える。そのうち TIONが この順番で 並ぶ並べ方。
TION を ○○○○ という区別できない文字と 置換する。
SEMULA○○○○を 並べる。重複順列で ならべたときが 求める答え。
「円順列・重複順列」
１．円順列は 「ひとつを 固定する」と、動かなくなるイメージ。
固定しないと、どこが はじまりで どこが 終わりかわからない。そこで ひとつの箱に入るボールを 指定すると、右隣が はじまりで 左隣が おわりという 箱の並び方とすることができる。
２．じゅず順列も 円順列と同じ。違うのは、ひっくり返すと 同じに見えるということ。
どの円順列も ひっくりかえすと おなじ というものが 必ず存在するから ÷２すればいいだけ。
ただし、すべてのボールが 区別できる場合のみ 円順列は 単純に 上のように 考えることができる。区別できないボールが 混じると、積の公式が 使えなくなるため、ひとつひとつの形を 書いて数えるしか 方法がなくなる。
３．区別できないボールを 円順列させる。
たとえば １１１２２を 円順列させる。「ひとつを固定させる」 というのが 通用しません。ひとつが ないから。だから、ぐるぐるまわして、同一にならないと確認する必要がある。
このタイプの問題は ほぼ でません。あんまり 数学的じゃないからです。数学というより、算数っぽい。勉強のしがいがないからです。
４．重複順列。
スターリング数として 上のほうで 説明しました。
「組み合わせ」
C型も 説明済み。
Cそのものの 定性データベース。
１．ｎCrは パスカルの三角形で グラフする。
２．「ｎ人から ｒ人 選ぶ」漸化式。
ｎCｒ＝ｎ－１Cｒ－１＋ｎ－１Cｒ
（ｎ人から ｒ人 選ぶ）＝（私が 選ばれる）×（残りのｎ－１人から 残りのｒ－１人を 選ぶ）＋ （私が 選ばれない）×（残りのｎ－１人から ｒ人を 選ぶ）
スターリン漸化式と まったく 同じ概念です。こっちのほうが 単純。
３．「アメリカの大統領選挙」漸化式。
（アメリカ国民が ｎ人。その中から、ｒ人の 上院議員を選ぶ。そのｒ人から １人の大統領を選ぶ。）
というのは
（アメリカ国民のｎ人から １人の 大統領を選ぶ。残りの国民のｎ－１人から ｒ－１人の上院議員を 選ぶ）
と 選び方が 一致する。
ｎCｒ×ｒC１＝ｎC１×ｎ－１Cｒ－１
これは Σ計算のとき、変数の次数を減らすのに 使います。本当に 受験では よく使われます。
４．重複組み合わせ。
（ｘ＋ｙ＋ｚ）！/x！・ｙ！・ｚ！
「脱区別化」を 何回も やっているイメージ。
なんとなく 理解して、使っているうちに 慣れるというのが コツ。
「二項定理」
二項定理 、二項展開。
（a＋ｂ）のｎ乗＝ΣｎCｋ（aのｋ乗）（ｂのｎ－ｋ乗）
これまた 本当に よく使います。
証明は、数学的帰納法で どうぞ。証明そのものよりも、この計算は よく使います。道具として 使いこなせるようになってください。
１．コツは０ から ｎ （あるいは ｎ－１） まで そろえること
↑これが 肝心 ↑ これは どーでもいー。
０から 始まっていれば、ｎでも ｎ＋１でも （a＋ｂ）の○乗 の 形になる。
０からじゃないと、始まってくれない。初項よければ、すべてよし。
だから （a＋ｂ）の○乗 の 形に したいなら、「初項を つくって 消す」をやる
つまり 「＋Xo－Xo 」
「はじっこを 調整する」というイメージ。
２．ΣC から 定数を 求める。
ΣC は ΣC（１のｎ乗）（１のｎ乗）という隠れた数字が 存在している。これはメタファー。
（１＋１）の ｎ乗が 先にありき。ΣCは わざと 作られた人工物というイメージ。
f（x）＝（１＋ｘ）のｎ乗 という関数で 積分したり、微分したりすることで、おいしい 関係が得られる。
「事象と確率」
場合の数は「見た目の数」だったのに対し、確率は 「自然現象のおこりやすさの度合い」です。
だから すべてを 区別する必要がある。
場合の数ではボールどうしの区別が つかないというのが合ったけど、確率においては、すべてのボールを 区別して扱います。
しかも、箱も 絶対に 区別します。つまり 基本は P型の数え方しか許されないのです。
さて
１． 「起こりやすさの定式」は ２種類あります。
２種類目は 私のオリジナルのイメージです。たぶん、どこの教科書にも乗ってませんが、ただしい考え方です。
じゃあ、一般的に 教科書に載っているイメージ。
１．１．ｎ（?）とｎ（A）を すべて 定量するイメージ。
集合で 考えると わかりやすい。
事象というのは、たとえば さいころを振って、「１がでる」ということ。これを 「１が出る事象」と呼ぶ。「１が出るパターン」と言ってもいい。
もうすこし、このさいころのイメージを 今までの 場合の数のイメージで考えると、
「ボールが ６個あって、１から ６までの数字が それぞれに書かれている。そのボールを １個、箱の中に入れる。」
あるいは ボールと 箱の 主語と目的語を 逆転させて、人 と部屋の関係で、
「ボールが ６個あって、１から ６までの数字が それぞれに書かれている。ボールの中から １個選ぶ。」と 考えてもいい。どちらでも 好きなほうをどうぞ。
全パターンの個数を ｎ（?）とする。
あるパターンの個数を ｎ（A）。
ｎ（A）とｎ（?）をP型の積の法則で 定量する。
Probablityの P で P（A）＝ｎ（A）/ｎ（?）
さいころの例なら、ｎ（１を 選ぶ）＝１通り 、ｎ（１から６のどれかを選ぶ）＝６通り
１．２．素確率を 求めて、それに （起こりやすさ）かける。イメージ。
これは 私のオリジナルの考え方です。
どこにも 書いてません。
でも、独立試行 という名前で 定式されています。
