数学問題9

以下の条件を満たす実数 $${a, p, q}$$ を考える。

$$
\begin{cases}
5p^2 + 2p = q^2 + 5q \\
q = ap \\
pq \neq 0
\end{cases}
$$

次の問いに答えよ。

問1

$${a \neq \pm \sqrt{5}}$$ のとき、$${p}$$ と $${q}$$ をそれぞれ $${a}$$ を用いて表せ。

問2

$${a}$$ は有理数で、$${a = \frac{m}{k}}$$ と既約分数で表示されているとする。ただし、$${k}$$ は自然数、$${m}$$ は整数とする。

1. $${5m - 2k}$$ が $${5k^2 - m^2}$$ の倍数ならば、$${p}$$ と $${q}$$ はともに整数であることを証明せよ。

2. 逆に、$${p}$$ と $${q}$$ がともに整数ならば、$${5m - 2k}$$ は $${5k^2 - m^2}$$ の倍数であることを証明せよ。

3. $${p}$$ と $${q}$$ がともに整数ならば、121 は $${5k^2 - m^2}$$ の倍数であることを証明せよ。

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