ガンマ関数を無限級数で表したい
今回は積分表示されがちなガンマ関数を、級数(厳密に言うと関数項級数？)で表現したいと思います。
今回紹介するガンマ関数の級数表示は自分で発見したので、またも厳密じゃないとこが含まれるかもしれません。
また、最後が重要なので読み切ってください。
方法
流れは前回の記事と同じで、積分の代わりに和分、微分の代わりに差分を使って、階乗を一般化することにより、ガンマ関数に繋げていきます。
前回の記事を読まないと結構わかりにくいかもです、、！
和分差分
和分とは、数列を足し算していくこと。
積分の記号がインテグラル「$${\int}$$」なら、
和分の記号はシグマ「$${\Sigma}$$」ということ。
差分とは、数列の、隣り合う2数の差。
$${\Delta_{k}a_{k}=a_{k+1}-a_{k}}$$
微分を$${\frac{d}{dx}}$$で表したように、差分では$${\Delta_{x}}$$を使います。
「積分の微分は元の関数」のように、
「和分の差分は元の数列」が成り立つ。
準備
和分差分が微分積分の代わりになるとはいっても、完全に同じものというわけではないので、成り立つ公式と、どこが変わっているのか紹介し、確認する。
部分和分
部分積分のような、2つの数列の積を和分するときに役立つのが部分和分。
$${\displaystyle\sum_{k=a}^{b}(f_{k})\,(\Delta_{k}g_{k})}$$
$${=[f_{k}g_{k}]_{a}^{b+1}-\displaystyle\sum_{k=a}^{b}(\Delta_{k}f_{k})\,(g_{k+1})}$$
ところどころ引数が1増えてることに注意。
証明は 差分の定義式に注意して展開する のみなので省略。
x^n っぽいもの
微分において、
$${\frac{d}{dx}x^{n}=n\,x^{n-1}}$$
が成り立っていたが、差分に置き換えてでは明らかに成り立たない
しかし階乗の一般化のためにはこのような関数、
$${a_{n}(x+1)-a_{n}(x)=n\,a_{n-1}(x)}$$
が欲しい。まあ結論を言うと x個の順列の数 が求める関数になっている。
$${{}_{x+1} \mathrm{P}_{n}-{}_{x} \mathrm{P}_{n}=n\,{}_{x} \mathrm{P}_{n-1}}$$
言われたら、「あ〜」って感じ。
組み合わせの、二項係数の有名な漸化式からでも導ける。
導出
やってることは前回と同じ。
まず、部分和分の式から、差分される方を$${{}_k\mathrm{P}_{n}}$$とする。
$${\displaystyle\sum_{k=a}^{b}{}_k\mathrm{P}_{n}\,(\Delta_{k}g_{k})}$$
$${=[{}_k\mathrm{P}_{n}g_{k}]_{a}^{b+1}-n\,\displaystyle\sum_{k=a}^{b}{}_{k}\mathrm{P}_{n-1}\,g_{k+1}}$$
ここで
$${\Delta_{n}g_n=-g_{n+1}}$$
を満たす数列を選べば、左辺の総和を$${G(n)}$$とすることで
$${G(n)=[{}_k\mathrm{P}_{n}g_{k}]_{a}^{b+1}+n\,G(n-1)}$$
きた。階乗っぽい。
そのような$${g_n}$$を求める。
$${\Delta_{n}g_n=-g_{n+1}}$$
$${g_{n+1}-g_{n}=-g_{n+1}}$$
$${g_{n+1}=\frac{1}{2}g_n}$$
$${g_n=g_0\,2^{-x}}$$
よって、あとは $${g_0[{}_k\mathrm{P}_{n}2^{-k}]_{a}^{b+1}}$$ が0となればいい。
$${{}_k\mathrm{P}_{n}}$$も結局は多項式オーダーなので
前回と同じ要領で、$${n\in\mathbb{N}}$$ならば
$${(a,b)=(0,\infty)}$$となる。
代入する。
$${g_0\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}{}_k\mathrm{P}_{n}2^{-k}}$$
$${=n\,g_0\displaystyle\sum_{k=a}^{\infty}{}_{k}\mathrm{P}_{n-1}2^{-k}}$$
$${n=1}$$で1になって欲しいので
$${g_0\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}k\,2^{-k}=1}$$
$${2g_0=1}$$
$${g_0=\frac{1}{2}}$$
完成?