たとえば コインを投げる。裏が ５回中３回出る確率を 考える。
場合の数の ボールと 箱で 考えると
「 １、２ と書かれたボールが２つある。箱は ５個。箱にボールを入れたら、入れた後に、すぐに 戻して 再利用する。」
素確率というのは 「３回でる事象」のうちの たったひとつのこと。
たとえば 裏が １ 表が２だとすると、
（１１１２２）左から順に こうやって、ボールが 入ったとする。
素確率は 上の（１１１２２）は １通り。ｎ（?）は ２の５乗
よって P（１１１２２）＝１/２の５乗
これに対して、起こりやすさは？
１１１２２ は 区別のつかないボール。区別のつく５つの箱に入っている。
重複組み合わせより、５C3通り。これが 「起こりやすさ度」
P（５回中３回裏が出る）＝P（１１１２２）× 「起こりやすさ度」
＝１/２の５乗 × ５C3
というわけ。
この 帰納的な 確率の求め方 を マスターしてください。
そうすれば、自信を持って、確率を 定量できるようになります。
２．確率の 等分化。
なぜ、新しい言葉、素確率なんて 言葉を持ち出したかというと 理由があります。
それは 確率には、かならず 「 １ /ｎ（?）」があるからです。
↑ これを 素確率 と呼びます。
樹形図でイメージすると、すべての 枝の先を 足し合わせたのが ｎ（?）で 一本、一本の枝が 「１ 個」と 数えられる。その一本一本の枝は 同じ確率で 「起こりやすい」。ことが 保障されている。
その一本一本の枝は 同じ確率で 「起こりやすい」ことが 保障されていることを 「同様に確からしい」 と 呼びます。
そして この 一本一本の枝を 同じ性質のグループでまとめて すべての枝を 同じ数ずつのペアで 結びつけることができる。これが 等分化のイメージ。
たとえば、「白球が３個。赤球が ４個入った袋から ２個取り出すとき、赤球がでる確率を求める」
これを 場合の数っぽく解釈すると、「W1、W2、W3 、R1、R2、R3、R4 の ７つのボールがある。それを 区別のない 箱の中にいれる。」ということ。
でも、確率というのは 箱は 必ず 区別するんでした。「区別のある箱を 区別のない箱にすることを 等分化 と呼ぶ。」
箱は 区別しなくても、ｖｓ 区別しても、確率が かわらないときに 等分化が 成立する。
箱を 区別した場合、 たとえば
（R1、R2）の 素確率は １/４２
（「起こりやすさ度」は １２）
じゃあ 箱の 区別をなくす。「脱区別化」だ。まるかっこ から ちょびかっこ にするところに注目！
{R1、R2 }の素確率は １/２１＝２/４２
（「起こりやすさ度」は ６ ）
比較すると わかりやすくなったと思うけど、
（R1、R2）の枝は １ 本
{R1、R2 }の枝は ２つまとめられていて 日本の枝が セットになっている。セットは ２！本
すべての枝が ２つセットに 結び付けられているイメージ。
この結びつける作業を 等分化 と 呼ぶことにする。
この等分化を 利用することで、確率の計算の中に C型の 積の法則による数え上げが 可能になる。
文系の国立志望のひとで、確率が なんとなく わかっているよーな という人は、このC型の 数え上げを まったく使わずに、答えればいい。それでも 困ることはないし、計算が 多くて 嫌になるということもない。計算が 多くなったとしても、２倍になるだけだから。
「確率の基本性質」
１．選んだボールの背番号の数の 最大値を指定する確率。
たとえば さいころを ３回振って、出た目の最大値が ５以下である確率。
これは 本当に よく出る 読み替え。
（１から ５の どれかが ３回でる）－（そのうち、５が 出ないものを くりぬく）
素確率は （１．５．２．）＝１/２１６
起こやすさ度＝（１から ５の どれかが ３回でる）－（そのうち、５が 出ないものを くりぬく）
＝ ５の３乗 － ４の３乗
「独立な試行の確率」
独立な試行も 上のような 従属な試行も 「素確率×起こりやすさ」という 定式だと 変わらないことに 気づいていただけたでしょうか。
これが 私が 考えた 確率のふたつめの定義の 強さです。
「反復試行の確率」
独立な試行も、反復試行も 上のような 従属な試行も 「素確率×起こりやすさ」という 定式だと 変わらないことに 気づいていただけたでしょうか。
これが 私が 考えた 確率のふたつめの定義の 強さです。
「期待値」
１．Expectation。定式
センター試験で かならず でるので、やりがいがあります。
E（X）＝ΣXk・P（Xk）
Xkが 確率変数。その確率変数のときの 確率を P（Xk）で あらわします。
確率変数は 賞金だと おもってください。P は その賞金の 当選確率。
お金が大好きなみなさんは 目の色を変えて 期待値計算を 勉強し始めるはずです。
１枚の宝くじを 買ったときの、期待値。
EX＝１００００００００００００円×０．００００００００００００００００００００００００００００００００００００００１＋０円×０．９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９
＝０．０００００００００００１ 円。
こんなに 期待値が 少ないことにお金を 使うよりも、勉強して、頭よくなって、もうける科学を 学んで、起業することに お金を使ってください。つまり、アフィリエイトしてください！本を買うにも、Amazonで リンクを クリックした後に お願いします。
２．E計算、テーブル化
大切なのは、Pを起こりやすさ度のみで 表現すること。XPの足し算をしたあとに、一気に 分母で割る。
↓起こりやすさ度 を 書く。確率で 掛け算をするのは 遠回り。
