対称式の基本定理

ｎ個の変数
ｘ１，ｘ２，・・・，ｘｎ
についての多項式
Ｆ（ｘ１，ｘ２，・・・，ｘｎ）
が次の性質を満たすとき、
対称式であると言います。

性質：代入する値
ｘ１，ｘ２，・・・，ｘｎ
の順序を入れ替えても、
Ｆの形が変わらない。

言い換えると、
ｎ次対称群Ｓｎの元
（すなわち置換）σを任意に
とったとき、

F（ｘσ１，xσ２，・・・，ｘσｎ）
＝Ｆ（ｘ１，ｘ２，・・・，ｘｎ）

となるようなＦが対称式です。
たとえば２変数の場合なら
Ｆ（ｘ，ｙ）＝Ｆ（ｙ，ｘ）
となるような式で、例としては
ｘ＾２＋ｙ＾２や３ｘｙ＋ｘ＋ｙ
などがあげられます。

対称式の中でも
「同じ数の変数の積をすべて
足したもの」
を基本対称式とよびます。
たとえば３変数ｘ，ｙ，ｚの
場合なら

ｓ１＝ｘ＋ｙ＋ｚ，
ｓ２＝ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ，
ｓ３＝ｘｙｚ

が基本対称式です。
一般には

（ｔ－ｘ１）（ｔ－ｘ２）・・・（ｔ－ｘｎ）
＝ｔ＾ｎ－ｓ１・ｔ＾（ｎ－１）＋
ｓ２・ｔ＾（ｎ－２）－・・・＋（－１）＾ｎ・ｓｎ

により各ｓi（１≦ i ≦ｎ）が
定義されます。

これに関し、次の定理１が
対称式の基本定理として
知られています。

定理１　対称式Fは
ｓ１，ｓ２，・・・，ｓｎ
の多項式として表され、
しかもその表示は一意的である。

さらに、Ｆが整数係数ならば
表示も整数係数にできます。
すなわち

定理２　整数係数対称式Ｆは
ｓ１，ｓ２，・・・，ｓｎ
の整数係数多項式として
一意的に表される。

今回はこれらの定理の証明に
ついて見ていこうと思います。
まず、対称式Fは同じ次数型の
対称式に分解することができます。
たとえば
Ｆ＝ｘ＾２＋ｙ＾２＋２ｘ＋２ｙは
Ｆ１＝ｘ＾２＋ｙ＾２とF2＝ｘ＋ｙ
によりＦ１＋２Ｆ２と表せます。
より一般に、
a１≧a２≧・・・≧aｎ（≧０）
を満たす非負整数の列
Ａ＝（a１，a２，・・・，aｎ）
を型と呼び、
型Ａの対称式Ｄ（Ａ）を
「ｐ１＾a１・ｐ２＾a２・・・・ｐｎ＾aｎ
の次数型をもつ式の和」
として定義します。
ここで
（ｐ１，ｐ２，・・・，ｐｎ）は
（ｘ１，ｘ２，・・・，ｘｎ）
の置換、すなわち適当に順序を
入れ替えたものです。

たとえば３変数ｘ，ｙ，ｚの場合、
Ｄ（（３，２，１））は

ｘ＾３・ｙ＾２・ｚ＋ｘ＾３・ｚ＾２・ｙ＋
ｙ＾３・ｘ＾２・ｚ＋ｙ＾３・ｚ＾２・ｘ＋
ｚ＾３・ｘ＾２・ｙ＋ｚ＾３・ｙ＾２・ｘ

またＤ（（２，０，０））は

ｘ＾２＋ｙ＾２＋ｚ＾２

です。特殊な場合として、
Ｄ（（０，０，０））
は１になります。

対称式Ｆはいくつかの型
Ａ１，Ａ２，・・・Ａｋ
の対称式による線形和
ｒ１・Ｄ（Ａ１）＋ｒ２・Ｄ（Ａ２）＋
・・・＋ｒｋ・Ｄ（Ａｋ）
として表されます。
すると定理１，定理２は
（一意性に関する部分を除き）
次の命題３に帰着されます。

