数学問題14
$${\theta}$$ を $${0 < \theta < \pi}$$ を満たす実数とする。空間内の 4 点
$$
A(1, 0, 0), B(-1, 0, 0),
C(\cos \theta, \sin \theta, 1), D(-\cos \theta, -\sin \theta, 1)
$$
を頂点とする四面体 $${ABCD}$$ を考える。
（1）四面体 $${ABCD}$$ を平面 $${z = t (0 < t < 1)}$$ で切った切り口は平行四辺形であることを示し、2 つの対角線の長さを $${\theta}$$ と $${t}$$ を用いて表せ。
（2）四面体 $${ABCD}$$ を $${z}$$ 軸の回りに回転させるとき、四面体が通過してできる立体の体積を $${\theta}$$ を用いて表せ。
$${\large📊 難易度評価と解答時間目安 📊}$$
$${\boxed{🔹難易度：★★★★☆（やや難）}}$$
この問題では、空間内の四面体の断面の形状を調べる ことと、
回転体の体積を求める計算 が必要になります。
$${\underline{\large✔理由}}$$
・（1）では、断面が平行四辺形であることを証明し、対角線の長さを求める。
・（2）では、四面体を回転させることで生じる立体の体積を計算する。
・空間図形の理解、ベクトル計算、積分の知識が必要。
$${\underline{\large✔どのレベル向け？}}$$
・大学入試（理系数学）レベル。
・空間座標の処理や回転体の計算を強化したい人向け。
$${\underline{\large⏳解答時間目安}}$$
・数学が得意な人：30～40分
・一般的な受験生：50～60分
・数学が苦手な人：解答するのは難しい
$${\underline{\large💡難所ポイント}}$$
・（1）：四面体の断面が平行四辺形であることの証明。
・（2）：回転体の体積を求める際の積分の扱い。
$$
\begin{Vmatrix}✨\\
\bold{空間図形と回転体の}\\
\bold{理解を深めよう！}\\
✨\end{Vmatrix}
$$
$${\large📝解答・解説📝}$$
【(1) 平面 $${z = t}$$ での切り口が平行四辺形であることの証明】
① 平面 $${z = t}$$ による断面の点
四面体の頂点 $${C}$$ と $${D}$$ の $${z}$$ 座標は $${1}$$ なので、
$${z = t}$$ による切断面は$${C}$$ と $${D}$$ の $${z}$$ 座標が $${t}$$ のときの
$${x, y}$$ 座標を求めることで得られる。
点 $${C}$$ の $${z}$$ 座標を $${t}$$ にするため、
$${(x, y)}$$ 座標は $${(\cos \theta, \sin \theta)}$$ の比例縮小：
$${{C'} = (\cos \theta \cdot t, \sin \theta \cdot t, t)}$$
同様に、点 $${D}$$ の $${z}$$ 座標を $${t}$$ にすると：
$${{D'} = (-\cos \theta \cdot t, -\sin \theta \cdot t, t)}$$
また、$${AB}$$ は $${z}$$ 軸上で $${t}$$ による影響を受けないので：
$${{A'} = (1, 0, t), \quad B' = (-1, 0, t)}$$
② 断面が平行四辺形であることの証明
$${A'B'C'D'}$$ の4点が定まったので、対角線を考える。
・$${A'B'}$$ は $${(-1, 0, t)}$$ から $${(1, 0, t)}$$ なので、
長さは $${2}$$
・ $${C'D'}$$ は $${(-\cos \theta \cdot t, -\sin \theta \cdot t, t)}$$ から $${(\cos \theta \cdot t, \sin \theta \cdot t, t)}$$ なので、
長さは $${2t \cos \theta}$$
よって、$${A'B' = C'D'}$$ が成立し、平行四辺形である。
③ 2つの対角線の長さ
・対角線 $${A'C'}$$ の長さは、
$${{A'} = (1, 0, t)}$$ と $${{C'} = (\cos \theta \cdot t, \sin \theta \cdot t, t)}$$ の距離：
$${\sqrt{(1 - \cos \theta \cdot t)^2 + (\sin \theta \cdot t)^2}}$$
$${= \sqrt{1 - 2t\cos\theta + t^2}}$$
・ 対角線 $${B'D'}$$ の長さは、
$${{B'} = (-1, 0, t)}$$ と $${{D'} = (-\cos \theta \cdot t, -\sin \theta \cdot t, t)}$$ の距離：
$${\sqrt{(-1 + \cos \theta \cdot t)^2 + (\sin \theta \cdot t)^2}}$$
$${= \sqrt{1 - 2t\cos\theta + t^2}}$$
よって、2つの対角線の長さはともに $${\sqrt{1 - 2t\cos\theta + t^2}}$$。
【(2) 四面体の回転体の体積】
① 四面体を回転させるとできる立体
四面体 $${ABCD}$$ を $${z}$$ 軸の周りに回転させると、
$${C}$$ の軌跡と $${D}$$ の軌跡が回転面を形成し、
回転体の形状は円環型の立体となる。
断面形状を回転させると、回転する範囲の半径が
$${x = \cos \theta}$$ から $${x = 1}$$ までの回転体になる。
② 体積計算
回転体の体積は円環形の積分により求められる。
$${C}$$ が $${z}$$ 軸の周りを回転すると、
円柱形のスライスを考えた体積の合計：
$${V = \int_0^1 \pi [(1)^2 - (\cos \theta)^2] dz}$$
積分を計算すると：
$${V = \pi(1 - \cos^2\theta) \int_0^1 dz}$$
$${V = \pi (1 - \cos^2\theta) \cdot 1}$$
$${V = \pi (1 - \cos^2\theta)}$$
また、$${\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta}$$ なので、
$${V = \pi \sin^2\theta}$$
$${\large🌟ワンポイントアドバイス🌟}$$
✅ 空間図形の断面を求める際は、軸と平面の関係を明確にする！
✅ 回転体の体積を求める際は、積分を適切に設定する！
✅ 対角線の長さを求めるときは、距離公式を正しく適用する！
$$
\begin{Vmatrix}✨\\
\bold{ 空間図形の操作に慣れ }\\
\bold{ 計算を正確に行おう！}\\
✨\end{Vmatrix}
$$