X P ＝ XP
１０ １ １０
２０ １ ２０
３０ １ ３０
４０ １ ４０
５０ １ ５０
６０ １ ６０ （＋
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
２１０
÷６ ＝ ３５円。￥
こうすれば、整数の足し算になって、はるかに計算効率がいい。
これは 誰も 教えてくれない技術ですけど、普通に 考えれば、こうしますよね。
イントロダクションとしての 場合の数、確率は ここまで。
データベースとしての 確率は 別のデータベースで やります。
２．論理と集合
「命題と条件」
１．二項演算とは？ふたつの項を 操作（Function）して、ひとつの項を つくること
論理というのは 二元論が 成り立つってことです。じゃあ 二元論を 狭義で あらわす
「二項演算」を 紹介します。
二項演算とは 「ふたつの項を 操作（Function）して、ひとつの項を つくること」です
たとえば じゃんけん
じゃんけんも 二項演算です。
（ちょき）☆（ぐー）＝（ぐー）
↑ ↑ ↑
２つの項 から １つの項を 作る。☆が Functionです。ちなみに この☆マークは 適当な 記号です。別に記号は なんだっていいので ＊ でも ￥でも ％でも ＄ でも ?でも なんでもいい。
すべての演算のうち、「二項演算」以外には、たとえば 「多項演算」があります。数列の和は 多項演算です。１＋２＋３＋４＋５＝１５
もちろん、二項演算として 代表的なものは 四則計算。
１?１＝２ ?に あてはまるのは ＋ です。
３９●３＝１３ ●に あてはまるのは ÷ です。
もうすこし 一般化すると、
（１項目）☆（２項目）＝（Output）
です
２．R（実数）が ＋ × ÷ － の 四つの演算で 閉じている とは どゆこと？
それは Rどうしの 二項演算の 結果が Rってことです。
つまり
R☆R＝R （Rどうしを ＋ × ÷ －で 計算しても Rのままってこと）
このように 要素どうしの二項演算以外にも、集合どうしも 二項演算することができる。
こういうのを 「拡張」する っていいます。
一方、奇数の集合をDとすると、＋ × ÷ －で D は 閉じていません。
D×D＝D は 成立しますが、＋ ÷ － では 二項演算が 成立しません。
というわけで 、数の集合N Z Q R で テーブルを 作ると、
＋ － × ÷
N ○ ○
Z ○ ○ ○
Q ○ ○ ○ ○
R ○ ○ ○ ○
○が 閉じている二項演算です。
（ ◎。Augustus de Morgan
バー によって ひっくり返す。証明は、Ben'z で お願いします。）
３．真偽も 二項演算で やっつける。
いままで どうして 二項演算を やってきたというと、真偽を 判断するのに、二項演算を 使うからです。
ここで 数学的に、デジタルで 真偽を 扱いましょう。真は True で 「１」とします。 偽は False で 「０」とします。
３．１．命題というのは 真偽を 判断できる「SがVである」という文章のこと
命題：Proposition
「私は ２０代である」というのは 命題ですが
「私は 天才である」というのは 命題ではありません。
違いは、２０代かどうかは １ か ０ に決められますが、天才である は あいまいすぎて、 決められないからです。
じゃあ、命題どうしを くっつけてみましょう。
「私は ２０代である」かつ「私は 木村拓哉である」
このとき、命題そのものを 文字に置換しましょう。
ｐ かつ ｑ
もっと 数学記号を つかって、抽象化しましょう。「かつ」を 「∧」という記号を 使って表現します。「アンド記号」といいます。「∩」の積集合を つくったときと まったく同じ起源を持つ記号です。∩ →∧ 、∪→∨ という 関係を持っている。
ｐ ∧ ｑ 。
じゃあ 今度は 「または」
「私は ２０代である」または「私は 木村拓哉である」
ｐ ∨ ｑ
じゃあ 次は 否定
「私は ２０代 ではない」
￢ｐ
（ほんとは バーを ｐ の上に 書きたいんですが、HTML では 難しいので、 左上に 「￢」記号を くっつけます。これも 正式な表現です。）
さて、二項演算。
このｐ∧ｑ は 二項演算に 見えてきませんか？
じゃあ 「真偽表（真偽テーブル）」を 作ってみましょう。
ｐ ｑ ￢ｐ ￢ｑ ｐ∧ｑ ｐ∨ｑ
1 1 0 0 1 1
1 0 0 1 0 1
0 1 1 0 0 1
0 0 1 1 0 0
1 が 真。 0 が 偽を 表現してます。
「私は ２０代である」が うそ 、つまり ０ で
「私は 木村拓哉である」が 本当 つまり １ である場合、
「 「私は ２０代である」または「私は 木村拓哉である」 」 は 本当 つまり １ というわけ。
ここで 大切なのは、日本語で 考えないこと。
日本語のような感覚的な 言葉と 論理って 違和感があるんです。
あくまで 「演算」として 捉えてください。
じゃあ ∧ と ∨の 二項演算を まとめましょう。
ｐ∧ｑ＝ （∧は 両方とも １ じゃないと １にならない。
１∧１＝１
１∧0＝0
0∧１＝0
0∧0＝0
p∨q= （∨は 片方１ なら １になる）
１∨１＝１
１∨0＝１
0∨１＝１
0∨0＝0
上の 二項演算が 正しいかどうかは、ベンズを 書けば すっきりわかります。みなさんは それぞれを 絵をかいて、ほんまやでー と 納得してください。
３．２．「ならば」も 二項演算に できる！
ｐならばｑ
ｐ→ ｑ
たとえば
「私は 亀梨和也である」→（ならば）→「私は ２０代である」
じゃあ 真偽テーブルを 作ってみましょう。