整理すると、
$${n!=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\frac{{}_k\mathrm{P}_{n}}{2^{k+1}}\qquad n\in\mathbb{N}}$$
これで階乗を級数表示できたので終わり。
いーや、そうは問屋が卸さない。と思ったあなた。
なんとこの式、階乗を求めるために階乗（順列）を使ってる。
これじゃ意味なくね。
はい。そうです。数値計算には向いてません。
さらに、
これ、定義域拡張してもガンマ関数と一致しない
そう。$${{}_{0}\mathrm{P}_{n}}$$は$${n}$$が自然数の時のみ0なので、総和の上端下端を決めた時に自然数に制限していた。
ガンマ関数との関係
上記の通り、この関数は非負整数で階乗になってるだけで、ガンマ関数ではありません。
グラフに書くと、
正の範囲では若干ぐにゃぐにゃで、
負の範囲では極が消えている。
でもなんとかガンマ関数に繋げたいので、式変形していく。
本来の漸化式はこうであった。
$${G(n)={}_{0}\mathrm{P}_{n}+nG(n-1)}$$
変形すると
$${G(n)=\frac{1}{(-n)!}+nG(n-1)}$$
これをもう一回適用すると、
$${G(n)=\frac{1}{(-n)!}+\frac{n}{(1-n)!}\\ \qquad\qquad+n(n-1)G(n-2)}$$
約分して
$${G(n)=-\frac{1}{(-1-n)!(n)}+\frac{1}{(-1-n)!(n-1)}\\ \qquad\qquad+n(n-1)G(n-2)}$$
もう一度適用すると
$${G(n)=-\frac{1}{(-1-n)!(n)}+\frac{1}{(-1-n)!(n-1)}\\ \qquad\qquad-\frac{1}{(-1-n)!(n-2)}\\ \qquad\qquad+n(n-1)(n-2)G(n-3)}$$
これを無限回適用することを考える。
右辺の、$${G(x)}$$が含まれる項は極限を取ると消える。よって、
$${G(n)=-\frac{1}{(-1-n)!(n)}+\frac{1}{(-1-n)!(n-1)}\\ \qquad\qquad-\frac{1}{(-1-n)!(n-2)}+\frac{1}{(-1-n)!(n-3)}\\ \qquad\qquad -\frac{1}{(-1-n)!(n-4)}+...}$$
シグマを使ってかくと
$${G(n)=-\frac{1}{(-1-n)!}\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{n-k}}$$
階乗があるが、逆数になってるので、
相反公式
$${(-x)!(x-1)!=\Gamma(x)\Gamma(1-x)=\displaystyle\frac{\pi}{\sin(\pi x)}}$$
より、
$${G(n)=\Gamma(n+1)\displaystyle\frac{\sin(\pi n)}{\pi}\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{n-k}}$$
ガンマ関数きたー
つまり、今回の級数は階乗に余分な関数がくっついた形であった。
完成
$${n\in\mathbb{Z}_{\ge0}}$$ のとき
$${n!=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\frac{{}_k\mathrm{P}_{n}}{2^{k+1}}}$$
$${n\notin\mathbb{Z}}$$ のとき
$${n!=\Bigg\lparen\displaystyle\frac{\sin(\pi n)}{\pi}\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{n-k}\Bigg\rparen^{-1}\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\frac{{}_k\mathrm{P}_{n}}{2^{k+1}}}$$
綺麗だとは言えないが一応級数表示された。
浅い考察
まぁでも階乗を使っちゃってるから、
この式が日の目を浴びることはあるのか、？
和分差分を細かくしたやつでもできそう。
その極限とったら積分表示になる。
非整数バージョンの逆数のほうの級数は、色々調べてみる(研究)と奇数の逆数の交代和が関係していた。
ここまでです。ありがとうございます。