インド式計算を理解してみた　その１

６５×４２を解いてみる

VRChatに住んでいるブルージーです。
今回は唐突にインド式計算の掛け算を調べてみました。

例えば６５×４２を通常の計算で解く場合、以下のように計算すると思います。

　　６５
　× ４２
￣￣￣￣
　　１０
　１２
　２０
２４
￣￣￣￣
２７３０

これをインド式計算ではこれを以下のように計算します。

　　６５
　× ４２
￣￣￣￣
２４１０
　３２
￣￣￣￣
２７３０

１０の位の６×４と１の位の５×２を計算し、１０の位と１の位の掛け算である６×２と５×４の合計３２を足して上記の式のように合計します。

つまり、このように計算ができます。

　　ＡＣ
　× ＢＤ
￣￣￣￣
ＡＣＢＤ
　ＸＸ　←ＡＤ＋ＢＣをここに入力

なぜこれが可能になるかと言うと、この計算を展開すればわかります。
ＡＢ×ＣＤを展開すると、以下のようになります。

ＡＣ×ＢＤ＝１００ＡＢ＋１０ＡＤ＋１０ＢＣ＋ＣＤ
　　　　＝１００ＡＢ＋１０（ＡＤ＋ＢＣ）＋ＣＤ

九九計算は２ケタまでしか存在しないので、１００ＡＢとＣＤで繰り上がることはありません。
ですので最初に１００ＡＣ＋ＢＤを算出し、その後ＡＤとＢＣを加算して１０を乗算したものを加えればいいわけですね。

６７８×２６７を解いてみる

ここからさらに３ケタの場合どうなるのかを考えてみました。
ひとまずＡＢＣ×ＤＥＦを展開してみましょう。

ＡＢＣ×ＤＥＦ＝１００００ＡＤ＋１０００ＡＥ＋１００ＡＦ＋１０００ＢＤ＋１００ＢＥ＋１０ＢＦ＋１００ＣＤ＋１０ＣＥ＋ＣＦ
　　　　　　　＝１００００ＡＤ＋１０００（ＡＥ＋ＢＤ）＋１００（ＡＦ＋ＢＥ＋ＣＤ）＋１０（ＢＦ＋ＣＥ）＋ＣＦ

となります。これを６７８×２６７で計算した場合、以下のようになります。

　　　６７８
　　× ２６７
￣￣￣￣￣￣
１２・・・・　６×２＝１２
　５０・・・　６×６＋７×２＝３６＋１４
　１００・・　６×７＋７×６＋８×２＝４２＋４２＋１６
　　　９７・　７×７＋８×６＝４９＋４８
　　　　５６　７×８＝５６
￣￣￣￣￣￣
１８１０２６

となります。
そしてこれをやってるときに私はここで気が付いたことがあります。

階段とアスタリスクの法則

１００００の位：ＡＤ　　　　　　　の１つのみ。
　１０００の位：ＡＥ＋ＢＤ　　　　の２つを加算。
　　１００の位：ＡＤ＋ＢＥ＋ＤＦ　の３つを加算。
　　　１０の位：ＢＦ＋ＣＥ　　　　の２つを加算。
　　　　１の位：ＣＦ　　　　　　　の１つのみ。

・・・と、桁数の数だけ加算する数が１つずつ増えていき、その数を越えてからは加算する数が減っています。

これはＡＢＣＤ×ＥＦＧＨの場合においても同様の法則が成り立ちます。
当然それ以上の桁数でも同様です。

１００００００の位：ＡＥ　　　　　　　　　　１つのみ。
　１０００００の位：ＡＦ＋ＢＥ　　　　　　　２つを加算。
　　１００００の位：ＡＧ＋ＢＦ＋ＣＥ　　　　３つを加算。
　　　１０００の位：ＡＨ＋ＢＧ＋ＣＦ＋ＤＥ　４つを加算。
　　　　１００の位：ＢＨ＋ＣＧ＋ＤＦ　　　　３つを加算。
　　　　　１０の位：ＣＨ＋ＤＧ　　　　　　　３つを加算。
　　　　　　１の位：ＤＨ　　　　　　　　　　１つのみ。

このように５ケタであろうと６ケタであろうと基本は変わりません。
そして、この時に掛ける値は＊（アスタリスク）のように「対面の数字」を掛けていきます。

最後に

そんなわけで、触れてみると面白かったインド式計算でした。
好評ならまた調べて続けるかもしれないです。