ｐ ｑ ｐ→ｑ ￢ｐ ￢ｐ∨ｑ
1 1 1 ０ １
1 0 0 ０ ０
0 1 1 １ １
0 1 1 １ １
これで わかることは、「ならば」というのを 日本語で 考えてしまうと、さっぱり わからない ということです。
「私は 亀梨和也である」が うそ つまり ０
「私は ２０代である」 が 本当 つまり１
このとき
「私は 亀梨和也である」→（ならば）→「私は ２０代である」 は 本当 つまり １
意味が わかりません。これが 論理と 日本語の解離です。
でも 論理は 正しい。
そこで 「ならば」という二項演算を 別の角度から 眺めてみる。（数学的に「解釈するのを 逃げる」 ともいいます）
じつは
「ｐ→ｑ 」という二項演算 は 「￢ｐ∨ｑ 」と 結果が同じになります。
（数学的に「解釈するのを 逃げる」というのは、このナラバ の例に限らず 、
（３の０乗 ）＝１ とか ０！＝１ とか ｎCo＝１ として 逃げるのと 同じです。）
これで 「ならば」も 二項演算 の中に入れることができた。
３．３． 「ならば」を ベンズ によって 証明する。
上の例では、「グラフで 表現できない 命題について」 の 「ならば」でさえも、真偽を 判定する方法を 紹介しました。
でも、試験では でません。でるのは 「グラフで表現できる 命題」だけです。
たとえば
「｜ｘ｜＜３ ならば ｘ＜３ 」とか。
これを 上の命題のように ちゃんと 主語述語の関係にしてみましょう。
「ｘが ｜ｘ｜＜３ を満たしている」ならば「ｘが ｘ＜３ を満たしている」
ｐ → ｑ
ｐ が １ ならば ｑが １ が １か どうか 調べる。
「ならば」 における 正しさは
「ｐが小さい集合 → ｑは ｐよりも大きい集合で、ｐ を 包み込んでいる」 が 成り立つとき、この ｐ→ｑ は 真。つまり １ である。
この定式の 覚え方は、「例えること」によって覚える。
人類という集合 ｖｓ 動物という集合。
「私は動物である。ならば 私は人間である」は ０． うそ
「私は 人間である。ならば 私は動物である」は １．ほんと。
集合が ぶわ っと 膨らんだら、真である って いうイメージ。
結局のところ、グラフを書いたら、それで 終わりってこと。カンタンです。
もし、ぶわっとふくらみ きらずに、ｐが はみ出していたり、ｑの方が 小さかった場合、上の「ならば命題」は 偽 、０ ということ。
「必要条件・十分条件」
ｐ→ ｑ において、真が 成り立つ場合、どっちかが 必要（Necessary）条件、十分（Sufficient）条件。
覚え方は 簡単。N は North。Sは South。（North← の こじつけ方は、馬場敬之 を参照）
ｐ→ｑ が １ で 、
ｓ→ｎ 矢印は North を向く。つまり ｑ が 必要、pが 十分条件ってこと。
今度は、
ｑ→ｐ の真偽を 調べて、ｐが 必要条件になりえるか調べる。
両方成り立つなら、ｐ と ｑ は 必要十分条件というわけ。
もし ｑ→ｐが 偽なら、ｐ は 十分条件であるが、必要条件ではない となる。
とにかく 「ならば」は 絵を描いて、ぷくーっと 膨らむかどうか 調べればいいだけ。
「逆、裏、対偶」
１．覚え方。
「キューピーちゃん 腕と 足が 逆だよ！」
「BAR の 裏。」
「対偶 バーで逆。」
で 覚える。
バーは ￢ ってこと。
「ｘが ｘ＝２ である」の否定は 「ｘ が ｘ＝２ でない」「ｘが ｘ≠２である」
ドモルガン より、記号が ひっくり返るのが、否定。
Venn図で 調べれば すぐにわかる。白と黒を 反転させるのが 否定。
２。間接証明。
２．１．対偶法
証明する条件の中に、「ならば」という言葉が 入っていたら、対偶で 証明するんだな と 思いましょう。
これを 「ナラバ、タイガーアッパーカット」と 呼びます。（うそ）
２．２．背理法
証明する条件の中に、否定的言葉が 入っていたら、背理法で 証明するんだなと 思いましょう。
これを 「否定命題 背理法」「ひーてめー ハイリー！」と 呼びます。
合成命題であるｐ→ｑ のタイプの命題なら ￢ｑ が 真と仮定して、その値を使って、ｐ が 偽であることを 導く。
単純命題であるｐ。つまり 「√３ は 無理数である」なら、￢ｐ が 真と 仮定して、その等式が 成り立たないように 矛盾点を 見つける。
否定命題データベース。
１．◎と ○は 異符号である
同符号として
２．○は 無理数である。
○を 有利関数と仮定して 定式する。
３．○≠☆ である。
イコールと仮定する。
４．
３．平面図形
平面幾何学で 定式していることというは、「辺の長さを求める」と 「角の大きさを求める」だけです。
「他にも、比を求めるとか、相似を証明するとか あるはず」と 思ってる方も いらっしゃるかもしれませんが、比を求めるのは、辺の長さを求めたいからです。相似を証明するのは、辺の長さを求めたいからです。
つまり、比を定量するのも、相似を証明するのも、辺の長さを求めるための定式のひとつでしかないんです。
「三角形の辺と角」
三角形は、最小の単位です。だから、四角形も 二つの三角形が くっついたもの という解釈が 成り立つ。だから、四角形に特有の定式というのは 円に内接する四角形に のみ存在できます。
０．すべての基本は 「三角形の決定条件」
問題に出された三角形が 「たったひとつに 決まる」というのが 三角形の決定条件。
これが 何よりも大切です。もし、この三角形の決定条件を 満たし、ひとつに決まる三角形なら、必ず、辺の長さと 角の大きさを 求めることができます。
ですから、角度や 辺の大きさを求めようとする前に、とりあえず 、三角形の決定条件を定式してください。
