数学問題10

A, B の 2 人が階段の一番下の段にいる。2 人はじゃんけんをして、下記のルールに従い階段を移動するゲームを繰り返し行う。

• A は勝ったら 1 段のぼり、あいこか負けた場合、同じ段にとどまる。

• B はグー、チョキで勝ったら 1 段のぼり、パーで勝ったら 3 段のぼる。また、あいこか、グー、チョキで負けた場合、同じ段にとどまる。パーで負けたら階段の一番下の段まで戻る（すでに一番下の段にいる場合はとどまる）。

A, B ともに、$${\frac{1}{3}}$$ ずつの確率でグー、チョキ、パーを出すものとし、すべての試行は独立とする。2 回目以降のゲームは、2 人とも直前のゲームでの移動を終えた位置で行うものとする。階段の一番下の段を 0 段目とし、そこから $${m}$$ 段のぼった段を $${m}$$ 段目とする。次の問いに答えよ。

問1

$${n}$$ は自然数とし、$${m}$$ は $${0 \leqq m \leqq n}$$ である整数とする。
$${n}$$ 回のゲームを終えた結果、A が $${m}$$ 段目にいる確率 $${x_{n,m}}$$ を求めよ。

問2

$${m}$$ は 0 以上の整数とする。2 回のゲームを終えた結果、B が $${m}$$ 段目にいる確率 $${y_m}$$ を求めよ。

問3

$${n}$$ は自然数とする。$${n}$$ 回のゲームを終えた結果、B が 0 段目にいる確率 $${z_n}$$ を求めよ。

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