Porous Medium Equation, Fast Diffusion Equationにおける質量保存則について(その2)

では, 次に$${0 < m < 1}$$の場合であるFast Diffusion Equationの質量保存則を示す.

次の定理がしたがう.

Theorem 2(Mass conservation law for the Fast diffusion equation)

$${0 < m < 1}$$, $${u_0 \in L^1(\R^N)}$$, $${u_0 \geqslant 0}$$とする. このとき, 問題(1)のVery weak solution$${u = u(x,t) \geqslant 0}$$が一意に存在する. さらに, $${\dfrac{[N-2]_+}{N} < m < 1}$$のとき, 任意の$${t>0}$$に対して

$$
(3) \ \ \displaystyle \int_{\R^N}u(x,t)\ dx = \int_{\R^N}u_0(x)\ dx
$$

が成立する.

(3)を示すため, 次の補題を用いる.

Lemma 1(Herrero-Pierre's ineq.)

Theorem 2と同様の仮定をする. このとき, 任意の$${R > 0}$$と$${t,s \geqslant 0}$$に対して,

$$
\displaystyle (4)\ \ \ \ \ \left(\int_{B_R}u(x,t)\ dx\right)^{1-m} \leqslant \left(\int_{B_{2R}}u(x,s)\ dx\right)^{1-m} + C(m,N)|t-s|R^{-2+N(1-m)}
$$

が成立する. ただし, $${B_R}$$は原点中心, 半径$${R}$$の$${N}$$次元球である.

(3)の証明

$${-2+N(1-m) < 0}$$すなわち, $${\dfrac{[N-2]_+}{N} < m < 1}$$より, $${R \to \infty}$$とすると,

$$
\displaystyle \int_{\R^N}u(x,t)\ dx \leqslant \int_{\R^N}u(x,s)\ dx
$$

を得る. ここで, (4)は$${t}$$と$${s}$$には順序関係がないので, $${t}$$と$${s}$$を入れ替え, 再度$${R \to \infty}$$とすれば,

$$
\displaystyle \int_{\R^N}u(x,s)\ dx \leqslant \int_{\R^N}u(x,t)\ dx
$$

を得るので, 任意の$${t, s \geqslant 0}$$に対して

$$
\displaystyle \int_{\R^N}u(x,t)\ dx = \int_{\R^N}u(x,s)\ dx
$$

が成立する. よって, $${u}$$の$${L^1}$$連続性より, $${s=0}$$を代入してもよいので,

$$
\displaystyle \int_{\R^N}u(x,t)\ dx = \int_{\R^N}u_0(x)\ dx
$$

が得られる. 以上で(3)が示された. $${\square}$$

Fast Diffusion Equationでは$${\dfrac{[N-2]_+}{N} < m < 1}$$のときに質量保存することがわかった. では, $${0 < m < \dfrac{[N-2]_+}{N}}$$のときはどうなるのか? 実はこの範囲はExtinction rangeと呼ばれ, その名の通りある有限時刻$${t=T_0}$$で

$$
\displaystyle \|u(t)\|_{L^\infty(\R^N)} \equiv 0,\ \ \forall t \geqslant T_0
$$

となる. このことについては, 後に証明を紹介する.

次では, Lemma 1を証明することを目標とする.