被積分関数にガンマ関数が含まれる積分

今回は被積分関数にガンマ関数が含まれる積分を紹介します。具体的にはログガンマの原始関数。
積分表示はやたら有りますが、残念ながら、
申し訳ないけど、私の知る限りガンマ関数単体の原始関数、実数の積分の閉じた形は無さそう。(未解決なのか？)

積分一覧

今回はログガンマの積分のみ解説しますが、
次回ではガンマ関数の留数の性質を解説していきます。
取り敢えず今回、次回で扱うもの含めた積分一覧どうぞ

ログガンマの積分(ラーべの公式)

$${\displaystyle\int_{0}^{n}\log\Gamma(x)dx }$$  
$${=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}}$$$${k\log{k}-\displaystyle\frac{n(n-1)}{2}+\displaystyle\frac{n}{2}\log2\pi}$$

ただし、$${n\in\mathbb{N}}$$

留数定理

$${\displaystyle\oint_{\mathit{C}}\Gamma(z)dz=\frac{{(-1)}^{n}}{n!}}$$

ただし、積分経路はガンマ関数の$${z=-n}$$の極のみを囲う。

カヘン-メリン積分

$${\displaystyle\int_{\sigma-i\infty}^{\sigma+i\infty}\Gamma(z)x^{-z}dz=2i\pi e^{-x}}$$

ただし、$${0<\sigma\, ,\, 0<\Re{(x)}}$$
$${i}$$は虚数単位

解説

前述通り、今回はログガンマのやつのみです。

これまた 記憶のどこかで見た導出で、ざっくりした感じの証明になるので、厳密かはわからん。
でも、知られた結果なので、式は正しいです。

ログガンマ

ある積分を区分求積法の式にします。

$${\displaystyle\int_{0}^{1}\log\Gamma(x+y)dx}$$

$${=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\log\Gamma\bigg(\frac{k}{n}+y\bigg)}$$

ここで、ガウスの乗法公式

$${\Gamma(nz)=\displaystyle\frac{n^{nz}}{(2\pi)^{\frac{n-1}{2}}\sqrt{n}}\displaystyle\prod_{k=0}^{n-1}\Gamma\bigg(z+\frac{k}{n}\bigg)}$$

の、対数をとったもの

$${\log\Gamma(nz) \\ =\log(\frac{n^{nz-\frac{1}{2}}}{(2\pi)^{\frac{n-1}{2}}})+\,\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\log\Gamma\bigg(z+\frac{k}{n}\bigg)}$$

を使うと、

$${\displaystyle\int_{0}^{1}\log\Gamma(x+y)dx}$$

$${=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}(\log\Gamma(ny)-\log(\frac{n^{ny-\frac{1}{2}}}{(2\pi)^{\frac{n-1}{2}}}))}$$

$${=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}(\log(\frac{\Gamma(ny)}{\frac{n^{ny-\frac{1}{2}}}{(2\pi)^{\frac{n-1}{2}}}})}$$

さらに、スターリングの公式

$${\displaystyle\lim_{x\to\infty}\displaystyle\frac{\Gamma(x)}{\frac{1}{x}(\frac{x}{e})^{x}\sqrt{2\pi x}}=1}$$

を使うと、

$${\displaystyle\int_{0}^{1}\log\Gamma(x+y)dx}$$

$${=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}(\log(\frac{\frac{1}{ny}(\frac{ny}{e})^{ny}\sqrt{2\pi ny}}{\frac{n^{ny-\frac{1}{2}}}{(2\pi)^{\frac{n-1}{2}}}})}$$

見にくいので整理する

$${\displaystyle\int_{0}^{1}\log\Gamma(x+y)dx}$$

$${=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\log(\frac{ \sqrt{2\pi}(ny)^{ny-\frac{1}{2}}(2\pi)^{\frac{n-1}{2}} }{ e^{ny}(n)^{ny-\frac{1}{2}} })}$$

約分して、前の1/nを中に入れて、整理すると、

$${=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\log(\frac{ (2\pi)^{\frac{n}{2}}y^{ny-\frac{1}{2}} }{ e^{ny} })}$$

$${=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\log(\frac{ (2\pi)^{\frac{1}{2}}y^{y-\frac{1}{2n}} }{ e^{y} })}$$

$${=\displaystyle\lim_{n\to\infty}(y-\frac{1}{2n})\log y-y+\frac{1}{2}\log(2\pi)}$$

$${=y\log y-y+\frac{1}{2}\log(2\pi)}$$

きたー。よって、

$${\displaystyle\int_{0}^{1}\log\Gamma(x+y)dx}$$

$${=y\log y-y+\frac{1}{2}\log(2\pi)}$$

積分区間を変形すると、

$${\displaystyle\int_{y}^{1+y}\log\Gamma(x)dx}$$

$${=y\log y-y+\frac{1}{2}\log(2\pi)}$$

これを、yで和をとると積分区間がくっついて、

$${\displaystyle\sum_{y=0}^{n-1}\displaystyle\int_{y}^{1+y}\log\Gamma(x)dx}$$

$${=\displaystyle\int_{0}^{n}\log\Gamma(x)dx}$$

$${=\displaystyle\sum_{y=0}^{n-1}\Bigg(y\log y-y+\frac{1}{2}\log(2\pi)\Bigg)}$$

$${=\displaystyle\sum_{y=0}^{n-1}y\log y-\frac{n(n-1)}{2}+\frac{ n}{2}\log(2\pi)}$$

したがって、

$${=\displaystyle\int_{0}^{n}\log\Gamma(x)dx}$$

$${=\displaystyle\sum_{y=0}^{n-1}y\log y-\frac{n(n-1)}{2}+\frac{ n}{2}\log(2\pi)}$$

なかなか綺麗な式。

おまけ
右辺のログの和を積で表すと

$${\displaystyle\sum_{y=0}^{n-1}y\log y=\log\displaystyle\prod_{y=0}^{n-1}y^y}$$

これを適用して解くと、

$${\displaystyle\prod_{y=0}^{n-1}y^y\\ =e^{\frac{n(n-1)}{2}}(2\pi)^{\frac{n}{2}}\exp(\displaystyle\int_{0}^{n}\log\Gamma(x)dx)}$$

$${1^1×2^2×3^3×...n^n}$$が一般化される。

こんなお遊びみたい(数がデカすぎる)な関数まで一般化できるなんて。。ってかんじ。

何回でも和分すればもっとデカい関数も表せることになる。すごい。

ここまでです。ありがとうございます。