演繹定理とドモルガンの法則

これまでの内容については、
電流が流れるか流れないか学（電流学）｜カピ哲！｜note
をご覧ください。

　演繹定理とは以下のようなものである。

　Γ, Ａ⊢Ｃ　⇔ Γ⊢Ａ→Ｃ

（戸田山和久著『論理学をつくる』名古屋大学出版会、256ページ）

Γは論理式の集合、Ａ、Ｃは論理式、Γ, Ａ⊢Ｃとは、ΓとＡを前提として（ΓとＡを仮定して）Ｃが演繹可能、という意味である。
　電流学ではより具体的に直接的（？）に、(Γ∧Ａ)→Ｃと表現する。既にＶ除去その他の説明においてそのように取り扱ってきた。そして実際、実質的に同じことであるように思える（ひょっとして同じにならない場面があるのかもしれないが、少なくとも電流学においては考慮する必要がなさそうである）。
　ここではＶ除去の公理を題材に演繹定理を説明してみる。(Ａ→Ｂ)≡(￢Ａ∨Ｂ)、そしてドモルガンの法則を用いている。

① ((Ａ∨Ｂ)∧(Ａ→Ｃ)∧(Ｂ→Ｃ))→Ｃ
   ￢((Ａ∨Ｂ)∧(Ａ→Ｃ)∧(Ｂ→Ｃ))∨Ｃ
② ￢((Ａ∨Ｂ)∧(Ａ→Ｃ))∨￢(Ｂ→Ｃ) ∨Ｃ
   ￢((Ａ∨Ｂ)∧(Ａ→Ｃ))∨(￢(Ｂ→Ｃ) ∨Ｃ)
   ((Ａ∨Ｂ)∧(Ａ→Ｃ))→((Ｂ→Ｃ) →Ｃ)

・・・この証明は上から下の方向のみでなく、下から上の方向においても有効である。トートロジー（として同値）を維持しながら論理式の形態を変化させているだけだからだ。上記①と②の回路図を下に示す。

図32 ((Ａ∨Ｂ)∧(Ａ→Ｃ)∧(Ｂ→Ｃ))→Ｃまたは
　　　￢((Ａ∨Ｂ)∧(Ａ→Ｃ)∧(Ｂ→Ｃ))∨Ｃの回路図

図33　￢((Ａ∨Ｂ)∧(Ａ→Ｃ))∨￢(Ｂ→Ｃ) ∨Ｃまたは
　　　((Ａ∨Ｂ)∧(Ａ→Ｃ))→((Ｂ→Ｃ) →Ｃ)の回路図

同じような方法で、((Ａ∨Ｂ)∧(Ａ→Ｃ))→((Ｂ→Ｃ) →Ｃ)を(Ａ∨Ｂ)→((Ａ→Ｃ) →((Ｂ→Ｃ) →Ｃ))に変化させることもできる（もちろん逆方向も可）。
　これはV除去の回路のみでなく、（Ａ∧Ｂ∧Ｃ∧Ｄ∧…∧Ｙ）→Ｚのような形態ならば常に適用可能である。

(Ａ∧(Ａ→Ｂ)∧(Ａ→(Ｂ→Ｃ)))→Ｃ
￢(Ａ∧(Ａ→Ｂ)∧(Ａ→(Ｂ→Ｃ)))∨Ｃ
￢Ａ∨￢((Ａ→Ｂ)∧(Ａ→(Ｂ→Ｃ))) ∨Ｃ
￢((Ａ→Ｂ)∧(Ａ→(Ｂ→Ｃ))) ∨￢Ａ∨Ｃ
￢((Ａ→Ｂ)∧(Ａ→(Ｂ→Ｃ))) ∨(￢Ａ∨Ｃ)
((Ａ→Ｂ)∧(Ａ→(Ｂ→Ｃ)))→(Ａ→Ｃ)

・・・このように右側に移動する論理式はＡ、(Ａ→Ｂ)、(Ａ→(Ｂ→Ｃ))のどれを選んでもかまわない。