類体論 ―― 『代数的整数論』(河田敬義)の補足2
今回は5・1・2節(p72)です。
まず、次の命題を考えてみます。(原文ではa,AがそれぞれA,太字のAとなっています。すなわちa→A,A→太字のAです)
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n:正整数
E:1のn乗根の集合
k:標数0の体で、Eの元をすべて含むもの(すなわちE⊂k)
K/k:(有限次とは限らない)ガロア拡大
G:K/kのガロア群。Gはアーベル群で、任意の元σ(∈G)がσ^n=1を満たす
A: K×の部分群で、
① A={a∈K×|a^n∈k×}
さらにa∈A,σ∈Gに対し、写像 χa を
② χa(σ)=a/(σa)
によって定義します。
このとき、χa(στ)=χa(σ)・χa(τ)
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③ χa(σ)^n=a^n/(σa)^n=a^n/σ(a^n)
ここで、①より
a^n∈k×
なので、σ(a^n)=a^n,すなわち
a^n/σ(a^n)=a^n/a^n=1
よってχa(σ)^n=1,すなわち
④ χa(σ)∈E (a∈A,σ∈G)
となります。
χa(στ)=a/(στ)a=a/σa・σa/(στ)a
ここでE⊂k,χτ(a)∈Eであり、またσはkの元を動かさないので、
σa/(στ)a=σ(a/τa)=σ(χτ(a))=χτ(a)
よって
χ(στ)(a)=χσ(a)・χτ(a) (a∈A)
となり、χa(στ)=χa(σ)・χa(τ)が示されました。
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また、すべてのσ∈Gに対してχa(σ)=1となるならば
a/σa=1
すなわち
a=σa (∀σ∈G)
なので、ガロア理論の対応により
a∈k
であることも言えます。
さらにa^n∈k×の条件からa≠0なので、
a∈k×
であることが示されました。
次回も5・1・2節の続きです。
(つづく)