決定条件は ３＋１種。
「SSS」と「SAS」と「ASA」の三つ。（「ASS」というのは 可能な形が２つ生まれる。ので ＋１）
Sは Side つまり 辺。A は Angle つまり 角。
よく 三辺相等、二辺侠角相等、二角侠辺相等とか よくわからない言葉で 中学とかで 習うと思いますが、忘れてください。SSS と SAS と ASA でいいです。
http://library.thinkquest.org/20991/geo/ctri.html
上の サイトは 参考になります。英語で Geomertyを 記述すると、いかに 日本語が 毒されているか わかると思います。ますます 日本語で 数学を記述するのが 嫌になりますよね。
１．辺の長さを定式する。
１．１．方べき
１．２．三平方
１．３．三角形の相等、相似による 辺から辺への相等
１．４．チェバ
１．５．メネラウス
１．６．トレミー
１．７．中線定理
１．８．同比、同長系
１．８．１．平行線系
１．８．２．二等辺三角形
１．８．２．有名定規三角形
４５，４５，９０ とか ３０，６０，９０．は 角度が わかれば、比がわかる。
１．９．面積からの定式
１．１０．円周定式
２．角の大きさを 定式する
２．１．「９０度」系
２．１．１ 直交
２．１．２．接線と接点と中心
２．１．３．直角直径
２．２．「和が １８０度」系
２．２．１．内角とその外角
２．２．２．三角形の内角の和
２．２．３．平行線の同傍 内角
２．２．４．補角どうし
２．２．５．円に内接した四角形の内角と対頂角。
２．３．同じ角度系
２．３．１．両底角
２．３．２．対頂角
２．３．３．平行線の 錯角、同位角
２．３．４．円周角
２．３．５．ヨット角
２．４．倍角系
２．４．１．中心角と円周角
３．辺から 角度、角度から 辺を 行ったり来たりして 求める。
３．１．正弦定理
３．２．余弦定理
３．３．面積の情報から 角、辺を求める。
３．３．１． 三角形の面積公式
３．３．２．円の面積公式
３．４．直角直径
さて
幾何学のコツ。
１．絵を 正確に描く練習を。
２．絵をくるくる 回して、いろんな角度が 眺めること。
３．薄く点線で書いて、修正しやすいように。
４．最初は データだけの適当な図 を 描いて、その後、正確な 辺の大きさと 角度の図を描く。
正確な絵が書ければ、半分以上解けたようなものです。
あとは 定式の方法を 覚えるだけ。
以下、自分でデータベースを作ってください。
言葉で表現できるのはココまでです。
「三角形の外心、内心、重心」
自分でデータベースを作ってください。
「円周角」
自分でデータベースを作ってください。
「円に内接する四角形」
自分でデータベースを作ってください。
「円と直線」
自分でデータベースを作ってください。
「方べきの定理」
自分でデータベースを作ってください。
「２つの円の位置関係」
自分でデータベースを作ってください。
数学IIデータベース
私のデータベースは 細野真宏、馬場敬之、清 史弘、大学への数学の著者群、西岡康夫、チャートの著者群 などなど によって 成り立っています。
物理、化学と違って、このひとこそ という人が いないというのが 特徴です。
数学は チャートの目次を 利用することにします。
目次
１．図形と方程式
「点と座標」 「直線の方程式」 「円の方程式」 「円と直線」 「軌跡と方程式」 「不等式と領域」
２．三角関数
「一般角と三角関数」 「三角関数の性質」 「加法定理」 「倍角・半角・積と和の公式」 「加法定理の変形」
３．指数関数と対数関数
「指数の拡張、累乗根」 「指数関数」 「対数とその性質」 「対数関数」 「常用対数」
４．微文法
「微分係数と導関数」 「関数の増減、極大・極小」 「最大値・最小値」 「グラフと方程式・不等式」
５．積文法
「不定積分」 「定積分」 「積文法と微文法」 「面積」 「体積」
１．図形と方程式
「点と座標」
１．分点は たすきがけ
２．幾何的な定性を 座標空間に入れることで、定量しやすくする。
「直線の方程式」
１．直線の定式は ３種類。これ以外は 必要ない。
１．１．傾きとｙ切片式
ｙ＝ｍｘ＋ｎ
１．２．法線ベクトルによる定式
ax+by+c=0
（法線ベクトル）＝（a,b）
直線上の定点A（ｊ、ｋ） と 動く点 P（ｘ、ｙ）として 内積定式
（ベクトルAP）・（法線ベクトル）＝０
（ｘ－ｊ、ｙ－ｋ）・（a,b） ＝０
a（ｘ－ｊ)+b(ｙ－ｋ） = 0
ax+by+ c=0
１．３．ベクトル表示定式
ベクトルOP＝ベクトルOA＋（方向ベクトル）・ｔ
ｔ は Time のｔ。ベクトルOP＝（x、ｙ）とすれば、ｔのパラメータ表示。
さて
あんまり 実用じゃないけど、でてくるその他の直線。
１．４．ふたつの定点AとBの 垂直２等分線。「大きさ＝大きさ」の軌跡
｜ベクトルAP｜＝｜ベクトルBP｜
１．５．束による ２次曲線どうしの共通弦定式。
ｆ＋ｋ・ｇ＝０ で二次項を 消す。
１．６．傾きが うごく ぐるぐる直線。
たとえば、ｙ＝ｔ（ｘ－３９）＋５１
１．７．接線定式。
ｙ＝ｆ’（ｔ）（ｘ－ｔ）＋ｆ（ｔ）
１．８．法線定式
ｙ＝－１/ｆ’（ｔ）（ｘ－ｔ）＋ｆ（ｔ）
１．８．極線定式。
１．９．角の２等分線
２．Hesseの点と直線の距離式。あるいは 点と平面の距離式
２．１．円と直線の関係。
２．２．球と平面の関係。
「円の方程式」
１．円定式
３変数。
１．中心と半径式
２．一般式
ｘｘ＋ｐｘ＋ｙｙ＋ｑｙ＋ｒ＝０
「円と直線」
１．交点の判別式 は ２種類。
１．判別D式
ｙか ｘ の変数を 消して、２次関数扱いする。
２．Hesseによる半径と 直線と中心の距離 の関係式