命題３
任意の型Aに対し、D（A）は
ｓ１，ｓ２，・・・，ｓｎの
整数係数多項式として表される。

この命題を証明するため、
型の間に辞書式順序を導入します。
すなわち次のような順序です。

（a１，a２，・・・，aｎ）＜（ｂ１，ｂ２，・・・，ｂn）
⇔　
「あるｋに対しaｋ＜ｂｋ，
かつ１≦ｒ≦ｋとなるｒに
対してはaｒ＝ｂｒ」

言い換えると、最初に異なる数が
出てきたとき、ｂの方が大きい
ならば右辺の方を大とすることに
なります。
たとえばｎ＝３のときは

（０，0，０）＜（１，0，０）
＜（１，１，０）＜（１，１，１）
＜（２，０，０）＜（２，１，０）
＜（２，１，１）＜（２，２，０）＜・・・

となります。
次に、Aの並びを同じ数の
連続ごとに分けて考えます。
たとえば
Ａ＝（５，５，５，４，２，2，２，０，０）
ならば５が３つ，４が１つ，
２が３つ，０が２つなので、
このＡを
〈５，３〉〈４，１〉〈２，３〉〈０，２〉
という風に表します。
これを分解表示と呼ぶことに
しましょう。
この分解表示において、
最初の項〈５，３〉の５を１つ
減らした〈４，３〉に置き換えると
〈４，３〉〈４，１〉〈２，３〉〈０，２〉
となりますが、
〈４，３〉〈４，１〉はまとめて
〈４，４〉となるので
〈４，４〉〈２，３〉〈０，２〉
となります。
このように置き換えたものを
P（A）とします。
この場合なら
P（A）＝（４，４，４，４，２，２，２，０，０）
となります。
またＡとP（A）を
ベクトルとして見たときの差
（１，１，１，０，０，０，０，０，０）
をQ（A）とおきます。
（ただしA＝〈０，ｎ〉のときは
Ｐ（Ａ）＝Ｑ（Ａ）＝〈０，ｎ〉
とします）

このとき、多項式
D（P（A））・D（Q（A））
は対称式で、
それを型ごとに分解したときの
最も順序の高い項は
D（A）となります。
すなわち
D（A）－D（P（A））・D（Q（A））
はAより低い型の項のみからなる
整数係数対称式になります。
（Ａ＝〈０，ｎ〉の場合は０です）

すると、まずA＝〈０，ｎ〉の
ときはＤ（Ａ）＝１，また
Ａ＝〈１，ｍ〉〈０，ｎ－ｍ〉
（１≦ｍ≦ｎ）
のときはＤ（Ａ）＝Ｓｍとなり、
命題３が成り立ちます。
（Ｄ（〈０，０〉）＝１と考えます）
すなわち辞書式順序で
ｎ＋１番目までのＡについては
成り立つことがわかりました。

次に、辞書式順序ｋ（≧ｎ＋１）
番目のＡ（＝Ａ（ｋ））まで
命題３が成り立ったと仮定します。
すると、ｋ＋１番目の
Ａ´＝Ａ（ｋ＋１）については
Ｄ（Ｐ（Ａ´）），Ｄ（Ｑ（Ａ´）），
および
Ｄ（Ａ´）－Ｄ（Ｐ（Ａ´））・Ｄ（Ｑ（Ａ´））
のいずれもＡ´より低い順序の
型をもつ項のみによる
整数係数対称式となります。
すなわちこれらの式は
Ｂi＜Ａ´を満たすいくつかの
D（Bi）の整数係数線形和と
なるので、帰納法の仮定から
この場合も命題３が成り立ちます。

よって辞書式順序に関する
帰納法が成立し、
命題３が示されました。
これにより定理１，定理２も
一意性に関する部分を除いて
示されたことになります。

最後に一意性の証明に移ります。
対称式Fが仮に、
異なる２つの多項式Ｇ，Ｈにより

①　Ｆ（ｘ１，ｘ２，・・・，ｘｎ）
　　＝Ｇ（ｓ１，ｓ２，・・・，ｓｎ）
　　＝Ｈ（ｓ１，ｓ２，・・・，ｓｎ）

と表されたとします。
Ｅ＝Ｇ－Ｈ
とおくと、仮定からＥ≠０です。
他方で、任意の
（ｓ１，ｓ２，・・・，ｓｎ）
に対し、
それを実際に各対称式の値とする
（ｘ１，ｘ２，・・・，ｘｎ）
が存在します。なぜならば、
代数学の基本定理により

②　ｔ＾ｎ－ｓ１・ｔ＾（ｎ－１）
　　＋ｓ２・ｔ＾（ｎ－２）－・・・
　　＋（－１）＾ｎ・ｓｎ

は必ずｎ個の根を持ちますが、
それらを
ｘ１，ｘ２，・・・，ｘｎ
とすれば条件が満たされるからです。
すると①により、
Ｅ＝Ｇ－Ｈはあらゆる
（ｓ１，ｓ２，・・・，ｓｎ）
に対して０の値をとります。
従って多項式としてもＥ＝０と
なりますが、これは上記の
Ｅ≠０に矛盾します。
よって背理法により一意性も
示され、定理１，定理２は
完全に証明されました。

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一般に、対称式の基本定理と
言えば定理１を指すことが
多いですが、定理２の形にまで
精密化すると代数的整数の全体が
環をなすことの証明などに使えて
便利です。
これについてはまた後日に。