数学問題23

図の三角柱 $${ABC\text{-}DEF}$$ において、$${A}$$ を始点として、辺に沿って頂点を $${n}$$ 回移動する。
すなわち、この移動経路

$$
P_0 \rightarrow P_1 \rightarrow P_2 \rightarrow \dots \rightarrow P_{n-1} \rightarrow P_n
\quad (\text{ただし } P_0 = A)
$$

において、$${P_0P_1, P_1P_2, \dots, P_{n-1}P_n}$$ はすべて辺であるとする。
また、同じ頂点を何度通ってもよいものとする。

このような移動経路で、終点 $${P_n}$$ が $${A, B, C}$$ のいずれかとなるものの総数 $${a_n}$$ を求めよ。

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