数学問題25

$${a, b}$$ を正の実数とする。
直線 $${L: ax + by = 1}$$ と曲線$${y = -\frac{1}{x}}$$との 2 つの交点のうち、$${y}$$ 座標が正のものを $${P}$$、負のものを $${Q}$$ とする。
また、$${L}$$ と $${x}$$ 軸との交点を $${R}$$ とし、$${L}$$ と $${y}$$ 軸との交点を $${S}$$ とする。

$${a, b}$$ が条件

$$
\frac{PQ}{RS} = \sqrt{2}
$$

を満たしながら動くとき、線分 $${PQ}$$ の中点の軌跡を求めよ。

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