数学問題11

$${i}$$ は虚数単位を表すものとする。複素数 $${z}$$ に関する方程式

$$
z = \left( \cos \frac{\pi}{3} - i \sin \frac{\pi}{3} \right) \overline{z}
$$

の表す複素数平面上の図形を $${\ell}$$ とする。次の問いに答えよ。

問1

$${\ell}$$ は直線であることを証明せよ。

問2

直線 $${\ell}$$ に関して複素数 $${w}$$ と対称な点を $${w}$$ の式で表せ。

問3

複素数 $${z}$$ に対して、$${z}$$ を点 1 を中心に反時計回りに $${\frac{2\pi}{3}}$$ 回転した点を $${z_1}$$ とし、次に $${z_1}$$ を原点を中心に反時計回りに $${\frac{2\pi}{3}}$$ 回転した点を $${z_2}$$ とする。さらに、直線 $${\ell}$$ に関して $${z_2}$$ と対称な点を $${f(z)}$$ とする。$${f(z)}$$ を $${z}$$ の式で表せ。

問4

$${f(z)}$$ は問3のとおりとする。複素数 $${z}$$ に関する方程式

$$
f(z) = -z - \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i
$$

の表す複素数平面上の図形を図示せよ。

---