類体論 ――『代数的整数論』（河田敬義）の補足

類体論の証明本、『代数的整数論』（河田敬義）の分かりにくいところなどを補足していこうと思います。

今回は５章の定理５・１の証明（ｐ７１～７２）です。

分かりにくいのは次の命題です。

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Ｋ／ｋを有限次ガロア拡大，そのガロア群をＧとおく。

［K：ｋ］＝ｎ（≧２）とすると

①　K＝ω１・ｋ⊕ω２・ｋ⊕……⊕ωｎ・ｋ　（ωi∈K）

となるような {ωi} がとれる。その上で、

ｎ次正方行列Ａ＝（Ａiτ）をAiτ＝τ（ωi）　（τ∈G）により定義する。

このとき、det A ≠０となる。

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K＝ｋ（θ）とおくと

Ｋ＝ｋ⊕ （θ・ｋ）⊕（ θ＾２・ｋ）⊕ …… ⊕（ θ＾（ｎ－１）・ｋ）

と表されるので、ωiとして

②　ωi＝θ＾（i－１）

がとれます。

このとき、AはVandermonde の行列式となり、その値は

③　±Π（σθ－τθ）　（σ，τ∈G，σ≠τについての積。σθ－τθとτθ－σθは一方だけを掛ける）

となります。

④　σθ≠τθ　（σ≠τ）　　（証明は後述）

なので③の値は０にはなりません。

よってdet A ≠０となります。

{ωi}として別の基底をとった場合は②の場合との変換行列をPとすると det Aは det P 倍になりますが、Pが正則行列であることから det P ≠０。

よってやはり det A ≠０となります。

④の証明

一般に、Kの元 α はθを用いたｋ係数多項式で表されます。すなわち、

⑤　α＝a０＋a１・θ＋a２・θ＾２＋a３・θ＾３＋・・・　　（ai∈ｋ，０≦ i ≦ｎ－１）

仮に σθ＝τθ ならば σ（θ＾i）＝τ（θ＾i）であり、また σ，τ ともにｋの元は動かさないので

⑥　σα＝τα

Ｋの任意の元 α について⑥が成り立つので、σ＝τとなります。

従って σ≠τ ならば④が成り立つことが示されました。

以上により、目的の命題が証明されました。

次回は 5・1・2 節に移ります。