「軌跡と方程式」
軌跡については、上記 オススメの参考書である 「軌跡・領域」（今野和浩著）を 読めばわかります。と、この本をオススメして、私は 静かな大学生活に戻りたいところなんですが、確かに 理解はできるんですけど、この本を 完全に理解しても、立体的にイメージすることは できないんです。
やっぱり、平面的な 参考書に書かれた内容を 立体的に 豊かなデータベースに 昇華していく必要がある。
ここで 「値域」→「軌跡」→「領域」の 三階構造を はっきりさせましょう。
この考え方は 私のオリジナルです。上の参考書には 載ってません。
１．「値域」→「軌跡」→「領域」の 三階構造
じゃあ この三つを 比較しましょう。テーブルを作ります。
たとえば ｓ、ｔ∈R で 次のような 条件式があったとします。３種で 条件と その定式が どういう形をしているか 比較してみましょう。
パラメータの条件式。 欲しい範囲を表現する定式
値域はX軸上の線。 ｓｓｓ＋ｔｔｔ＝３ｓｔ ｓ＋ｔ＝X の範囲
軌跡は XとY平面上の線。 ｓｓｓ＋ｔｔｔ＝３ｓｔ ｓ＋ｔ＝Xと ｓ・ｔ＝Yの範囲
領域は XとY平面上の面。 ｓｓｓ＋ｔｔｔ＞３ｓｔ ｓ＋ｔ＝Xと ｓ・ｔ＝Yの範囲
違いを はっきり 対象化できたでしょうか。これが データベースです。
値域は １次元の線分。軌跡は ２次元上の線。領域は、２次元上の平面。
２．「値域」→「軌跡」→「領域」に 共通する 定式イメージ。
たとえば 軌跡だと、
「（Ⅰ）点の分析的な定式群」→→→変数ｔ を 消す。→→「（Ⅱ）軌跡の 総合的な定式群」
①X＝（ｔの式） ① ｆ（ｘ、ｙ）＝０で グラフ。
②Y＝（ｔの式） ② グラフの範囲。ｘの範囲
③X、Y、ｔの範囲。少なくとも実数。
↑ ↑
↑ ↑
「（Ⅲ）ｆ（X,Y,ｔ）＝０ の式から、 「（Ⅳ）Vector OP＝（x、y）で 等式を作る」
（X,Y,）＝（（ｔの式）、（ｔの式））の 点を 抽出する。」
値域の場合、 （Ⅰ）→（Ⅱ）
領域の場合 上の軌跡の形とまったく同じ流れを持つ。
３．軌跡の 定式。（Ⅲ）→（Ⅰ）→（Ⅱ）の分析的定式系
１．頂点
２．重心、中点、内、外の分点
３．直交、交点
３．１．点と 直線
３．２．直線、直線
３．３．直線、放物線
３．４．直線 、円
３．５．放物線、放物線
３．６．円、円
４．反転点
５．条件点
こうして （X,Y,）＝（（ｔの式）、（ｔの式））を 抽出したら、
Y＝ｆ（X）になるように、ｔを 消す。
ｔ を 消すと 点→ 線分に 変化するイメージ が 大事。（ｔ はTime のt。時間に関係なくなるということは、存在する場所が 定式できたという証拠）
このとき、ｔの範囲によって、Xの範囲が 決まることに注意。
４．軌跡の定式。（Ⅳ）→（Ⅱ）の直接的定式系
１．距離系
１．１．点と点から １：１の距離に分布 すると、中線
１．２． 点と点から １：ｋの距離に分布 すると、アポロニウスの円
１．３． 点と線から １：１の距離に分布 すると、放物線
２．距離の和、差、積 一定系
１．１．距離の和一定 楕円
１．２．距離の差一定 双曲線
１．３．距離の積一定 反転（条件により、線か、円のどっちかになる）
３．Scale 一定系
１．１．内積一定系
１．２．三角形の面積一定系
改めまして、
軌跡の解き方データベース。
１．軌跡で使う記号を 定義しましょう。（いつも おなじ 文字を 使うことを オススメします。問題に与えられた文字を すぐに 置換しましょう。たとえば α、βが あたえられても、ｓ、ｔ と置換します。）
点P系 の １変数のときは Time の ｔ。２変数のときは ｓ と ｔ
点Q系の X と Y。これは Y＝ｆ（X）の形になったとき、ｙ＝ｆ（x）に 戻します。わざわざ XYのように 大文字にしたのは、ｘ、ｙ平面 を 意識するためです。というのも、このX、Yは 変数というよりも 定数のような感覚で 扱うからです。
２．軌跡とは なにを やっているかというと、ある決まったルールに そって、点Pを 動かすとき、ある決まったルールに従って、Pと連動して、点Qが 動く という変換（Mapping、Image）を やっているんです。
P→ｆ→Q です。これが 関数の基本でしたね。
Qが線上（ｘｙ平面内）を 動く場合、その線のことを 軌跡と呼びます。
Qが面上（ｘｙ平面内）を 動く場合、その線のことを 領域と呼びます。
Qがｘ軸上を 動く場合、その線のことを 値域と呼びます。
３．軌跡には ４つの 階層があります。
３．１．点P系の ｔ の動き
３．２．ｔの動きから X、Yを 抽出。
３．３．点Q系の Y＝ｆ（X）の動き
３．４．点Q系の 図形的不変量を抽出。
４．XYの抽出作業。
４．１．交点の中点、分点
４．２．頂点
４．３．交点
４．４．円の中心
４．５．反転した点
４．６．抽出不可能な関数で飛ばしただけの点。No Image点
たとえば X＝ｓ＋ｔ 、Y＝ｓｔ のような 点のこと。
５．パラメータｔ あるいは パラメータ sinθ、cosθ あるいは ２パラメータｓ、ｔ を 消す作業。
パラメータというのは Time です。時間にそって、X,Yが 動くイメージ。
Time に大して X、Yが 一対一に対応するんです。
この Time を 消せば、ｙ＝ｆ（x）の 軌跡の点の集合である線が 抽出できます。
ただし、変数を消すときは かならず、範囲を 確かめてから 消しましょう。でないと、余計な ところまで 軌跡が 動いてしまう。
５．１． ｔ＝ｆ（X）を つくって ｙ＝ｇ（ｔ）の中に入れて消す。
５．２． X/Y ＝ｔ を つくって 消す。
５．３．ｃｃ＋ｓｓ＝ １ を 使って消す。
