数学問題

曲線 $${ C_1 : y = ax^2 }$$ （$${ x }$$ は実数、$${ a > 0 }$$、$${ a }$$ は実数）、
曲線 $${ C_2 : y = \dfrac{1}{x} }$$ （$${ x }$$ は実数、$${ x < 0 }$$）、
曲線 $${ C_3 : y = -\dfrac{1}{x} }$$ （$${ x }$$ は実数、$${ x > 0 }$$）について考える。

$${ x < 0 }$$ （$${ x }$$ は実数）において、
直線 $${ \ell_1 }$$ は曲線 $${ C_2 }$$ と点 $${ P \left( p, \dfrac{1}{p} \right) }$$ （$${ p }$$ は負の実数）で接し、
曲線 $${ C_1 }$$ と点 $${ Q (q, aq^2) }$$ （$${ q }$$ は負の実数）で接する。

$${ x > 0 }$$ （$${ x }$$ は実数）において、
直線 $${ \ell_2 }$$ は曲線 $${ C_3 }$$ と点 $${ S \left( s, -\dfrac{1}{s} \right) }$$ （$${ s }$$ は正の実数）で接し、
曲線 $${ C_1 }$$ と点 $${ R (r, ar^2) }$$ （$${ r }$$ は正の実数）で接する。
直線 $${ \ell_1 }$$ と直線 $${ \ell_2 }$$ の交点を $${ A }$$ とする。

以下の設問に答えよ。

1. $${ p, q, r, s }$$ をそれぞれ $${ a }$$ の式で表記せよ。

2. 点 $${ A }$$ は $${ y }$$ 軸上に存在することを示すとともに、点 $${ A }$$ の $${ y }$$ 座標を $${ a }$$ の式で表記せよ。

3. $${ \triangle AQR }$$ の面積が一定の値となることを示し、$${ \triangle AQR }$$ の面積を求めよ。

4. $${ \triangle AQR }$$ が正三角形となるとき、$${ a }$$ の値を求めよ。

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