５．４． 上記４の 抽出作業を 省略して ｔを消す。
動く直線どうしの交点の軌跡
反転点の軌跡
で 省略します。
５．５． ｆ（ｓ、ｔ）＝０の等式条件から ｓとｔを消す。
これ以外、でません。安心して 軌跡の問題を 解いてください。
６．不変量から 直接 Y=ｆ（X）を 定式する。
距離系なら 三平方式、Hesse式
角度系なら tanθ茄子角式。内積式
これ以外の式で
幾何的に、距離が 一定になることで 円を 作り出す という流れが よくあります。
「不等式と領域」
軌跡から 領域になると （Ⅰ）において 点から線になる
「（Ⅰ）線の分析的な定式群」→変数ｔ を 消す。→→「（Ⅱ）領域の 総合的な定式群」
①ｆ（X、Y、ｔ）＝０ ① ｆ（ｘ、ｙ）＜０で グラフ。
②X、Y、ｔの範囲。少なくとも実数。 ② グラフの範囲。ｘの範囲
↑
（Ⅳ）図形の移動
１．線が動く軌跡が 領域。
上記の軌跡は 「点が動くことによって、軌跡として 線」ができました。
領域では 「線が動くことによって、軌跡として 平面」ができます。
つまり 線の通過範囲が 領域なんです。
さて、
領域の定式は 種類。
２．領域の定式。（Ⅰ）→（Ⅱ）の分析的定式
１．Fax 定式（直接的）
２．包み絡む定式（直接的）
３．媒介変数ｔの存在条件による間接的定式。
①ｔ が １次なら 「ジロー４flow」
②ｔ が ２次なら 「D判別式」
４．点上を ぐるぐる回る直線 と 平行に ズレながら うごく直線。
３．領域の定式。（Ⅳ）→（Ⅱ）の総合的定式
１．相似形の図形が ぐるぐる 動くグラフ。
これだけ。
というわけで、こういう感じで、データベースを 作ってみてください。
軌跡と領域の問題は チャート式では 太刀打ちできないことがよくわかると思います。
チャートでは 問題の種類が 少なすぎて、データベースが 不完全になってしまうからです。
今野和浩の 本で しっかり データを 増やしてください。
整理して覚えれば、確実に 試験中の 思い出せますよ。
２．三角関数
「一般角と三角関数」
とりあえず、数学ⅠAの 三角関数のところを見てください。
そこで「円関数」の考え方から、 一般角の概念も、得られます。
「三角関数の性質」
１．三角関数というか 円関数による 変数の ２次関数
数学ⅠAで 止まった２次関数の や 動く２次関数と動く定義域による ｍ＆M の変化について データベースしました。
そのデータベースにおいて、ｘ が cosや sin に変化するだけ。
「加法定理」
１．加法定理の覚え方は 記号化
S＋＝ｓｃ＋ｃｓ
S－＝ｓｃ－ｃｓ
こじつけ方。Sは plusは plusになる 素直なやつ。Sは ｓｃのように クロスタームになる。クロ「エス」タームになる。Cross term。そして、Sは ｓが 好きだから、ｓｃ の項が左になる。
上のsinの中の角度は α ＋β の順で、sinαcosβの順に、角度が 入っていく。
まあ、語呂合わせで やりたいひとは やってください。
次、
C＋＝ｃｃ－ｓｓ
C－＝ｃｃ＋ｓｓ
こじつけ方。Sは plusは minusになる あまのじゃくなやつ。ビタミンCといえば CCレモン。ｃｃやｓｓのようになる。そして、Cは ｃが 好きだから、ｃｃ の項が左になる。
こうやって SとCに 性格を つければ 私は 覚えられました。色をつけるっていうかな。
これは 私のオリジナルの覚え方です。
２．加法定理の証明。
私は 複素平面でやるのが 好きです。いろいろあるので 好きなやり方をどうぞ覚えてください。
「倍角・半角・積と和の公式」
加法定理が導き出せれば、すべての 三角関数の 定式を 思い出すことができます。覚えなくてもいいんです。
１．tanの加法定理。
これも 覚えなくてもいい。
ｔ＋＝ｓ＋/ｃ＋＝ｓｃ＋ｃｓ/ｃｃ－ｓｓ
「tanの加法定理は なす角定式」です
２．倍角というか 半角定式
２αの角のsin、cosを ’ を つけて 表示すると、
S'＝２ｃｓ （クロスタームを ｃとｓ で書くとき、普通は、ｃを先に書きます。それが 数学がわかっているひとと わかっていないひとを 見分けるリトマス試験紙みたいなものです。）
C’＝ｃｃ－ｓｓ＝２ｃｃ－１＝１－２ｓｓ
C’から 半角定式がでてきます。
これは 別名「三角関数の次数下げあるいは 次数上げ定式」であり「三角関数の √はずし定式」でもあります。
１．ｃｃ ｓｓ ｃｓ の２次項は すべて １次の項に 次数下げできます。
２．１＋ｃ 、１－ｃ は ２次式に 次数上げできます。これを 利用して、ルートを消す。
３．和→積、積→和 の定式。
これは 覚える必要なくて、導き出す必要がある定式です。２０秒以内に、定式を 思い出せるように 反復練習してください。
導き方は、カンタン。
S＋＝ｓｃ＋ｃｓ
S－＝ｓｃ－ｃｓ
を 足したり引いたりするか、
C＋＝ｃｃ－ｓｓ
C－＝ｃｃ＋ｓｓ
を 足したり引いたりするか だけです。
つまり ４通り。
S＋＋S－＝２ｓｃ
S＋－S－＝２ｃｓ
そして
C＋＋C－＝２ｃｃ
C＋－C－＝－２ｓｓ
和 ｖｓ 積
これを 右に行ったり、左に行ったりすればいいだけ。
「加法定理の変形」
１．asinθ＋ｂcosθ＝ｒ sin（θ＋α）は 加法定理だけど、加法定理を 使って、導かずに、絵を描いて、こじつけで すぐに定式できるようにする。
（a,b）という 座標を書いて、
＊。ここまでの すべての三角関数のｃとｓに関数する 定式を すべて 総動員して、三角関数の 方程式のデータベースを 作ります。
アフィリエイト次第で、データベースを 紹介しよーかなー
じゃあ、Teasing ついでに、ちょこっと 紹介。
「標準形。Acos（ω（ｔ＋T））」
１．cos、sin、tan の３元
２．ω の角速度元
３．ｔ の 時間元
４．Tの 時間ずれ元
この４つの元を 「一元化」することを考える。
１．cos、sin、tan の３元の一元化
１．１．三平方
１．２．tan消し
１．３．人と他人
１．４．ｃ＋ｓ合成
１．５．すべてを半角のt に変える。
１．６．すべてを ｃ＋ｓ＝ｗ の形に変える。
２．ω の角速度元の一元化
２．１．倍角式
３．ｔ の 時間元の一元化
３．１．等式条件 変数消し
４．Tの 時間ずれ元の一元化
４．１．加法
４．２．積和
４．３．和→積しぼり
「どうやったら 積の形にできるかだけを 考える」
（ｃだけの式）（ｓだけの式）＝０
「sin（ω（ｔ＋T））のωｔ＋Tの ωとTの形によって、定式を決める」式。
１．ω系。
１．ω＝＋１、－１系
θ＝３０具体化変換
２．ω＝２、１/２ 系
C’＝ｃｃ－ｓｓ
→二次同次化
←次数下げ
←同じθ化
→√消し
← 半角の式
S’＝２ｃｓ
→二次同次化
←次数下げ
←同じθ化
→ ｃｓ対称式化
３．ω＝３ 系
サンシャイン引いて夜風が身にしみる
４．ω＝４以上 系 は チョビチェフ
２．T系
１．T=＋－９０° 系
θ＝３０具体化変換
２．T=＋－１８０°系
θ＝３０具体化変換
３．指数関数と対数関数
「指数の拡張、累乗根」
１．指数を 考えるときも、つねに グラフと一対一で イメージし続ける。
ｙ＝eのｘ乗
２．「両辺を○乗する」ｖｓ「両辺を１/○乗する」
これは
ｙ＝ｘの○乗 グラフの中に入れて考える。
○が 奇数のときは ｘは 正でも負でもいいけど
偶数のときは ｘが 正のときのみ。でないと 複素数になる。これは 指数関数は 実数の時にしか考えない。
「指数関数」
１．名前を はっきりさせる。「指数」「底」「対数」の３変数。
ｙ ＝aの ｘ乗
↑ ↑ ↑
「指数」 「底」 「対数」
じゃあ これの逆関数はといと、 logを使って表現する。
ｘ ＝log a ( ｙ ）
↑ ↑ ↑
「対数」 「底」 「指数」
２．大小比較。数の大小関係を保存するような 変換を使う。
比較するための、定規を用意する。定規の種類は３つ
２．１．底 定規による ｙ＝aのｃ乗グラフ
たとえば
ｙ＝２のｃ乗グラフと
ｙ＝３のｃ乗グラフ を ２つのグラフで 比べる。
２．２．指数 定規による ｙ＝ｃのa乗グラフ
たとえば
ｙ＝cの2乗と
ｙ＝cの3乗をグラフ を １つのグラフで 比べる。
２．３． 「両辺ｎ乗」定規による ｙ＝ｘのｎ乗グラフ
目標の数字が カンタンに 比較できる 整数になるように ｎ乗することで、比較する。
これは 目標の数字が 実数で 正だと、
ｙ＝ｘのｎ乗グラフ が 単調増加だから 比較が可能になる。
たとえば
ｘ＝２の１/２乗 と
ｘ＝３の１/３乗 を
ｙ＝ｘの６乗 グラフの中に入れると、
それぞれ
ｙ＝２の３乗 ＝８ と
ｙ＝３の２乗 ＝９ と ｙ軸に イメージできて 比較が可能になる。
３．指数方程式。
今まで、 ２次関数の方程式のｘ を 三角関数のsinやcosやtanにして ２次関数曲線を 描いていきました。それが
２次関数の方程式のｘ を 指数関数の（２のｘ乗） とかで ２次関数曲線を 描いていきます。
三角関数の場合、
sinθ＝定数 で ２つ θが定量できたり、１つだったりしますけど
指数関数も対数関数も 単調増加、単調減少なので １つしかでません。
４．指数方程式の 有理数解シボリ式
（２のｘ乗）＝３ という式になったとき。
この等式は インポテンツ、つまり 絶対に 成立しません。よって
（２のｘ乗）＝（３のｙ乗）という式では つねに
ｘ＝ｙ＝０ が定式データベース来ます。
ｎの０乗は つねに １だから 等式が 成立するからです。こういう定式も たまーーーーーーに 出ます。
「対数とその性質」
対数は 指数の逆関数の位置関係です。おさらいすると次のようになる。
ただし、指数の違って、指数のことを 「真数」という。なぜ 名前を変えちゃうのかは 日本数学会に クレームを 入れてください。
ｙ ＝aの ｘ乗
↑ ↑ ↑
「真数」 「底」 「対数」
じゃあ これの逆関数はといと、 logを使って表現する。
ｘ ＝log a ( ｙ ）
↑ ↑ ↑
「対数」 「底」 「真数」
イメージは
（対数→底で 乗する→真数）
（真数→底で logする→対数）
です。
こういう 逆関数の例をいくつも知っていると、すんなりと することができます。
たとえば
ｙ＝ｘｘｘ の逆関数は
ｘ＝（ｙの１/３乗）
たとえば
ｙ＝sin ｘ の逆関数は
ｘ＝arcsin ｙ です。
（角度情報ｘ →円関数の変位ｙ）
（円関数の変位ｙ→角度情報ｘ）
絵でイメージすると
ｘ →ｆ ： 関数→ ｙ
ｙ →arc f ： 逆関数→ ｘ
ｘから 右に行くのが 関数。
ｙから 左に行くのが 逆関数。
２．対数を考えるときは、常に、グラフ上で考える。
対数関数のグラフは 指数関数のグラフを ｙ＝ｘで ぱったんと ひっくり返した形をしています。
関数ｆ と 逆関数arcfの
ｙ＝ｆ（ｘ）と ｙ＝arcｆ（ｘ） を 同じグラフにいれると
「常に、ｙ＝ｘ と 鏡の関係になる」
（ちなみに、ｘ＝arcｆ（ｙ） は ｙ＝ｆ（ｘ）と まったく同じ関数です。「ｙとｘ を ひっくり返す」という演算は、（x、ｙ）平面上のグラフを ｙ＝ｘ で 折り返すという行為と 同値なんです。）
変換だけを演算としてイメージすると、
arcf ・f ＝１
arcf ・f ・arcf ＝arcf
プロジェクトのサポートに感謝申し上げます✨皆様の支援で、私の時間をよりこの活動に注げます🙏ご協力いただけると幸いです🌸よろしくお願いします🤗